
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
この数列をA(n)としA(n+1)/A(n)が1より小を示す:
loge=1、Σ[k=0→n]1/k!=e-Σ[k=n+1→∞]1/k!
に注意して
1-log(Σ[k=0→n]1/k!
={1/(n+1)!}(1/e)[Σ[k=n+1→∞](n+1)!/k!](-1/u)log(1-u)
と変形する。ただしu=(1/e)Σ[k=n+1→∞]1/k!
同様に
1-log(Σ[k=0→n+1]1/k!
={1/(n+2)!}(1/e)[Σ[k=n+2→∞](n+2)!/k!](-1/v)log(1-v)
さてxの関数(-1/x)log(1-x)はxの単調増加関数であるから
A(n+1)/A(n)の式中の
(-1/v)log(1-v)と(-1/u)log(1-u)の比はv<uより<1になる。
また
Σ[k=n+2→∞](n+2)!/k!-Σ[k=n+1→∞](n+1)!/k!
=-Σ[k=n+2→∞]{(n+1)!/(k-1)!{1-(n+2)/k}<0
なので
A(n+1)/A(n)の式中の
Σ[k=n+2→∞](n+2)!/k!とΣ[k=n+1→∞](n+1)!/k!の比も<1
ゆえにA(n+1)/A(n)<1 です。
すごいですね。
-log(1-u)を(n+1)!/(n+1)! (-u/u) log(1-u)にするだけで魔法のようにうまくいくんですね。
不思議です。
ありがとうございました。
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