東大理系数学第4問の(3)について

問題はこれです。https://www.u-tokyo.ac.jp/content/400186967.pdf

自分の解答が間違っているところを教えてください。

①が明らかに間違っている気がしますが、もしかして球の表面と共有点を持つんですかね、わからないです。

自分の解答：

rが大きくなれば、Sは三角形OHBを含むのでrに最大値はない。・・・①

O(0,0,0)
H(4/3,2/3,2/3)
B(1,1,1)
Q(3/2,-1,1)

三角形OHBの内部は0<=s<=1,0<=t<=1,s+t<=1とすると、t*(4/3,2/3,2/3)+s*(1,1,1)となる。

(s+4t/3-3/2)^2+(s+2t/3+1)^2+(s+2t/3-1)^2<=r^2

17/4 - 3 s + 3 s^2 + (16 s t)/3 + (8 t^2)/3 - 4 t<=r^2

s=(1/3-8t/9),t=3/4のとき最小値を取る。sとtのどっちも次数2の符号が正なので、下に凸のグラフ

t=0のとき(8 t^2)/3 - 4 tは最大
s=1のとき17/4 - 3 s + 3 s^2 + (16 s t)/3は最大

答えは、√17/2<=r

No.4 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/09/05 13:42

①が明らかに間違っている。

理由は、自分で書いているとおり、
S は球の内部ではなく表面だから。

S と △OHB が共有点を持つような r の範囲とは、
点Q と △OHB 上の点との距離の範囲である。

Q から 平面OHB へ降ろした垂線の足が △OHB 上にないので、
r の最小値は △OHB の周上の点で現れる。
r の最大値が △OHB の周上の点で現れることも自明である。
ただし、それは辺上の点かも知れず、
頂点と決めてかかった答案は誤答である。 →No.1

△OHB 上の点はパラメータ 2個を使って表せるので、
r^2 をそのパラメータの関数として表示してしまう
のが簡明だと思う。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/09/05 05:51

s=0

t=3/4
とすると

17/4-3s+3s^2+(16st)/3+(8t^2)/3-4t
=
17/4+(3/2)-3
=
17/4+6/4-12/4
=
11/4
≦r^2

√11/2≦r

√11/2≦r≦√17/2

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/09/04 22:23

s=1/18

t=8/9
とすると

17/4-3s+3s^2+(16st)/3+(8t^2)/3-4t
=
17/4-3/18+3/18^2+(16*8/9/18)/3+(8*(8/9)^2)/3-4*8/9
=
314/108
=
157/54
≦r^2

√(157/54)≦r

157/54=314/108<459/108=17/4
だから
√(157/54)<√17/2


√(157/54)≦r≦√17/2

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/09/04 17:32

|OQ|

=√(9/4+1+1)
=√(17/4)
=√17/2

|QH|
=|(3/2,-1,1)-(4/3,2/3,2/3)|
=√{(3/2-4/3)^2+(1+2/3)^2+(1-2/3)^2}
=√{(1/36)+(25/9)+(1/9)}
=√{(105/36)
=√(35/12)<√(51/12)=√17/2

|BQ|
=|(3/2,-1,1)-(1,1,1)|
=√17/2

∴
√(35/12)≦r≦√17/2