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高校数学です。分からない問題があるので教えて欲しいです。
問題文↓
1辺の長さが1の正三角形ABCがある。
辺ABのB側の延長線上に点Pを取り、同様に辺BC,CAの延長線上にそれぞれ点Q,Rを取る。
ここでBP=p, CQ=q, AR=rとしてp+q+r=1とする。
このとき三角形PQRの面積の最大値を取るp,q,rの値を求めよ。

三角形PQRにおいて三角形ABCを除いた面積をp,q,rを用いて表し、rを消去して二変数関数を作り、qを固定してpの関数と見て解く方針を立てましたが答えが出ません。

解く過程まで教えて下さるとありがたいです。

A 回答 (5件)

(p+q+r)^2-3(pq+qr+rp)={(p-q)^2+(q-r)^2+(r-p)^2}/2≧0


等号は、p=q=rの時
より、(p+q+r)^2≧3(pq+qr+rp)従って、pq+qr+rp≦1/3
よって、p=q=r=1/3の時、最大値pq+qr+rp=1/3
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|△BPQ|+|△CQR|+|△ARP|


{(1+q)p+(1+r)q+(1+p)r}√3/4
=(p+qp+q+rq+r+pr)√3/4
=(p+q+r+qp+rq+pr)√3/4
={1+qp+r(q+p)}√3/4
={1+qp+(1-p-q)(q+p)}√3/4
={1+qp+p+q-(p+q)^2}√3/4
=(1+qp+p+q-p^2-2pq-q^2)√3/4
=(1+p+q-p^2-pq-q^2)√3/4
=(1+q-q^2-{p^2+p(q-1)})√3/4
=(1+q-q^2+(q-1)^2/4-{p+(q-1)/2}^2)√3/4
={(4+4q-4q^2+q^2-2q+1)/4-{p+(q-1)/2}^2}√3/4
={(5+2q-3q^2)/4-{p+(q-1)/2}^2}√3/4
=({5-3(q^2-2q/3)}/4-{p+(q-1)/2}^2)√3/4
={7/6-3(q-1/3)^2/4-{p+(q-1)/2}^2}√3/4
≦7√3/24

q=1/3
p+(q-1)/2=0
p=(1-q)/2
p=(1-1/3)/2
p=(2/3)/2
p=1/3
r=1/3
「高校数学です。分からない問題があるので教」の回答画像5
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pq+qr+rp


=(pq+qr+rp+2(pq+qr+rp))/3
≦(p²+q²+r²+2(pq+qr+rp))/3
=(p+q+r)²/3
=1/3
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その方針でいいんじゃないですか?



△PQR = △ABC + △ARP + △BPQ + △CQR
= (1/2)1・1sin60°+(1/2)r(1+p)sin120°+(1/2)p(1+q)sin120°+(1/2)q(1+r)sin120°
= (√3/4){ 1 + r(1+p) + p(1+q) + q(1+r) }
= (√3/4){ 1 + (r + p + q) + (rp + pq + qr) }
= (√3/4){ 2 + (rp + pq + qr) }.

条件 p > 0, q > 0, r > 0, p + q + r = 1 の下に
S = rp + pq + qr を最大化せよ
って問題のようですね。

r を消去すると、
条件 p > 0, q > 0, p + q < 1 の下に
S = (1 - p - q)p + pq + q(1 - p - q)
 = p + q - p^2 - pq - q^2 を最大化せよ
って問題になります。

ここまでは、質問文中にあるとおり。
さて、この先は、
u = p + q, v = p - q で置換すると解りやすいかな?
条件 u + v > 0, u - v > 0, u < 1 の下に
S = u - (3/4)u^2 - (1/4)v^2
 = 1/3 - (3/4)(u - 2/3)^2 - (1/4)v^2 を最大化せよ
です。

u = 2/3, v = 0 が (u,v) の変域に含まれるので、
S の最大値は、このとき S = 1/3 です。

これを △PQR と p,q,r に翻訳すると、
△PQRの最大値は、p = q = r = 1/3 のとき △PQR = 7/(4√3)
になりますね。
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面積は


S={√(3)/4}{p(1+q)+q(1+r)+r(1+p)
={√(3)/4)(1+pq+qr+rp)
係数はどうでも良いので
S'=1+pq+qr+rp を最大化するp、q、rを考えると
rを消去すると
S'=1+pq+q(1-p-q)+(1-p-q)p
=1+q-q^2+p-p^2-pq
∂S/∂p=1-2p-q=0
∂S/∂q=1-2q-p=0
→p=q=r=1/3

アレ、高校で偏微分はまずいか・・・
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