この問題を教えていただきたいです。 この条件が成り立つ時、行列PとP^-1を求めよ。

この問題を教えていただきたいです。
この条件が成り立つ時、行列PとP^-1を求めよ。

No.9 回答者： stomachman 回答日時： 2023/11/30 22:54

正則行列Xの逆行列をX*と書くことにして、A, Bの固有値分解をそれぞれ

　　A = XΛX*, B = YMY* (Λ, Mは対角行列）
とする。これを
　　A = P*BP
に代入して整理すると
　　Y*PXΛ = MY*PX
そこで
　　U = Y*PX
とおけば
　　UΛ = MU (Λ, Mは対角行列）
である。これが成り立つのは、かなり特殊な場合に限られる。

　で、ご質問の場合に Λ, Mを計算してみると、
　　Λ = M =（対角成分が-4, -3, -3である対角行列）
なので、
　　UΛ = ΛU
という方程式である。これを満たすUは
　　U =
　　　　a　0 0
　　　　0　b　c
　　　　0　c　d
という格好をしていて
　　a≠0 かつ bd ≠ c^2
なら何でも良い。(cが0に限定されないのは、固有値-3が重複しているから。）
　たとえばU が単位行列である場合なら、
　　P = YX*
となる。

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/11/30 18:02

rank 7 じゃあなかったみたい。

9元９連立はさすがに辛いので、Wolframに頼んでみたところ、
P =
　　a　　b　　c
　　d　　e　　f
　　g　　f　　i
と置いて
f = - (5/18)a - (5/18)b + (5/6)c + (1/3)d + (1/3)e/3,
g = 2d - 3a,
h = - (1/3)a - (10/3)b) + c + 2e,
i = - (13/18)a) - (13/18)b - (5/6)c + (2/3)d + (2/3)e
だってさ。

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/11/29 08:38

No.2 の 9元９連立一次方程式は、

raｎk が 7 になるみたいだよ。

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/11/28 21:31

>PA=BP だから

>Pが解ならそのスカラ―倍 cPも解です。Pは一意に定まらない
>ことに注意

今気がついたけど、
A、Bの固有値は-3が2つ有るから、固有値-3の
固有ベクトルの向きの制限が緩いし、固有値の並び順も
選べるので正しいPは沢山有りますね。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/11/28 20:04

画像の通り

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2023/11/28 15:13

左からPを合成すれば　PA=BP

また
右からP^-1を合成すれば　AP^-1=P^-1 B
どちらかが　わかれば　P P^-1=E ;単位行列の方が早いか！？
　　あとは　表計算ソフト　例えばexcel で計算すればいい
もっと多くなれば　excel VBA でプログラミングすればいい！

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/11/28 11:32

>QとRが求まるなら

>
>QCQ^(-1)=A
>RCR^(-1)=B
>QR^(-1)BR^(-1)Q=A
>なので P=R^(-1)Q

ミスりました(^^;

QCQ^(-1)=A
RCR^(-1)=B
QR^(-1)BRQ^(-1)=A

P = RQ^(-1)

ですね。

因みに
python の sympy で解くとこれだけ

from sympy inport *
A = Matrix([[-1, 2, 1], [0, -1, 1], [0, -6, -6]])
B = Matrix([[-21, 12, -6], [-15, 7, -5]. [21, -14, 4])
Q, C = A.diagonalize()
R, C = B.diagonalize()
#Cの対角の値(固有値)の順が一致しているかデバッガで確認要(^^;
P = R*Q.inv()

結果
2 -5 -3
3 -4 -2
0 5 4

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/11/28 08:57

P の各成分を未知数として置くと、

A = (P^-1)BP は、９元９連立の一次方程式になる。
未知数は多いが、連立一次方程式だから
(解不定、解不能の場合も含めて)処理することができる。
あとは、根性か数式処理ソフトかによるだけだ。

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/11/27 23:32

AとBが相似なら、固有値は同じだから

対角化行列 Cがあって
C=Q^(-1)AQ
C=R^(-1)BR
となるQ、Rを求められる場合が有る。
#Q、RはAとBの固有ベクトルを並べて作った行列。
#線形代数の教科書で「行列の対角化」の部分を復習しよう。

QとRが求まるなら

QCQ^(-1)=A
RCR^(-1)=B
QR^(-1)BR^(-1)Q=A
なので P=R^(-1)Q

尚
PA=BP だから
Pが解ならそのスカラ―倍 cPも解です。Pは一意に定まらない
ことに注意