またまた質問です。 平均2.210 偏差ニ乗和825.180 分散4.147 標準偏差2.036 標

またまた質問です。
平均2.210
偏差ニ乗和825.180
分散4.147
標準偏差2.036
標準得点0.388
信頼度95％から標本正規分布におけるz値1.960
のときの標準誤差と母平均の計算式が分かりません（泣）

解答は標準誤差0.144、母平均こ下限1.928上限2.492となってるんですが。誰か教えて下さい（泣）

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2024/01/10 10:59

そこでいう「標準得点」「標準誤差」「標本正規分布」って何ですか？

「標準誤差」は下記でいう「たくさんの標本を採ってきたときの標本平均のばらつき（標準偏差）」、「標本正規分布」は「標準正規分布」でしょうかね。
「標準得点」は意味不明です。

データの個数を N とすれば
　分散 = 偏差ニ乗和/N
ですから
　N = 825.180 / 4.147 = 198.9823･･･ ≒ 199.0

この「199個のサンプル」から、未知の母集団の「母平均の95％信頼区間」を求めるのでしょうね。

同じような「199個のサンプル」をたくさん採ってきたときに、その「たくさんの標本平均」は正規分布すると考えられます。
その平均は、おそらく「2.210」のあたりでしょう。
そして、そのばらつき（分散）は「4.147/199」ぐらいでしょう。
というのが「大数の法則」「中心極限定理」と呼ばれるものです。

そして、その「たくさんの標本平均」の分布から、未知の「母平均」を推定するのです。

この「たくさんの標本平均」の分布を標準正規分布に変換するには
　Z = (X - 2.210)/√(4.147/199)　　　　①
とすればよいです。
（これで「平均が0、標準偏差が１」の正規分布になります。

その標準正規分布の「信頼度95％のz値1.960」より、「母平均の95％信頼区間」は
　-1.960 ≦ (X - 2.210)/√(4.147/199) ≦ 1.960

この範囲に入る X の範囲を求めれば
　2.210 - 1.960√(4.147/199) ≦ X ≦ 2.210 + 1.960√(4.147/199)
数値計算すれば
　1.927058･･･ ≦ X ≦ 2.49294･･･
→　1.927 ≦ X ≦ 2.493

***********************

微妙に４桁目がずれるのは、何となく「分散：4.147」が「不偏分散」の値なのではないか、という気がします。
この「分散：4.147」は、与えられたデータから質問者さん自身が算出したものですか？
そのときにどのような計算で求めましたか？

「不偏分散」であるとすれば
　4.417(N - 1) = 825.180
→　N ≒ 200
そうすれば①は
　Z = (X - 2.210)/√(4.147/200)　　　　①'
なので「母平均の95％信頼区間」は
　-1.960 ≦ (X - 2.210)/√(4.147/200) ≦ 1.960

この範囲に入る X の範囲を求めれば
　2.210 - 1.960√(4.147/200) ≦ X ≦ 2.210 + 1.960√(4.147/200)
数値計算すれば
　1.927766･･･ ≦ X ≦ 2.49223･･･
→　1.928 ≦ X ≦ 2.492

これだとお示しの値と一致しますね。

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

「標本平均のばらつき（標準偏差）」は、上に書いた「そのばらつき（分散）は「4.147/199」ぐらいでしょう」の平方根です。
これも、データの個数によって
　√(4.147/199) = 0.144357･･･ ≒ 0.144
あるいは
　√(4.147/200) = 0.143996･･･ ≒ 0.144
ですが、これ有効数字内で一致するようです。

この回答へのお礼

解答ありがとうございます。分散は問題文に書かれてたやつで、特に記載されてなかったので。

お礼日時：2024/01/10 11:16

No.1 回答者： hectopascal 回答日時： 2024/01/10 05:40

標準誤差（standard error）と母平均の計算式は次の通りです:

標準誤差（SE）の計算式: SE = 標準偏差 / √標本数
母平均（population mean）の計算式: 母平均 = 標準得点 × 標準誤差 + 標本平均
与えられた情報から計算してみましょう。標本数が分かっていれば、標準誤差を計算することができます。また、母平均を求めるためには標準得点と標本平均も必要です。それでは計算をしてみましょう。