母分散が未知の場合の母平均の検定について

統計学初心者の社会人です。
母分散が未知で小標本の場合の母平均の検定を行うには
t分布を活用できる、ということを知りました。
その中で使用する値（検定量？）の導き方として、さまざまな書籍やサイトをあたったところ、
(1)ｔ＝（標本平均－母平均）／（標本標準偏差／√標本サイズ）
と表記されているものと
(2)ｔ＝（標本平均－母平均）／（標本標準偏差／√標本サイズ－1）
と表記されているものがあります。
いったいどちらが正しいのでしょうか？
或いは、根本的に私の考え方がどこか間違っているのでしょうか？
ご教授頂けると幸いです。

No.3 ベストアンサー 回答者： solla 回答日時： 2005/08/19 19:51

#1 です。

> で導き出された値、ということですよね。

はい。そういうことになると思います。

> そもそも「標準偏差」とだけ表現した場合は、上記(a)の式で
> 導き出されたものである、と解釈してもよいものなのでしょうか？

一般的には n で除すものと n-1 で除すもの、共に使われますが、n-1 で除したものは推測統計における推定量である不偏分散に由来するものなので、正確には「標準偏差」は (a) 式であると思います。それを母集団について計算すれば「母標準偏差」、標本について計算すれば「標本標準偏差」となります。


念のため申し上げると、#2 さんは

> 母分散が未知なのですから，
> (2)ｔ＝（標本平均－母平均）／（標本標準偏差／√標本サイズ－1）
> を使うべきでしょう．

とおっしゃっていますが、(1) も (2) も共に母分散が未知の場合の t 統計量です。先の回答で申し上げた通り、式の中の標本標準偏差と書かれた部分を n で除した標本標準偏差とするか、n-1 で除した不偏分散に基づく標本標準偏差とするかで、計算の仕方さえ正しくしていれば、両方とも正しく自由度 n-1 の t 分布に従います（つまり両者は同等です）。 t 統計量を導く際には偏差平方和と母分散の比 Σ( Xi - X_mean )^2 / σ^2 が自由度 n-1 のχ二乗分布に従うことを利用しているので、分散や標準偏差の推定云々は関係ありません。つまりどちらを使おうが、その中の偏差平方和の部分だけが意味を持つので本質的に問題ではないのです。したがってどちらを使っても構いません。

この回答へのお礼

返答が遅くなって申し訳ありません。
丁寧な解説、どうもありがとうございます。
いろいろな数式が出てきて、私自身、どうしても「数式を覚える」ことに
傾いてきてしまい、「なぜそうなるのか」の理解が不足しているようです。
もっとさまざまな書籍をあたって勉強したいと思います。
ありがとうございました。

お礼日時：2005/08/22 12:08

No.2 回答者： Fumisannari 回答日時： 2005/08/19 07:32

母分散が未知なのですから，

(2)ｔ＝（標本平均－母平均）／（標本標準偏差／√標本サイズ－1）

を使うべきでしょう．

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
これからもっと勉強を重ねたいと思います。

お礼日時：2005/08/22 12:08

No.1 回答者： solla 回答日時： 2005/08/18 19:08

式の中の「標本標準偏差」と描かれている部分をどうするかによって変わります。

データを Xi とし、その平均を X_mean とすれば
標本標準偏差を定義どおり、

s = √( Σ( Xi - X_mean )^2 / n ) )

とした場合は (2) に、

不偏分散を用いて標本標準偏差を

s = √( Σ( Xi - X_mean )^2 / ( n - 1 ) )

とした場合は (1) になります。

この回答への補足

回答ありがとうございます。
手元の書籍（の問題文）をよく読んでみると、「・・・からデータを20取り出したところ、平均○○、標準偏差△△であった。・・・」と
記載されていました。そしてその問題の回答の中では(2)が使われていました。
ということは、ここで言っている「標準偏差」というのは
s = √( Σ( Xi - X_mean )^2 / n ) )　　・・・(a)
で導き出された値、ということですよね。
そもそも「標準偏差」とだけ表現した場合は、上記(a)の式で
導き出されたものである、と解釈してもよいものなのでしょうか？
（私はてっきり、標本のデータを使って標準偏差を求めているのだから
その求め方はいつでも
s = √( Σ( Xi - X_mean )^2 / ( n - 1 ) )
になるとばかり思っていたのですが・・・）

補足日時：2005/08/19 09:52