二項分布の正規近似によって標本比率p ^は近似的に正規分布N(p,p(1-p))に従う、と書いてある

二項分布の正規近似によって標本比率p ^は近似的に正規分布N(p,p(1-p))に従う、と書いてあるのですが、

なぜN(p,p(1-p))なのでしょうか？
どの様な式からこのようになるのか教えてください

No.5 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2024/02/12 09:49

No.2&3 です。

ああ、#4 さんのいうとおりですね。

二項分布の分散が
　np(1 - p)
なので、それを「標本比率」にするには n^2 で割って
　p(1 - p)/n
ですね。

分散は「二乗偏差」の平均で「二乗」の次元を持ちますから、「標本比率」「確率」にするには n^2 で割らないといけません。

No.6 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2024/02/12 11:52

No.4です。

あと、平均がｐ、分散がｐ(１－ｐ)／ｎになるのは二項分布の性質です。これを説明するのは簡単。No.1さん、No.2さんはそれ。

ところが、二項分布の全体の形が、その平均と分散を持つ「釣り鐘型の正規分布」に近似できるというのは、ご質問者様も疑問に持たれているように、証明は難しいのです。

要は、正規分布が取る「ガウス関数」の形にもっていく必要があるということです。
平均がｐ、分散がｐ(１－ｐ)／ｎの分布なんて、他の分布形でも作れますからね。ガウス関数に近似できるように変形していく必要があるわけです。

中には、中心極限定理で簡単に済ませているのもありますが、正式にはNo.4に貼ったリンク先にある証明となります。

ドモアブルーラプラスが証明し定理となっていますので、「二項分布は正規分布で直接近似できる」というのは、無証明で使って良いです。

No.4 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2024/02/12 01:08

書いてあることは、間違っていますよ。

N(p,p(1-p)/n)です。

yhr2さんが書かれているように、二項分布の生起数の平均がnpときは、分散はnp(1-p)ですが、母比率を考えて、平均をpとしたときは、分散はp(1-p)/nです。

平均をnで割るということは、分散はn^2で割ることになりますから。


なお、二項分布のような離散分布を連続分布のように扱いたい場合は結構あります。裾野の確率を予測したいときなどです。

そのため、10種類ほどの近似方法があります。
（実際に、Rという統計ソフトで母比率の信頼区間を求めると、11種の解を表示します）

正規分布近似が一般的ですが、母比率が低い時は、全く合いません。

そこで品質管理の分野ではロジット変換や逆正弦変換などを行って正規分布に近似させます。添付図参照

＞ どの様な式からこのようになるのか

ご質問者が疑問に感じておられる点、すなわちN(p,p(1-p)/n)がどうやって導出されるのか、この二項分布の正規分布近似の証明は、結構面倒です。

https://k-san.link/binomial-normal/

このサイト↑の下の方に書いてあります。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2024/02/12 00:23

No.2 です。

最後に書いた

＞それを「確率」にするには、「個数 n」で割ればよい。

は、「確率」というより「標本比率」というべきでしたね。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2024/02/11 19:48

二項分布では、確率 p、試行回数 n であれば

・期待値（平均値）が E = np
・分散が V = np(1 - p)
になることは習いましたよね？
そこを復習すればよいだけの話です。
↓
https://manabitimes.jp/math/913

二項分布の n を大きくしていくと、正規分布に近づいていくということです。
期待値、分散はそのまま。
それを「確率」にするには、「個数 n」で割ればよい。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2024/02/11 17:16

二項分布B(n,p;k) = (nCk)(p^k)((1-p)^(n-k))において、kの平均はnp, 分散がnp(1-p)だから、p^ = k/n の平均はp, 分散はp(1-p)。

そして、これと同じ平均と分散を持つ正規分布はN(p,p(1-p))。
…というだけの話なのだが、「なぜ」とおっしゃるご質問のポイントはどのあたりでしょうか？