tanxの積分

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質問者：wonderlasting
質問日時：2024/04/01 21:32
回答数：3件

数学の諸問題について、いろいろ検討する機会があったのですが、その中の一つに、tanxを０からπまで定積分すると解答はどうなるのか？という問題があり、２つの回答方針が出てきました。
①tanxは、π/2で＋∞とー∞に発散し定義できないから、この問題は解答不能。
②機械的に計算すればよい。この場合のtanxの積分は、ーlog｜cosx｜に０とπを代入することになるからー０＋０＝０で答えは０。
どちらが適切なのでしょうか？それとも、これら二つとは異なる回答の仕方となるのでしょうか？

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回答 (3件)

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No.3

回答者：ありものがたり
回答日時：2024/04/02 13:28

計算間違いの訂正：

∫[-1,2] { 2/√｜x｜ }dx = ∫[-1,0] { 2/√(-x) }dx + ∫[0,2] { 2/√x }dx
= { (-√0) - (-√1) } + { (√2) - √0 }
= √2 + √1
でしたね。
まあ、 2/√0 が定義できなくても ∫[-1,2] { 2/√｜x｜ }dx が収束する。
って話に違いはないのだけど。

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No.2

回答者：ありものがたり
回答日時：2024/04/02 09:14

結論から言うと、∫[0,π]{ tan x }dx は値がひとつに定まりません。

②の方法を「微積分学の基本定理」と言いますが、
https://www.kashi-math.com/922/
∫[a,b] F’(x) dx = F(b) - F(a) が成り立つのは
a ≦ x ≦ b の区間で F’(x) の原子関数 F(x) が存在する場合だけです。
質問の計算では、 F(π/2) = - log｜cos π/2｜が発散してしまうので
微積分学の基本定理は使えません。
∫[0,π] (tan x) dx = ∫[0,π/2] (tan x) dx + ∫[π/2,π] (tan x) dx
の右辺が、∞ - ∞ 形の不定形になってしまうのです。

①の段階で計算不能としてしまうのは早計で、
積分区間の中で被積分関数が ∞ になっても
∫[-1,2] { 2/√｜x｜ }dx = √2 - √1 のように積分の値が定まる例もあります。
被積分関数ではなく、原子関数が積分区間で発散しないことが大切です。