1階微分方程式の解析解に関する質問です。

Q1) dx/dt=1+xの解析解の導き方をお教え頂けますと有難いです。
以上、お手数ですがよろしくお願いします。

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/05/13 17:54

ちなみに

「±e^C₁ = C とおいて」だが、e^C₁≠0 なので、任意定数C
とは置けない。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/13 14:33

＞ もし出来れば、この微分方程式をScailabのODEでの、

＞ 数値解のコードをお教え頂けますと有難いです。

解析解が簡単に得られる微分方程式を数値近似しよう
ってのも、目的のわからん話だけど...
質問も「解析解の導き方」だし。

Scailab ってのは、Scilab (MATLAB 互換品) のことだよね。
組み込み機能 ode の仕様は↓のとおりだから、
https://www.isee.nagoya-u.ac.jp/~shinimada/lectu …

初期条件 (t,x) = (t₀,x₀) と、
x(t) の値を求めたい t を並べた配列 ts を用意して、
　deff(’xprime=uhen(t,x)’,’xprime=1+x’);
　xs=ode(x0,t0,ts,uhen)
とすれば、ts に含まれる t に対する x(t) を並べた配列 xs が得られる。

でも、No.1 のようにして解析解を得たほうがいいと思うよ。
その解を Scilab で使いたいなら、
x = C･e^t - 1 に何か名前を付けて deff(,) すればいいだけだから。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/13 10:20

dx/dt=1+x

x0(t)=b

x1(t)
=b+∫{0～t}(1+b)dt
=b+(1+b)t

x2(t)
=b+∫{0～t}{1+b+(1+b)t}dt
=b+(1+b)t+(1+b)t^2/2

x3(t)
=b+∫{0～t}{1+b+(1+b)t+(1+b)t^2/2}dt
=b+(1+b)t+(1+b)t^2/2+(1+b)t^3/3!

…

x{n-1}(t)=-1+(1+b)Σ{k=0～n-1}t^k/k!
とすると

xn(t)
=b+∫{0～t}{1+x{n-1}(t)}dt
=b+∫{0～t}{(1+b)Σ{k=0～n-1}t^k/k!}dt
=b+(1+b)Σ{k=0～n-1}t^(k+1)/(k+1)!
=b+(1+b)Σ{k=1～n}t^k/k!
=-1+(1+b)Σ{k=0～n}t^k/k!
だから

C=1+bとすると

x
=lim[n→∞]xn(t)
=-1+(1+b)Σ{n=0～∞}t^n/n!
=-1+(1+b)e^t
=-1+Ce^t

∴
x=(Ce^t)-1

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/05/13 09:19

[1/(1 + x)](dx/dt) = 1

ですから、両辺を t で積分して

∫[1/(1 + x)](dx/dt)dt = ∫dt
↓
∫[1/(1 + x)]dx = ∫dt
↓
log|1 + x| = t + C1　（C1：積分定数）
↓
1 + x = ±e^(t + C1) = ±e^C1･e^t
↓
±e^C1 = C とおいて
　1 + x = C･e^t
↓
x = C･e^t - 1

この回答へのお礼

回答有難うございます。
了解です。
もし出来れば、この微分方程式をScailabのODEでの、
数値解のコードをお教え頂けますと有難いです。
お手数ですがよろしくお願いします。

お礼日時：2024/05/13 09:54