フーリエ変換の相似性（時間軸の伸縮）の公式について

フーリエ変換の記号をF^で表します。相似性（時間軸の伸縮）の公式

　　F^[f(kt)] = (1/|k|)F(ω/k)

の導出は以下の通り。
　　x = kt, t = x/k, dx = kdt, dt = dx/k
　　k>0のとき t→∞⇒x→∞,t→-∞⇒x→-∞
　　∫[-∞～∞]f(kt)e^(-jωt)dt
　 = (1/k)∫[-∞～∞]f(x)e^(-jωx/k)dx
　 = (1/k)F(ω/k)
　　 k<0のとき t→∞⇒x→-∞,t→-∞⇒x→∞
なので同様にして
　　∫[-∞～∞]f(kt)e^(-jωt)dt
　　 = -(1/k)F(ω/k)
　　∴F^[f(kt)] = (1/|k|)F(ω/k) ……※

　周期2Tのパルス波
　　f(t) = 1 -T≦t≦T
　　　　　0 (t<-T, t>T))
を普通にフーリエ変換すると

　　F(ω) = 2sin(ωT)/ω

なので、周期を1/2倍にしたときのフーリエ変換をF1(ω)とすると

　　F1(ω) = 2sin(ωT/2)/ω ……※※

になるはずです。これを相似性の公式※を使って求めたいのですが、周期が1/2倍になったので、
k = 1/2として求めるとおかしなことになります。
　k = 1/2とすると
　　F1(ω) = F^[f(t/2)]
　　　　　 =(1/|1/2|)F(ω/(1/2))
　　　　　 = 2F(2ω)
　　　　　 = 2*2sin(2ωT)/2ω
　　　　　 = 2sin(2ωT)/ω

　ところが、k = 2とすると
　　F1(ω) = (1/2)F(ω/2)
　　　　　 = (1/2)2sin(Tω/2)/(ω/2)
　　　　　 = 2sin(ωT/2)/ω

となって※※と一致します。
　これはなぜでしょうか。※の導出過程を見ても、周期が1/2倍になったときk = 2としなければならない理由がわからないのです。

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/18 18:16

そりゃそうでしょ。

f(kt) の周期を 1/2 倍にしたら、k は 1/2 倍じゃなく 2 倍です。

f(kt) が t に関する周期 T を持つってのは、
∀t, f(kt) = f(k(t+T)) だってことです。　　←[1]

T を 1/2 倍して k が s 倍になったとすると、
∀t, f(skt) = f(sk(t+T/2)).
すなわち、∀t, f(k(st)) = f(k(st)+(s/2)kT) です。　　←[2]

[1][2] を見比べると、s/2 = 1 だってわかりますよね？

この回答へのお礼

ありがとうございました。助かりました！

お礼日時：2024/05/18 19:18

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2024/05/18 16:24

たとえばsin(t）と　sin(2t)　をくらべたばあい

sin(2t)の周期はπでsin(t）の半分になっている、
これを見てわかるように
あなたのいう半周期の関数は
f(t/2)ではなくてf(2t)ということだと思います。

No.1 回答者： amerikaumare 回答日時： 2024/05/18 14:51

ご質問の本質は、フーリエ変換の相似性の性質を用いた場合の k の取り方に関する混乱です。

具体的には、周期を 1/2 倍にした場合にk を1/2 とするか、あるいは 2 とするかによって得られる結果が異なる点についてです。
もうちょっと説明したいのですが　数式がテキストだけでは表現しきれないのでこの辺にしておきます