微分係数の定義？

h→0のとき、(f(c+4h)-f(c-2h))/hの極限値をc, f'(c)等を用いて表せ。
と言うよくある問題です。
t=c=2hとおくと、c+4h=t+6hになるので、
(f(c+4h)-f(c-2h))/h=(f(t+6h)-f(t))/h→6f'(c)
と答えてきた人がいます。
合ってますか。微分係数の定義とは少し違ってるように見えるのですが…。

質問者からの補足コメント

• どこがどのように違っているのかを教えていただきたいです。
  教えていただいた方法はわかっています。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/05/20 14:25

• どこがどのように違っているのかを教えていただきたいです。
  教えていただいた方法はわかっています。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/05/20 14:56

• 6f'(t)=6'(c-2h)→6f'(c)
  ってことかな。

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/05/20 16:07

No.7 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/20 18:08

t = 0 - 2h と置くと、

lim[h→0] { f(c+4h) - f(c-2h) }/h
= lim[h→0] { f(t+6h) - f(t) }/h
= lim[h→0] { f’(t)・6h + R }/h　；ただし lim[h→0] R/h = 0
= 6 lim[h→0] f’(t).
は、f(x) が x = c の近傍で微分可能であるかぎりは成り立つ。

問題は、
lim[h→0] f’(t) = lim[t→0] f’(t) = f’(c)
が常に言えるとは限らないこと。


例えば、
f(x) = x^2 sin(1/x), f(0) = 0, c = 0
の場合を考えてみよう。

この f(x) は、x = 0 の近傍で微分可能で
f’(x) = 2x sin(1/x) - x^2 sin(1/x) (-1/x^2)
　　　= 2x sin(1/x) + sin(1/x)
となるが、
lim[t→0] f’(t) は収束しない。

この例の場合も
f’(0) = lim[h→0]{ h^2 sin(1/h) - 0 }/h
　　　= lim[h→0] h sin(1/h) = 0
は収束して
lim[h→0] { f(0+4h) - f(0-2h) }/h = 6 f’(0)
は成り立つのだが、
計算過程で lim[t→0] f’(t) を経由しない考え方
が必要になる。

No.8 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/05/20 18:21

少し違う。

例えばf(c)が未定義の場合、x=c微分不能だけど
lim[h→0](f(c+4h)-f(c-2h))/(6h)は収束する場合が有ります。。
また、f(x)=1 (x≦c)、f(x)=x+1-c (x≧c)
はx=cで微分不能だけど、lim[h→0](f(c+4h)-f(c-2h))/(6h)=4/6

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/20 16:49

lim{h→0}{f(c+4h)-f(c-2h)}/h

=lim{h→0}{4{f(c+4h)-f(c)}/(4h)+2{f(c-2h)-f(c)}/(-2h)}
=4f'(c)+2f'(c)
=6f'(c)

t=c-2hとおくと,c+4h=t+6hになるので

lim{h→0}{f(c+4h)-f(c-2h)}/h
=lim{h→0}6{f(t+6h)-f(t)}/(6h)
=lim{h→0}6f'(t)
=lim{h→0}6f'(c-2h)
=6f'(c)

あってる

No.5 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/05/20 15:27

h→0のとき、

(f(t+6h)-f(t))/h
=6{(f(t+6h)-f(t))/(6h)}　
→6f'(t)
ですよね
6f'(c)とは異なりますよね

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/05/20 14:01

あ、勘違いしてました

誤りですね

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/05/20 13:58

h→0のとき、

(f(c+4h)-f(c-2h))/h
=(f(t+6h)-f(t))/h
=6{(f(t+6h)-f(t))/(6h)}　←←←
＝→6f'(c)
というように、←←←部分を追加するべきでしょうね

No.2 回答者： ssawatake 回答日時： 2024/05/20 13:50

違います、同値変形しないと・・・。

f(t+6h)-f(t)とするなら、分母は6hでないといけないし・・・。

分子＝f(c+4h)−f(c-2h)＝(f(c+4h)-f(c)) - (f(c-2h)-f(c))

分母はこれに合わせて、前半は4h、後半は-2hになる様にする訳だから。
(f(c+4h)-f(c))/h = [(f(c+4h)-f(c))/4h] ×4
(f(c-2h)-f(c))/h = [(f(c-2h)-f(c))/-2h] ×(-2)

あとは各々を微分定義に従って求める

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/20 13:48

それだと、h→0 のとき t→c を使ってしまっているので、

ｆ’(x) が x=c で連続でないときマズい。
f’(c) が存在すれば f(x) は x=c で連続だけど、
f’(x) が x=c で連続だとは限らないよね。