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No.7
- 回答日時:
どんな数列ではなく
どんな自然数も
その各桁を掛け合わせた数は
もとの数より小さくなり、
その操作を繰り返せば、
最終的には1桁の数に成る
ことは
証明できるのです
証明できて発見といえるのです
証明できないのに発見とはいえません
自然数x1に対して
x(1)=x1
とする
自然数nに対して
x(n)の各桁{0≦a(k)≦9}{k=1~m},a(m)≧1
x(n)=Σ{k=1~m}a(k)*10^(k-1)
のとき
x(n+1)=Π[k=1~m]a(k)
とすると
x(n+1)も自然数
全ての自然数nに対して
x(n)の桁数m≧2と仮定すると
x(n+1)
=Π[k=1~m]a(k)
≦a(m)*9^(m-1)
<a(m)*10^(m-1)
≦Σ{k=1~m}a(k)*10^(k-1)
=x(n)
だから
全ての自然数nに対して
x(n+1)<x(n)
だから
x(n+1)≦x(n)-1
だから
x(2)≦x1-1
ある自然数nに対して
x(n+1)≦x1-n
と仮定すると
x(n+2)≦x(n+1)-1
x(n+2)≦x1-(n+1)
だから
すべての自然数nに対して
x(n+1)≦x1-n
だから
自然数x1に対して
x(x1+1)≦x1-x1=0
だから
x(x1+1)が自然数であることに矛盾するから
x(n)の桁数m=1となるようなx(n)が存在する
No.6
- 回答日時:
法則(らしきもの)を発見したら、証明しなきゃね。
証明してはじめて、数学といえる。
自然数 x の各桁の数字を掛け合わせた値を f(x) とする。
f(47) = 28, f(28) = 16, f(16) = 6, f(6) = 6, ...
あなたの法則は、任意の自然数 x0 から始めて
x0, f(x0), f(f(x0)), f(f(f(x0))), ... と操作 f( ) を繰り返したら、
最初の x0 の値によらず列の先に 1 桁の値が現れる
ってことだよね?
これは、証明できる。
自然数 x が n 桁で、最上位の数字が a だとすると、
a ∈ { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 }, n ≧ 1 であって、
x ≧ a・10^(n-1),
f(x) ≦ a・9^(n-1) が成り立つ。
n ≧ 2 であれば
x ≧ a・10^(n-1) > a・9^(n-1) ≧ f(x) なので、
x0 から f( ) を繰り返すと x0 - 10 回以内に
列に現れる値は 2 桁未満になる。 ←[*]
やや問題なのは、x が自然数だとしても
f(x) が自然数だとは限らないこと。
例えば f(102) = 0 なので、f(x) は 0 になる場合がある。
これを「1 桁」と言ってよいのかはたいへん微妙な話で、
0 は 1 桁とは言わない流派のほうが多数派だとは思う。
そうでないと、47 は 3 桁の 047 だとかいう意見も
ありえてしまうからね。
そのへんをおおらかに「1 桁」とは 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 のこと
と言ってしまえば、[*] の時点で「法則」は証明できたことになる。
No.4
- 回答日時:
こんなくだらんトリビアル、発見とは情け無い。
10進法自然数なんだから当たり前。
整数に広げてマイナス整数なら、小さくはならないぞ!
分数、実数ならど-ナル?
「どんな数列も」って自分で言ってるんだぞ!
No.3
- 回答日時:
47は、40+7。
あなたの挙げたやり方だと、最初にこの40…4×10を1/10にして4にしてしまうわけです。1の桁の数はこの10より明らかに小さいわけですから、法則も何も、最初の時点で47どころか40より小さくなるのは理屈で考えて当たり前のようにも思いますが。
365でも同じです。
3×10×10の10×10を、6×5にしてしまいます。この時点で元の数よりずっと小さくなるのは当然ではないですか。
法則って呼べる程のものなんでしょうか。
No.2
- 回答日時:
「どんな数列も」云いながら「例えば47だと」って 何?
で、その事が 算数・数学 以外の事でも 良いですが、
何処か 役に立つことが ありますか。
必要が無ければ、名前なんて 付けません。
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例えば、6は47の「最小減少数」であると言えるのではないでしょうか?
この場合、「最小減少数」という言葉は、私が発明した言葉ですね?
「和の最小減少数」と「積の最小減少数」が有るということですね。
この二つの最小減少数の違いは、和の最小減少数にはゼロが無いと言う事です。
ところで、ゼロでない積の最小減少数で、元の数が「最大の数」は存在しますか?
存在するとしたら、その数はいくつですか?
つまり、素数だと、素数は、その数でしか割れないから、他の自然数を掛け合わせて、その素数を作れないということですね。
そして、素数には、どんな大きな素数も有る事が証明されている。
しかし、どんな大きな素数にも、「最小減少数」は有る。
従って、問題は、最小減少数がゼロではない、最大の素数は何か? と言う問題ですね。
分かりました。問題は「減少回数」ですね。減少回数は無限に大きくできるのでしょうか?
私はできないのではないかと思っています。例え自然数を無限に大きくできたとしても、減少回数が増えると、計算の途中で必ずゼロが出て来てしまいますから。そこで、計算は止まってしまいます。
自分で考えてみて、自分で回答します。分かりました。減少回数は無限に大きくできますね。ゼロが出て来るのは、5×2の時だけだと気づきました。ですから、最初から、5を省いて数列を作れば、後は、最小減少数を求める計算を、何回計算しても、ゼロは出てこない。
ところで、今頃の季節の、おだやかな夜風に吹かれて歩くのは気持ちが良いですね。そしたら気づいたんですよ。5×2=10だと。椅子に座ってばかりではなく、健康の為にも歩いた方が良いですね。
今日の月齢は16,ほぼ満月。曇ってますが。
>減少回数が最大5回であることを証明できれば発見といえるかもしれません
その発見は利用できますね。恐らく、ゴールドバッハの予想(偶数は2つの素数の和)に使えるでしょう。
もっとも、ご承知の通り、私が適当に言うてるだけの事ですから、当てに成りませんが。
しかし、ゴールドバッハが、1742年6月7日に予想して以来、300年近く経っても証明されてないのは、おそらく、証明する為の武器が足りないからでしょう。その足りない武器の一つに成るかもしれません。
凄いですね、数学のテストに、最小減少数がゼロで、減少回数8の数を求めよ。という問題が出たら、答えを知っていない限り、誰も時間内に答えられないでしょうね。