高校数学I！

高校数学Iについて質問があります。
①|2x|+|x-5|=8 （答え：ー１，３）
②|x|+2|x-1| = x+3　（答え：-1/4, 5/2)
③|x|-2|x+3|>= 0 (答え：-1<x<5)
④|x|+|x-1|<x+4

この4問の解き方がわかりません。解答は見たのですが、わからなかったです。私にとって全部同じ問題に見えるので、それぞれ違う解き方で解いてたので混乱しています。

例えば、問１であれば場合分けの時にx<0, 0<=x<5の時に分けますが、その範囲はどこから来てるのでしょうか？
問３は問１と同じく、場合分けはなぜｘ＜０じゃないんでしょうか？

など、一番わからないのが、一つ一つの問題の解き方とその範囲の場合分けの理由です。

No.11 回答者： AっKI 回答日時： 2024/06/15 16:29

＞私にとって全部同じ問題に見える

私にも『同じ問題に見えます』。というか、
場合分けの基準としては
『すべての問題が同じです』

それを
『範囲はどこから来てるのでしょうか？』
『一つ一つの問題の解き方とその範囲の場合分けの理由』
と、それぞれが別の問題のように感じていたり
場合分けの基準が分からなかったりするのは

『絶対値が分かっていない』

これにつきます。絶対値とは何でしょうか？説明できないでしょう？
その状態では、いくら問題を解いても無駄です。
ここで答えを教えてもらっても
『別の問題を自力でとけるようにはなりません』
それでは意味がないのではないですか？

基本を理解しないまま、それを使った問題が解けるわけがないです。
だから今、分からないわけでしょう？
まずは教科書を開いて
『絶対値とは何ぞや』
というところからきちんと勉強をすることです。
それをしっかり理解してから問題に移ること。
でないと、全く身につきませんよ。
絶対値が理解できれば場合分けの基準は自ずとわかります。

No.10 回答者： sc348253 回答日時： 2024/06/14 17:16

絶対値の入った計算では　グラフを書けばわかると思います　例えば

①　x=0,5で折り返しなので
　　x<=0 , 0<x<5 , x>=5 の場合わけ
③　x=0,-3 で折り返しなので
　　x<= -3 , -3<x<0 , x>=0 の場合わけになりますね

No.9 回答者： yhr2 回答日時： 2024/06/14 14:50

No.6 です。

追加でひとこと。

①に関して、

＞(i) 2x≧0 か 2x<0 か、
＞(ii) x-5≧0 か ｘ-5<0 か、
＞ということで分けます。

と書いたときに、「どうして一方に等号が入り、他方に入らないのか？」という疑問を持つかもしれません。

これは、その上に書いた

＞A>0 のとき |A| = A
＞A<0 のとき |A| = -A (>0)
＞A=0 のとき |A| = A = -A (=0)
＞
＞を使います。
＞A=0 のときには、上のどちらも成り立ちますから、等号はどちらかに含めればよいです。

のとおり、どちらに含めてもかまいません。
「場合分け」というのは、形式上「抜けなく、重複なく」に分けるのがお作法なので、
「統合をどちらにも含めないと、等号の場合が抜ける」
「統合を両方に含めると、等号の場合がダブる（両方に重複して含まれる）」
ということになるので、「どちらか一方だけに含める」ことにしているだけです。どちらに含めてもよいです。

「等号」のときには、「以上」でも「以下」でも「成立」するので、きちんと自分のアタマの中が整理できているのであれば、両方に含めて考えてもよいです。
（しかし、数学の先生には「潔癖な」人が多いので、テストの答案では「ダブって場合分けしている」と減点されるかもしれません）

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/14 09:57

絶対値||=0となるxの値を境界として場合分けする

①
|2x|+|x-5|=8

|2x|=0→x=0
|x-5|=0→x=5
だから
x≦0,0≦x≦5,5≦x
の3通りに場合分けする
のだけれども
5≦x
の場合
8<10≦|2x|≦|2x|+|x-5|=8
となって矛盾するから
x<5
だから
x≦0,0≦x<5
の2通りに場合分けとなる

②
|x|+2|x-1|=x+3

|x|=0→x=0
|x-1|=0→x=1
だから
x≦0,0≦x≦1,1≦x
の3通りに場合分けする

③
|x|-2|x+3|≧0

|x|=0→x=0
|x+3|=0→x=-3
だから
x≦-3,-3≦x≦0,0≦x
の3通りに場合分けする
のだけれども
0≦xのとき
|x|-2|x+3|=x-2(x+3)=-x-6≧0
0≦x≦-6<0
となって矛盾するから

x≦-3,-3≦x<0

の2通りに場合分けとなる

④
|x|+|x-1|<x+4

|x|=0→x=0
|x-1|=0→x=1
だから
x≦0,0≦x≦1,1≦x
の3通りに場合分けする

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/14 05:28

絶対値||=0となるxの値を境界として場合分けする

①
|2x|+|x-5|=8

|2x|=0→x=0
|x-5|=0→x=5
だから
x≦0,0≦x≦5,5≦x
の3通りに場合分けする
のだけれども
5≦x
の場合
8<10≦|2x|≦|2x|+|x-5|=8
となって矛盾するから
x<5
だから
x≦0,0≦x<5
の2通りに場合分けとなる

②
|x|+2|x-1|=x+3

|x|=0→x=0
|x-1|=0→x=1
だから
x≦0,0≦x≦1,1≦x
の3通りに場合分けする

③
|x|-2|x+3|≧0

|x|=0→x=0
|x+3|=0→x=-3
だから
x≦-3,-3≦x≦0,0≦x
の3通りに場合分けする

④
|x|+|x-1|<x+4

|x|=0→x=0
|x-1|=0→x=1
だから
x≦0,0≦x≦1,1≦x
の3通りに場合分けする

No.6 回答者： yhr2 回答日時： 2024/06/14 00:36

見た目の解き方はいろいろだが、根はひとつ。

どの問題でも、「絶対値の中身の正負によって場合分けして絶対値を外す」で解きます。

A>0 のとき |A| = A
A<0 のとき |A| = -A (>0)
A=0 のとき |A| = A = -A (=0)

を使います。
A=0 のときには、上のどちらも成り立ちますから、等号はどちらかに含めればよいです。

場合分けについては、

>例えば、問１であれば場合分けの時にx<0, 0<=x<5の時に分けますが、その範囲はどこから来てるのでしょうか？

(i) 2x≧0 か 2x<0 か、
(ii) x-5≧0 か ｘ-5<0 か、
ということで分けます。
(i) と (ii) の組合せを整理すれば
(a) 2x≧0 かつ x-5≧0 → 5≦x
(b) 2x≧0 かつ x-5<0 → 0≦x<5
(*) 2x<0 かつ x-5≧0 → これを満たす x はない
(c) 2x<0 かつ x-5<0 → x<0
という場合分けになります。

他の問題も同様に「絶対値の中身」を見て場合分けします。


① |2x| + |x - 5| = 8

「2x」 と「x - 5」の正負によって場合分けします。

(a) x≧5 のとき 2x>0, x - 5 ≧ 0 なので、与式は
　2x + (x - 5) = 8
→　3x = 13
→　x = 13/3
これは「x≧5 のとき」を満足しないので不適。
従って、この場合分けには「解」は存在しない。

(b) 0≦x<5 のとき 2x≧0, x - 5 < 0 なので、与式は
　2x - (x - 5) = 8
→　x = 3
これは「0≦x<5 のとき」を満足するので解となる。

(c) x<0 のとき 2x<0, x - 5 < 0 なので、与式は
　-2x - (x - 5) = 8
→　3x = -3
→　x = -1
これは「x<0 のとき」を満足するので解となる。

以上より、解は
　x = -1, 3


②|x| + 2|x - 1| = x + 3　（答え：-1/4, 5/2)

「x」 と「x - 1」の正負によって場合分けします。

(a) x≧1 のとき x > 0, x - 1 ≧ 0 なので、与式は
　x + 2(x - 1) = x + 3
→　2x = 5
→　x = 5/2
これは「x≧1 のとき」を満足するので解となる。

(b) 0≦x<1 のとき x≧0, x - 1 < 0 なので、与式は
　x - 2(x - 1) = x + 3
→　2x = -1
→　x=-1/2
これは「0≦x<1 のとき」を満足しないので不適。
従って、この場合分けには「解」は存在しない。

(c) x<0 のとき x<0, x - 1 < 0 なので、与式は
　-x - 2(x - 1) = x + 3
→　4x = -1
→　x = -1/4
これは「x<0 のとき」を満足するので解となる。

以上より、解は
　x = -1/4, 5/2


③|x| - 2|x + 3| ≧ 0 (答え：-1<x<5)

「x」 と「x + 3」の正負によって場合分けします。

(a) x≧0 のとき x≧0, x + 3 > 0 なので、与式は
　x - 2(x + 3) ≧ 0
→　-x - 6 ≧ 0
→　x ≦ -6
これは「x≧0 のとき」を満足する範囲はない。

(b) -3≦x<0 のとき x<0, x + 3 ≧ 0 なので、与式は
　-x - 2(x + 3) ≧ 0
→　-3x - 6 ≧ 0
→　x ≦ -2
このうち「-3≦x<0 のとき」を満足するのは
　-3 ≦ x ≦ -2

(c) x<-3 のとき x<0, x + 3 < 0 なので、与式は
　-x + 2(x + 3) ≧ 0
→　x + 6 ≧ 0
→　-6 ≦ x
このうち「x<-3 のとき」を満足するのは
　-6 ≦ x < -3

以上より、解は (b) (c) より
　-6 ≦ x ≦ -2

お書きの解は間違っていますね。
x=0 は明らかに与不等式を満足しません。


④|x| + |x - 1| < x + 4

「x」 と「x - 1」の正負によって場合分けします。

(a) x≧1 のとき x > 0, x - 1 ≧ 0 なので、与式は
　x + (x - 3) < x + 4
→　x < 7
このうち「x≧1 のとき」を満足するのは
　1 ≦ x < 7

(b) 0≦x<1 のとき 0≦x, x - 1 < 0 なので、与式は
　x - (x - 1) < x + 4
→　-3 < x
このうち「0≦x<1 のとき」を満足するのは
　0 ≦ x < 1

(c) x<0 のとき x<0, x - 1 < 0 なので、与式は
　-x - (x - 1) < x + 4
→　-3 < 3x
→　-1 < x
このうち「x<0 のとき」を満足するのは
　　-1 < x < 0

以上より、解は (a)(b)(c) より
　-1 < x < 7

No.5 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/06/13 23:31

例えば

③|x|-2|x+3|>= 0
それぞれの絶対値記号を個別に扱いますよ
│x│の絶対値の中身を見ると
x
このxが負から正に変わる境界線が０だから
０は場合わけの切り替えポイントです
次に、│x+3│の方も中身をみてやると
x+3
こちらは、x+3が負から正に切り替わるのが
x＝-3でありここが境界線だから
-3も場合わけの切り替えポイントです
２つの境界線を考慮して、
xが-3よりも小さい場合…A
xが-3〜0の場合…B
xが０以上の場合…C
と言う場合わけになります
(これだと、たしかに、境界線が-3と０になってますよね)
あとは、この場合わけに従って絶対値を外し
不等式や方程式を解くのです　
その方法はテキストの模範解答の通りです

No.4 回答者： 河内のおやじ 回答日時： 2024/06/13 23:27

2.0 ≤x<5の場合

この場合、2x は非負で、x-5は負になります:

• |2x| = 2倍

• |x - 5 = 5 - X

したがって、方程式は次のようになります:

2x+5-x = 8

x+5=8

x=3

0≤x<5なので、x=3はこの範囲に含まれま す。したがって、これは有効な解です。

3. x ≥5の場合

この場合、2xとx-5は共に非負になります:

。 |2x| = 2倍

• |x - 5 = x-5

したがって、方程式は次のようになります:

2x+x-5=8

3x-5=8

3x = 13

範囲に含まれないため答えでは有りません。

No.3 回答者： 河内のおやじ 回答日時： 2024/06/13 23:24

1. x <0の場合

この場合、2xとx-5は負になります:

|2x| = -2x

• |x - 5 = 5 - x

したがって、方程式は次のようになります:

-2x+5-x = 8

-3x + 5 = 8

-3x = 3

x = -1

x<0なので、x=-1はこの範囲に含まれます。 したがって、これは有効な解です。

No.2 回答者： 河内のおやじ 回答日時： 2024/06/13 23:21

与えられた方程式|2x|+ |x-5|=8を解きましょ う。

この問題は絶対値が含まれているため、まず 絶対値の定義に基づいて場合分けを行います。

1. |2x|と|x-5|の両方が変わる可能性のある点 を見つけます。具体的には、2×が0になる点 とx-5が0になる点です。

・2x=0となるのはx=0のとき

・x-5=0となるのはx=5のとき

これにより、区間を以下のように分けます:

1.x < 0

2.0≦x<5

3. x ≥ 5

それぞれの区間について方程式を解きます。