一般相対論でのローレンツ条件の存在

Question

一般相対論でのマックスウェル方程式において、ゲージ自由度λを使用して、ローレンツ条件▽μA＾μ＝０が課されますが、それが可能であることを数学的にどのように証明するか、教えてください。つまり、任意のベクトルポテンシャルA^μに対して、▽μA＾μ＋□λ＋Γ＾μμγd＾γλ＝０を満たすスカラーλが存在することを数学的にどのように証明するのですか。ここで、▽は共変微分、□はダランベール演算子、Γはクリストフェル記号です。ちなみに、特殊相対論の場合は、Γの項がないので、ヘルムホルツ型微分方程式となるので、その存在が数学的に保証されていることは理解しています。

eatern27 · Accepted Answer

一般論としてはベクトルやテンソルの方程式であっても差し支えはありませんが、
貴方が考えている対象は、スカラーであるべき量のはずだから、スカラーではないという判定になったのなら何かが間違っている事になるという事を言っているだけです。

eatern27 · Answer

あぁ、もしも、局所慣性系という「狭い」範囲での話を時空全体に拡張できるのか(大域的に定義できるのか)、という事を気にしているのなら、それは一般には不可能でしょう(そもそもベクトルポテンシャルが大域的には定義できないはずなので)

が、そのようなλの存在が要求される事はないはずなので、何でそんなものが必要だと思ったのかを考え直した方がよいかな。

eatern27 · Answer

確認ですが、
>▽μA＾μ＋□λ＋Γ＾μμγd＾γλ＝０
これの左辺がテンソル(スカラー)である事は確認したのでしょうか？

この形の式が出てくる経緯としては、
局所慣性系での方程式(▽μA＾μ＋□λ=0かな？)の形が先に決まっていて、それを座標変換する
というパターンが多いので、確認済なのだろうというつもりでいたのですが。

未確認→まずはその事を確認しましょう。

確認の結果スカラーだった→局所慣性系でお示しの式が成り立つλが存在するなら、同じλを一般座標系でも使えばその方程式は当然成り立ちます。(
スカラーであると言う事を言い換えているだけです)

確認の結果スカラーではなかった→ おそらく物理的に意味がない式を考えている事になると思うので、考えようとしている方程式が正しいか確認した方が良いかと。

eatern27 · Answer

この手の話は局所慣性系において存在を確認すればいいだけだと思いますが、確認できない理由は何かあるのでしたっけ。

一般相対論でのローレンツ条件の存在

一般論としてはベクトルやテンソルの方程式であっても差し支えはありませんが、

確認ですが、

この手の話は局所慣性系において存在を確認すればいいだけだと思いますが、確認できない理由は何かあるのでしたっけ。

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