数学1についてです。 a=bはa^2+b^2=2abであるための必要十分条件とありますが、a=1/2

数学1についてです。
a=bはa^2+b^2=2abであるための必要十分条件とありますが、a=1/2,b=1/2の時は成立しないような気がしますが、なぜでしょうか。
整数なら成立するのはわかります。
よろしくお願いします。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/08 16:02

a^2+b^2=2ab

↓↑
a^2+b^2-2ab=0
(a-b)^2=0
↓↑
a-b=0
↓↑
a=b

No.3 回答者： ssawatake 回答日時： 2024/07/08 14:28

成立してるでしょ？

(1/2)²+(1/2)²=1/4 + 1/4 = 1/2
2･(1/2)･(1/2)=2･(1/4) = 1/2

そもそも必要十分条件とはx⇒yも逆のy⇒xがも成立つ場合のこと。
(a=bならばa²+b²=2ab、a²+b²=2abならばa=b)が共に成立つ事を言う。

a=bならば、bにaを代入すると、a²+b²=2a²、2ab=2a²だから
a²+b²=2ab

a²+b²=2abならば、a²+b²-2ab=(a-b)²=0だから、a=b

∴a=bはa²+b²=2abの必要十分条件

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/07/08 14:26

補足

a＝bを満たすようなaとbの組:(a、b)
の集合をA
a²+b²＝2abを満たすようなaとbの組の集合をBとすると

Aの要素には
(a、b)＝(1、1)や(√2、√2)などがあります
Bの要素は
(a、b)＝(1、1)や(√2、√2)などです

(a、b)＝(1/2、１/2)…①はどうかと言うと
検証するまでも゙ないが①のときa＝bなので①はAの要素
また、先程の解答に示した通りなので①はBの要素でもある
よって①は反例にはなっていない
と言えます

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/07/08 14:14

a＝b＝1/2のとき

a^2+b^2＝(1/2)²+(1/2)²＝2/4
2ab＝2×(1/2)²＝2/4
成立してますね

この回答へのお礼

ほんとですね。早とちりでした。。

お礼日時：2024/07/08 14:36