有界はどうつかいますか？

https://imgur.com/a/75dQGrM

どこでまちがえたのかわかりませんけど、
（１）からできない
できないていうより、あてると思わない。

同伴方程式の特性法定積
z^2+2z+1=0を解いて基本回の２つ
x1 = e^-t
x2 = te^-tを得る
よってこの同伴方程式の一般かい（もとの非同次方程式のよ関数）は
X = C1e^-t + C2 te^-t
で、あとは特殊解を求める
基本回２つから特殊解を求めるのに代ゆして
x0 = -x1∫x2R/w(x1,x2)dt+x2∫x1R/w(x1,x2)dt
に代入して(ロンスキアンw = e^-2t), (R =cost)
で一般かいは特殊解とよかんすうの和なので
x = X + x0 = 1/2sint+C1e^-t+C2te^-t

t ->∞で有界ならなにかわからないです

(2), (3) はもっとわかりません。
どうやってとくか方法だけでもいいから教えて下さい

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/07/29 14:52

(2)

u = x + y,
v = x - y
で置換して u, v についての微分方程式にしたら、
(1)と似た感じで u, v が求まる。

(3)
問題の微分方程式を t で微分したものと
微分方程式自身とを比較すると、
式から (e^-t)x^2 という項が消去できる。
-2x’’ + ( 2(e^-t)x - 1 )x’ + x = 0
となって、これは線型微分方程式だね。

とりあえず、このヒントで一度自分で考えてみて。

この回答へのお礼

ありがとうございます～
再生工学やったらといてみます

お礼日時：2024/07/29 15:14

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/07/29 14:39

違った！

「t → -∞ で」有界な解か。

lim[t→-∞] e^-t = +∞,
lim[t→-∞] te^-t = -∞.
だから
C1 = C2 = 0 の場合だけだな。
Sorry.

この回答へのお礼

お礼日時：2024/07/29 15:12

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/07/29 14:28

なんか、公式を暗記して一生懸命やってるようだけど...

特殊解は、ヤマカンで x = A sin(t + B) でも代入してみると、
d²x/dt² + 2dx/dt + x = -Asin(t + B) + 2Acos(t + B) + Asin(t + B)
　　　　　　　　　　= 2Acos(t + B)
となって、 A = 1/2, B = 0 で十分なことが見つかる。
よって、x = (1/2)sin t + C1 e^-t + C2 te^-t. {C1, C2 は定数}　←[1]

この解のうち、t→+∞ で有界なものを答えれば良いわけだが、
[1] の解は、C1, C2 の値によらず t→+∞ で ∞ 発散しないので、
全て有界。 [1] のまま答えれば良い。

この回答へのお礼

特殊解は、ヤマカンで x = A sin(t + B) でも代入してみると、
d²x/dt² + 2dx/dt + x = -Asin(t + B) + 2Acos(t + B) + Asin(t + B)
　　　　　　　　　　= 2Acos(t + B)
となって、 A = 1/2, B = 0 で十分なことが見つかる

みつかりません。


C1, C2 の値によらず t→+∞ で ∞ 発散しないので

t -> -infだよ？

お礼日時：2024/07/29 14:38