数学 nCrの計算

青ペンで囲った式変形がなぜできるのかわかりません。途中式を教えてください。

質問者からの補足コメント

• 青ペンで囲った部分を自分で計算すると、どうしてもこうなってしまいます。

  
    補足日時：2024/07/30 12:06

No.6 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/30 15:09

画像の通り

この回答へのお礼

お礼日時：2024/07/30 18:05

No.7 回答者： rnakamra 回答日時： 2024/07/30 16:44

通分するときはできるだけ分母の最小公倍数になるようにすると計算が楽です。

r!=(r-1)!*r
(n-r)!=(n-r-1)!*(n-r)
ですから、(r-1)!(n-r)!とr!(n-r-1)!の最小公倍数はr!(n-r)!です。

(n-1)!/{(r-1)!(n-r)!}+(n-1)!/{(r!(n-r-1)!}=(n-1)!*r/{r!(n-r)!}+(n-1)!(n-r)/{r!(n-r)!}
=(n-1)!{r+(n-r)}/{r!(n-r)!}
と計算できます。

この回答へのお礼

お礼日時：2024/07/30 18:08

No.5 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/07/30 14:12

訂正

参考例を踊りにすれば
↓
参考例を元にすれば

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/07/30 14:10

貴方の通分計算でも良いんだけど、ちょっと遠回りの感があるのでこうして下さい

まずは参考例
7！＝7×(6×5×…×1)
＝7×6！
これを踏まえると
r！＝r×(r-1)！
(n-r)！＝(n-r)×(n-r-1)！
だから
(n-１)！＝A
(r-1)！＝B
(n-r-1)！＝C
とおかせてもらうと

青囲み一行め゙
＝A/{(B(n-r)C}+A/{rBC}
＝{A/(BC)}{1/(n-r)+1/r}
＝{A/(BC)}{n/(r(n-r))}
＝{(nA)/(rB(n-r)C)}…①

参考例を思うと
nA＝n(n-1)！＝n！であるから
①の分子＝n！
となります
同様にして
rB＝r！
(n-r)C＝(n-r)！
なので、①分母＝r！・(n-r)！
青囲みとは多少変化してるかもしれませんが
およそこのような考え方で変形が行われていますよ
貴方の補足の考え方でも
参考例を戻りにすれば同じ結果に辿りつくはずです

この回答へのお礼

お礼日時：2024/07/30 18:06

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/07/30 13:48

左の項の分母・分子にrを、右の項の分母・分子にn-rを掛けると

分母が揃うことに気がつけば暗算で一瞬ですよ。

(n-1)!/{(r-1)!(n-r)!} + (n-1)!/{r!(n-r-1)!}
=(n-1)!(r + n-r)/{r!(n-r)!}=n!/{r!(n-r)!}=nCr

この回答へのお礼

お礼日時：2024/07/30 18:06

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/07/30 12:05

詳しくは、

二項係数+パスカルの三角形
で検索してもらうとよいのですが

パスカルの三角形は
　　　　　１
　　　　／　＼
　　　１　　　１
　／　　＼　／　＼
１　　　　２　　　２
　　　　　・
　　　　　・　
　　　　　・
ですよね
これを、二項係数で表すと
₀C₀＝１として
　　　　₀C₀
　　　／　＼
　　₁C₀　　₁C₁
　／　＼　／　＼
₂C₀　　　₂C₁　　₂C₂
です

この続きの下部を見ていくと
　n₋₁Cr₋₁　n₋₁Cr
　／　＼／　＼
nCr₋₁　nCr　nCr₊₁
という部分が現れてきますから
n₋₁Cr₋₁+n₋₁Cr＝nCr
というのが簡単な変形方法です
次の投稿で愚直に通分計算する方法を解説します

この回答へのお礼

お礼日時：2024/07/30 18:06

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2024/07/30 11:16

「nCrの計算」その物は 分かりますね。

「青ペンで囲った式変形」は 単に分数の計算です。
分数の割り算は 割る方の分数の 分母子を逆にして 掛け算にします。
分数同士の掛け算は 分かりますね。
後は まとめて整理して 約分できる処は 約分します。
（例）： (3/5)÷(4/7)=(3/5)x(7/4)=(3x7)/(5x4)=21/20 。

この回答へのお礼

お礼日時：2024/07/30 18:06