中心極限定理の証明の冒頭部分です。 洋書を写したものなのですが、ペンで書いてある部分が分かりません。

中心極限定理の証明の冒頭部分です。
洋書を写したものなのですが、ペンで書いてある部分が分かりません。。(日本語は理解してます。)
モーメント母関数は必要条件ではないのに存在することにしてしまって良いのでしょうか？
また、青で書いてある通り、
(Sn-nμ)/n√σ は標準化されてる為、平均0,分散1になると予想がつくのですが、なぜXnも成り立つのでしょうか？Xnの平均はμ、分散はσ²ではないのですか？？初歩的なことで躓いてしまい申し訳ございません。。