f(x)=(px+q)sin(2x)/(ax+b) の問題

Question

画像の問題で解説があるのですが、難しすぎて教えて下さい。
(1)　”同値”　でというところですが、これはsin2xが2xになっていますが
　　ｘが０に近づくとsin2xも2xも同じ0になるから同じ
　　という事でしょうか（プリントミスじゃないですよね）
(2)　この同値の式だとなぜ　b=0　かつa=q(≠0)なのか
(3)①の式の解説でsin2x=1を満たすようにするのはなぜでしょうか
(4)ｘ＝Nπ＋π/4にすればsin2xが１になるのはわかるのですが
　　限定して∞に近づける（限定してとは）ことができるのでしょうか？
(5)ｐ＝０なら①が成り立つのはなぜなのか？

　長くなりましたがなんとかお願い致します。

sc348253 · Accepted Answer

難しいかな？普通のことを書いていると思いますが
(1)
lim  x→0　sin x / x =1 を使っている
lim  x→0　sin 2x / 2x =1　から　これを入れてもらったら
同値の式と同じはわかるはず　ですからミスではないです
(2)
右辺の2になるには
px →　0　　(x→0)　　...........................................(1)
で　pの値はなんでもいいので　ここではPはわからない
b/x →　∞　になり　収束しないから　b=0  .................(2)
 にならざるをえないし
同様に (1)  (2)  から　残ったのは
q*2x  / ax  →2q /a  この値が2　になるには　a=q 且つ　0でない
ことが必要
次に
lim  x→∞　f(x)=0  　　..............................................①
という条件から
(3)　(4)
-1 <=sin 2x<=1 だから　
sin2x =0 なら　係数が求められないし
sib2x = -1 でもいいが　sin 2x =1 にした時と同じ処理で
処理的に重複するし
他の値では面倒で求められないので
x →∞　なので　sin 2x =1 　も何度も出てくるし
従って　sin 2x =1 　......................................................(3)
の場合だけでいいから
(5)
P=0 にいないと　①　は　∞／∞　となって収束しないから
P=0 なら　(3) より　a/ax  →1/x  →　0　と収束する

故に　a=q=0 でない　かつ　b=p=0

stomachman · Answer

「同値」の意味はNo.2の仰る通り。しかしこの問題では、模範解答のような「同値になる命題（必要十分条件）」を持ち出すのはちょっとトリッキーだと思う。

[1] f(x)の分子は 
　　x→0のとき、(px + q)sin(2x)→0 
だから、lim[x→0]f(x) が0でない有限の値に収束するためには、f(x)の分母は
　　x→0のとき、ax+b→0
でなくちゃいけない（さもなくば、収束しないか0に収束する）。というわけで
　　b=0
と決まるんで
　　f(x) = (px + q)sin(2x)/(ax)
[2] 次に、a=0だとするとf(x)の分母がいつも0だということになり、それでは（極限を考える以前にそもそも）f(x)が関数にならない。だから、a≠0でなくちゃいけない。従って
　　f(x) = (p/a)sin(2x) + (q/a)sin(2x)/x   (a≠0)
[3] ところで、
　　sinc(x) =  x≠0 のとき sin(x)/x ,  x=0 のとき 1
は「sinc関数」（添付図）と呼ばれ、いろんな応用（特に物理学や工学）に出てくる重要な関数です。sinc関数は
　　lim[x→0] sinc(x) = sinc(0) = 1
　　lim[x→+∞] sinc(x) = 0
という性質を持ち、これらの証明は易しい。（だからやってみるといいと思います。さて、模範解答を書いた人も、sincを知っていればこそ
　　lim[x→0] sin(2x) / (2x) =  lim[x→0] sinc(2x) = 1
を利用しようとスグ思い付いたに違いない。sinc関数はまた、偶関数、至る所連続、至る所微分可能、-∞〜∞の範囲の定積分がπになる、矩形パルス波形(|ω|<1のとき1, さもなくば0)のフーリエ変換である、などの性質を持つ。）
　このsinc関数を使って書くと
　　f(x) = (p/a)sin(2x) + (2q/a)sinc(2x)  (a≠0, x≠0)
[4] x→0のとき右辺第1項→0、右辺第2項→(2q/a) だから
　　lim[x→0]f(x) = (2q/a)
これが2になると言うんだから
　　(2q/a) = 2  (a≠0)
より
　　q = a  (a≠0)
だとわかる。つまり
　　f(x) = (p/a)sin(2x) + 2sinc(2x)   (a≠0, x≠0)
[5] x→+∞のとき、右辺第1項は(p/a) ≠ 0なら収束せず、(p/a) = 0なら（恒等的に0だから）0に収束。また、sincの性質により、右辺第2項→0。ゆえに
　　lim[x→+∞]f(x) = 0
になるには
　　(p/a) = 0
でなくてはならない。以上から
　　f(x) = 2sinc(2x)   (x≠0のとき）
と決まる。

[6] 総括しますと、この問題はsinc関数を知っていればとても簡単なのだが、知らないとトリッキーな回り道をすることになる。数学でも暗記が役立つのは、こういう所じゃないかしらん。

ありものがたり · Answer

(1)
「同値」というのは、lim[x→0] (px+q)sin(2x)/(ax+b) と
lim[x→0] (px+q)・(2x)/(ax+b) が同じ値になるという意味ではありません。

lim[x→0] (px+q)sin(2x)/(ax+b) = 2 と
lim[x→0] (px+q)・(2x)/(ax+b) = 2 が命題として同値...
つまり、
lim[x→0] (px+q)sin(2x)/(ax+b) = 2 が成り立てば
lim[x→0] (px+q)・(2x)/(ax+b) = 2 が成り立ち、
lim[x→0] (px+q)・(2x)/(ax+b) = 2 が成り立てば
lim[x→0] (px+q)sin(2x)/(ax+b) = 2 が成り立つという意味です。

証明してみましょうか。
lim[θ→0] (sinθ)/θ = 1 であることから
lim[x→0] sin(2x)/(2x) = 1 が成り立ち、これを使って、
lim[x→0] (px+q)sin(2x)/(ax+b) = 2 ならば
lim[x→0] (px+q)・(2x)/(ax+b)
　= lim[x→0] { (px+q)sin(2x)/(ax+b) } / { sin(2x)/(2x) }
　= lim[x→0] { (px+q)sin(2x)/(ax+b) } / lim[x→0] { sin(2x)/(2x) }
　= 2/1 = 2,
lim[x→0] (px+q)・(2x)/(ax+b) = 2 ならば
lim[x→0] (px+q)sin(2x)/(ax+b)
　= lim[x→0] { (px+q)・(2x)/(ax+b) } ・ { sin(2x)/(2x) }
　= lim[x→0] { (px+q)・(2x)/(ax+b) } ・ lim[x→0] { sin(2x)/(2x) }
　= 2・1 = 2.

(2)
(1)で示した「同値」より、lim[x→0] f(x) = 2 を要請したということは
lim[x→0] (px+q)・(2x)/(ax+b) = 2 を要請したのと同じことです。
lim[x→0] (px+q)・(2x)/(ax+b) の値は容易に計算できて、
b = 0 のとき lim[x→0] (px+q)・(2x)/(ax+b) = lim[x→0] (px+q)・(2x)/(ax+0)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　= lim[x→0] (px+q)・2/a
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　= (p・0+q)・2/a = 2q/a,
b ≠ 0 のとき lim[x→0] (px+q)・(2x)/(ax+b) = (p・0+q)・(2・0)/(a・0+b) = 0
ですから、lim[x→0] (px+q)・(2x)/(ax+b) = 2 となるのは
b = 0 かつ 2q/a = 2 の場合です。

(3)(4)
その解答のロジックは、一般に lim[x→∞] g(x) が収束する場合、
lim[n→∞] g(n) = ∞ であるようなどんな数列 A(n) に対しても
lim[n→∞] g(A(n)) は lim[x→∞] g(x) と同じ値に収束する　　　　　←[＊]
という定理によっています。この定理を証明するのは、高校範囲の知識では
おそらく無理なので、直感的に了解してください。
x が ∞ に近づくとき f(x) が 0 に近づくのなら、
n を ∞ に近づければ、nπ+π/4 が ∞ へ近づくのだから
f(nπ+π/4) は 0 へ近づくだろう... まあ、そんなもんだと思いましょう。
(大学の数学では、この定理をきちんと証明してから使います。)

限定して∞に近づけることができる/できないの話ではなく、
lim[x→∞] f(x) = 0 が成り立つときには
lim[n→∞] f(nπ+π/4) = 0 が成り立つというだけです。

lim[n→∞] f(nπ+π/4)
　= lim[n→∞] (p(nπ+π/4)+q)sin(2(nπ+π/4))/(a(nπ+π/4)+b)
　= lim[n→∞] (p(nπ+π/4)+q)・1/(a(nπ+π/4)+b)
　= lim[n→∞] { pπ・n + (pπ/4+q) } / { aπ・n + (aπ/4+b) }
　= lim[n→∞] { pπ + (pπ/4+q)/n } / { aπ + (aπ/4+b)/n }
　= pπ/(aπ) = p/a.
これが = 0 になるのは p = 0 のときです。
(a ≠ 0 は、(2) で要請されています。)

数列を使ったトリックを使わなくても、
lim[x→∞] (px+q)/(ax+b) = 0 であれば
0 ≦ ｜(px+q)sin(2x)/(ax+b)｜ ≦ ｜(px+q)/(ax+b)｜ から
ハサミウチの定理で lim[x→∞] ｜(px+q)sin(2x)/(ax+b)｜ = 0.
よって lim[x→∞] (px+q)sin(2x)/(ax+b) = 0.
lim[x→∞] (px+q)/(ax+b) = A ≠ 0 であれば
lim[x→∞] (px+q)sin(2x)/(ax+b) は -｜A｜ 〜 +｜A｜ で振動、
lim[x→∞] (px+q)/(ax+b) が発散するならば
lim[x→∞] (px+q)sin(2x)/(ax+b) も発散する
ことから、
lim[x→∞] (px+q)sin(2x)/(ax+b) = 0 となるのは
lim[x→∞] (px+q)/(ax+b) = 0 のときであり、
すなわち p = 0 のときだと判ります。

(5)
(3)(4)の x = nπ+π/4 を使った方法で示したのは
lim[x→∞] f(x) = 0 ⇒ p = 0 だということです。
定理[＊] のところで同値性が崩れてますね。
問題を a, b, p, q の方程式として解くには
p = 0 ⇒ lim[x→∞] f(x) = 0 も示さねばなりません。
よくいわれる「十分性の確認」というやつです。

(3)(4)後半に書いた、ハサミウチを使った方法では、
最初から lim[x→∞] f(x) = 0 ⇔ p = 0 を示しています。

f(x)=(px+q)sin(2x)/(ax+b) の問題

難しいかな？普通のことを書いていると思いますが

「同値」の意味はNo.2の仰る通り。

(1)

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