x^(2)-x+a(1-a)<0 因数分解の途中式を教えてください。

x^(2)-x+a(1-a)<0

因数分解の途中式を教えてください。

No.4 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/08/31 13:28

普通、これはタスキガケで処理するので、途中「式」は無いかな。

x^2 - 1 x + a(1-a) を因数分解するには、
u + v = 1, uv = a(1-a) となる u,v をヤマカンで見つけて
x^2 - 1 x + a(1-a) = (x - u)(x - v) とやる。
u = a, v = 1-a はスグに見つかりますよね？

これを見つけられない、カンの鈍い人は、
x^2 - 1 x + a(1-a) = 0 を解の公式で解いて
x = { 1±√(1 - 4a(1-a)) }/2
　= { 1±√(4a^2-4a+1) }/2
　= { 1±√( (2a-1)^2 ) }/2
　= { 1±｜ 2a-1 ｜ }/2
　= { 1±( 2a-1 ) }/2
　= { 1+( 2a-1 ) }/2, { 1-( 2a-1 ) }/2
　= a, 1-a.
ここから因数定理で
x^2 - 1 x + a(1-a) = (x - a)(x - (1-a)).

いづれにせよ、与式は
(x - a)(x - (1-a)) < 0 と変形されます。
不等式を解くには、 a と 1-a の大小関係で場合分け
ですね。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/08/31 20:32

a(1-a)=(-a)(a-1)

x^2-x+a(1-a)<0
x^2+(-1)x+(-a)(a-1)<0
x^2+(a-1-a)x+(-a)(a-1)<0
x^2+(a-1)x-ax+(-a)(a-1)<0
(x+a-1)x-a(x+a-1)<0
(x+a-1)(x-a)<0

1-a<x<a
.or.
a<x<1-a

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2024/08/31 13:00

x²-x+a(1-a) の因数分解は たすき掛けで 出来ます。

足して -1 、掛けて a(1-a) となるように すれば良いです。
-a と -(1-a) を掛けると a(1-a) ですね。
足すと (-a)+{-(1-a)}=-a-1+a=-1 ですね。
つまり x²-x+a(1-a)=(x-a){x-(1-a)}=(x-a)(x+a-1) です。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2024/08/31 13:00

因数分解するのは

　f(x) = x^2 - x + a(1 - a)
ですね？

これは「たすきがけ」で
　足して -1
　かけて a(1 - a) = -a(a - 1)
になるものを探します。
そうすれば
　a - 1　と　-a
がよさそうということが分かりますね。

従って
　f(x) = (x + a - 1)(x - a)

検算してみれば
　f(x) = (x + a - 1)(x - a)
　　　= x(x + a - 1) - a(x + a - 1)
　　　= x^2 + (a - 1)x - ax - a(a - 1)
　　　= x^2 - x + a(1 - a)

No.1 回答者： ほい3 回答日時： 2024/08/31 12:34

x^(2)-x+a(1-a)

＝(x-a)(x-(1-a))
＝(x-a)(x+a-1)<0

どうでしょうか？