分数の計算について

なぜ分数の計算でわり算をかけ算になおしたい時は分母と分子を入れかえるのですか？

No.8 ベストアンサー 回答者： windwald 回答日時： 2024/09/11 20:36

#6さんの説明の通りなんですが、そもそもの話として割り算の定義というものが「逆数(分母分子を入れ替えた数)を掛けること」なんです。

たとえば、10÷5 と言う計算は「10×(1/5)をすること」です。
ここで5は分母が1の分数(5/1)と同じですよね。

No.7 回答者： ご意見をお願いします。 回答日時： 2024/09/10 21:31

すみません。

誤字脱字がありました。
補足させてください。

※2÷4＝2/4、3÷5＝3/5。分母と分子『の中』に分数『が入った』、複分数『の形』になりました。

No.6 回答者： ご意見をお願いします。 回答日時： 2024/09/10 21:18

分数の割り算を、何の理由の説明もなく、いきなり逆数のかけ算におきかえる方法を教えてしまうので、質問者様のような疑問を持つ方々が出てきて当然です。

むしろ、何の疑問も感じず教えられた通りに手順を繰り返すだけの、詰め込み教育の犠牲者たちよりは、よほど有望な方たちだと思います。
分数のかけ算では分子同士分母同士かけるですから、割り算でも同じことができます。
仮に2/3÷4/5について、考えてみましょう。

2/3÷4/5＝(2÷4)/(3÷5)
※( )は分母と分子をはっきりさせるために使っています。
＝(2/4)/(3/5)
※2÷4＝2/4、3÷5＝3/5。分母と分子に分数、複分数になりました。
＝{(2/4)×4}/{(3/5)×4}
※分子の中の分数の分母をなくすために、通分の要領で、分母と分子の両方に4をかけました。
＝(2)/{(3×4)/5}
＝(2×5)/[{(3×4)/5}×5]
※分母の中の分数の分母をなくすために、分母と分子の両方に5をかけました。
＝(2×5)/(3×4)
＝2/3×5/4

これの最初と最後だけを見比べてみましょう。

2/3÷4/5＝2/3×5/4

割り算がいつの間にかかけ算に入れ替わり、割る方（後ろ）の分数がいつの間にかひっくり返って逆数になってしまっています。
先ほどの手順を見れば、計算途中で複分数の分母をなくそうとした結果であることが見て取れます。
ただし、今の小中学校のカリキュラムでは複分数を扱わないことになっていますので、上手くも説明できないために理由を説明しないでケイサンホウホウだけを教え込んでいるのでしょう。
詰め込み教育の矛盾の一つだと思います。
分数の意義や性質、比や割合との関係者などを説明することなく計算の仕方だけを詰め込もうとした結果、分数が苦手な子どもたちを量産してしまっているのです。

No.5 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/09/10 18:31

例えば

6÷3＝2
ですよね
6と3をそれぞれ2倍して12と6にしてから
12÷6を計算しても答えは2で変わりません
6と3を3倍にしてから
18÷9としてもやはり答えは2です

このように、割り算は、割られる数と割る数の両方に同じ数をかけてから割り算しても
答えが変わらない性質を持っています

そこでこの性質を利用して
例えば、6÷（3分の2）の計算をしてみます
まず分母と同じ数3を、割る数6と、割られる数3分の2の両方にかけて
（6×3）÷2
としても、割り算のこたえは変わりません
更に、
今度は新しく割られる数となった（6×3）と
割る数2の両方に2分の1を掛け算して
（6×3×2分の1）÷1
としても答えは一緒
そして÷1はあってもなくても答えは変わらないので
6÷（3分の2）は
6×3×2分の1と答えが同じ
と言う事になります
掛け算だけの式はどこから掛け算しても良いので
3×2分の1から先に計算すると
この部分は2分の3となり
6×3×2分の1＝6×（2分の3）
となります

このことから、
結局
6÷（3分の2）は
6に（3分の2）をひっくり返した（2分の3）
を掛け算すれば良い事になるのです

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/09/10 18:23

約分ですよ。

(A/B)÷(C/D) = A/{ B(C/D) }
割るんだから、C/D は分母に入りますね？
右辺の分子分母を D 倍すれば、　　　　　　　←[＊]
A/{ B(C/D) } = (AD)/{ B(C/D)D } = (AD)/(BC)
　　　　　　= (A/B)×(D/C)
確かに、分子分母をひっくり返して掛けた
みたいな感じに見えはします。
たいせつなのは、[＊] でやった「D倍」です。

No.3 回答者： mimon01 回答日時： 2024/09/10 18:07

割り算というのは、1/(分数)を掛ける事になります。

1/((分子)/(分母))ですから、全体の分数の分母分子にそれぞれ元の分母を掛けて、
(分母)/((分子)×(分母)/(分母))
=(分母)/(分子)
となります。

No.2 回答者： 河内のおやじ 回答日時： 2024/09/10 17:35

分数の割り算で「分母と分子を入れかえる」（逆数を取る）理由は、分数の割り算を、より簡単なかけ算に変換するためです。

これは、数学の基本的な性質に基づいてす。
なぜこれがうまくいくかというと、分数の割り算における基本的な性質、つまり「逆数をかける」ことで本来の割り算の意味を保持しながら、計算をシンプルにすることができるためです。

No.1 回答者： sisann 回答日時： 2024/09/10 17:34

https://studyvision.info/calculation-fractional- …
けっこう深いです。