【再再投稿】数学、物理が得意な方に質問です。 エルミート多項式の直交性の導出がわかりません。 ただし

【再再投稿】数学、物理が得意な方に質問です。

エルミート多項式の直交性の導出がわかりません。
ただしエルミート多項式の漸化式は使わないものとします。

∫[-∞→∞]Hm(x)Hn(x)exp(-x^2)dx=2^n n!√πδ[m,n]を導く


exp(2tx-t^2)=Σ[m:0→∞]Hm(x) t^m /m!
exp(2sx-s^2)=Σ[n:0→∞]Hn(x) s^n /n!とします。


Σ[m:0→∞]Σ[n:0→∞]t^m s^n/(m! n!) ∫[-∞→∞]Hm(x) Hn(x) exp(-x^2)dx=Σ[n:0→∞]2^n √π t^n s^n/n!ここまで導くことができました。

m=nのとき


Σ[n:0→∞]Σ[n:0→∞]t^n s^n/(m! n!) ∫[-∞→∞]Hn (x)Hn(x) exp(-x^2)dx=Σ[n:0→∞]2^n √π t^n s^n/n!

左辺にΣ記号が2個ありΣが1個なら計算できます。2個あり、どう処理したらいいかわかりません。

m≠nのとき

まったくわかりません。

3ヵ月ぐらい悩んでます。



質問文を読まずにchat gptの利用や、数学、物理に縁がなくただ単語を検索しリンクを載せて回答するのは止めてください。まだ、エルミートの漸化式を使わない方法でお願いします。




漸化式を利用する方法は理解しています。