この積分の途中式をもう少し詳しくお願いします！ とくに赤いところが分からないです

この積分の途中式をもう少し詳しくお願いします！
とくに赤いところが分からないです

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2024/10/25 15:16

第２式から第３式へは「部分積分」を使います。

下記のようなやつ。
↓
https://hiraocafe.com/note/integration-by-parts. …
https://manabitimes.jp/math/1548

ここでは（積分範囲は省略しますが、定積分と考えてください）
　∫t･e^(-t)dt
= ∫t･[-e^(-t)]' dt
= -t･e^(-t) - ∫(t)'･[-e^(-t)]dt
= ※
（ここで「'」は「t で微分する」ことを示す）
すると
　(t)' = 1
ですから、上式は
※ = -t･e^(-t) + ∫e^(-t)dt
　= -t･e^(-t) - e^(-t)
　= -(t + 1)e^(-t)
あとはこれに「積分範囲」を考えればよい。

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2024/10/25 12:35

log x=t とおれば x=e^t から　x;1→e^1/3 t;０→１/３

置換積分で
dx/dt=d(log x)/dt=1/x
左辺=⌠1→e^１/３　(log x)*(1/x)*(1/x) dx
=⌠０→１/３　t *(1/e^t)* dx/dt dt
=⌠０→１/３　t *e^-t dt
= 2式になりました！

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2024/10/24 22:54

log x=t とおれば x=e^t から　x;1→e^1/3 t;０→１/３

置換積分で！

No.1 回答者： sc348253 回答日時： 2024/10/24 22:42

(fg)'=f'g+fg'

fg =⌠f'g +⌠fg' ∴⌠fg' =fg -⌠f'g
f'=t'=1 f=t
g'=e^-t g= - e^-t

部分積分から
⌠０→１/３　te^-1 dt=[t( - e^-t)]1/3 →０　‐　⌠０→１/３　(t)' (- e^-t)dt
=[t( - e^-t)]1/3 →０　+　⌠０→１/３　(t)' (e^-t)dt
=[t( - e^-t)]1/3 →０　-　[ (e^-t)]１/３→0
=[(- te^-t) ‐　e^-t ]1/3→０　
=[-(t+1)e^-t]1/3→０