「カスプ」とはなんでしょうか？

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質問者：marradona
質問日時：2001/09/22 23:59
回答数：3件

トポロジーの入門的な勉強をはじめました。読んでいる本にいきなり「カスプ」という言葉が出てきました。分厚い数学辞典を見てもそんな用語は見つかりません。ひょっとして日常語なのでしょうか？それとも同じ意味でもっと普及している用語があるのでしょうか？
数学用語である場合、できれば厳密な定義とともに直感的な意味もお聞きしたいです。
よろしくお願いします。

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No.1ベストアンサー

回答者： sesame
回答日時：2001/09/23 00:16

cusp というと普通は尖頭、尖端といった意味ですが…。

トポロジーの本なら出てきてもおかしくない用語かもしれません。

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No.3

回答者： prome
回答日時：2001/10/10 18:18

尖点（とがった点）のことです。

もともと17～18世紀からある代数曲線論（解析幾何学）で出てくる用語で、
stomachmanさんがおっしゃるように、後年トムやジーマンによる
カタストロフィー理論でも使われたものです。

直感的には「尖（とが）った」点です。参考URLにいろんな代数曲線の例が
出ていて、尖点を持つ曲線がたくさん書かれています。

厳密な定義については、よくわかりません。
言えるのは、特異点の一種だということ。
たぶん微分云々（不可能？）といった言葉で定義できるのでは
ないかと．．．
トポロジーというより代数曲線論（代数幾何学）の方が近い概念だと
思います。
厳密な定義をお知りになりたければ、その辺の書物を紐解かれると
よいでしょう。

参考URL：http://www.st.hirosaki-u.ac.jp/~mathsci_ana/Aaly …

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No.2

回答者： stomachman
回答日時：2001/09/23 01:19

ルネ・トムらの「カタストロフィー理論」でしょう。

微分方程式の分類、あるいは形態発生に関する理論です。４次元以下のカタストロフィーは局所的に７通りしかない、という定理が有名です。

３次元におけるカタストロフィーがカスプ。これは、ハンカチの一辺をS字に折って、残りの辺は直線にしておく、というふうにすると出来る折り目の形。

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U(-)={(x,y,z) |xはRに含まれ、y^2+z^2=2,y<0}
V(+)={(x,y,z) |xはRに含まれ、y^2+z^2=2,z>0}
V(-)={(x,y,z) |xはRに含まれ、y^2+z^2=2,z<0}
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（イ）φ(-):U(-)　→　B=R^1×(-√2,√2)　はφ(-)(x,y,z)=(x,z)
（ウ) ψ(+):V(+) →　B=R^1×(-√2,√2)　はψ(+))(x,y,z)=(x,y)
（エ）ψ(-):V(-) →　B=R^1×(-√2,√2)　はψ(-))(x,y,z)=(x,y)
　　　［注：　V(-)での局所座標が(x,y)である。　］

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