トポロジーの入門的な勉強をはじめました。読んでいる本にいきなり「カスプ」という言葉が出てきました。分厚い数学辞典を見てもそんな用語は見つかりません。ひょっとして日常語なのでしょうか?それとも同じ意味でもっと普及している用語があるのでしょうか?
数学用語である場合、できれば厳密な定義とともに直感的な意味もお聞きしたいです。
よろしくお願いします。

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A 回答 (3件)

cusp というと普通は尖頭、尖端といった意味ですが…。


トポロジーの本なら出てきてもおかしくない用語かもしれません。
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尖点(とがった点)のことです。


もともと17~18世紀からある代数曲線論(解析幾何学)で出てくる用語で、
stomachmanさんがおっしゃるように、後年トムやジーマンによる
カタストロフィー理論でも使われたものです。

直感的には「尖(とが)った」点です。参考URLにいろんな代数曲線の例が
出ていて、尖点を持つ曲線がたくさん書かれています。

厳密な定義については、よくわかりません。
言えるのは、特異点の一種だということ。
たぶん微分云々(不可能?)といった言葉で定義できるのでは
ないかと...
トポロジーというより代数曲線論(代数幾何学)の方が近い概念だと
思います。
厳密な定義をお知りになりたければ、その辺の書物を紐解かれると
よいでしょう。

参考URL:http://www.st.hirosaki-u.ac.jp/~mathsci_ana/Aaly …
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ルネ・トムらの「カタストロフィー理論」でしょう。


微分方程式の分類、あるいは形態発生に関する理論です。4次元以下のカタストロフィーは局所的に7通りしかない、という定理が有名です。

3次元におけるカタストロフィーがカスプ。これは、ハンカチの一辺をS字に折って、残りの辺は直線にしておく、というふうにすると出来る折り目の形。
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Qあまのじゃくってどういう意味ですか?

あまのじゃくってどういう意味ですか?

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Qあるトポロジー用語(英語)の日本語訳

とある解説文(英語)で、有名な”位置解析”という論文で
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というのがあると書いてありました。これを日本語では何と呼んでいるのか
または何のことに相当するのか、ご教示いただけると
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直訳では

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ですか?意訳では

変な理論を表現するために仮に考えた(置き換えた)集合体

みたいなもんですか
ポアンカレマップの概念ですね

Qどういう意味だと思いますか?

彼とLINEしていると
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たわいもないことをLINEでやりとりしているのですが

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回答に困って返事が遅れるという意味でしょうか?

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Q大学数学 トポロジーの様々な問題がわかりません

たくさん質問させていただきますが、一つでもわかったら回等していただけると幸いです。

(1)f:R^2 → R^1, f(x,y) = x^2 は連続写像であることを示す。
 εーδを使うのはわかるのですが書き方がわかりません。

(2)R^1と(3,10)は同相である。

(3)A = {(x,y,z) y^2 + z^2 = 2}は位相多様体

わかる方いたらアドバイスお願いします。

Aベストアンサー

こんにちは。
(1) g:R^2 →R^1をg(x,y)=xとすれば、gの連続性はやさしいです。また
 h:R^1→R^1を
h(x)=x^2 とすれば、f=h*g です。*は写像の合成を表します。
そこでポイントはh(x)=x^2の連続性です。
「微積」の教科書等にのっているので考えること。
因みに、g(x,y)=xがR^2の点(a,b)で連続なことは次のようにできます。
任意のε>0に対しδ>0をδ=εととれば、|x-a|≦√{(x-a)^2+(y-b)^2}なので
0<√{(x-a)^2+(y-b)^2}<δ とすれば、0<|x-a|<δ
となる。このとき|g(x,y)-g(a,b)|=|x-a|<δとなる。
δ=εだから、0<√{(x-a)^2+(y-b)^2}<δならば、|g(x,y)-g(a,b)|<ε
(なぜなら、δ=εとしたから)
これを参考にやってください。
◎ h(x)=x^2の連続性が調べてもわからなかったら
この回答に補足をつけてください。
(2) まず、
(-π/2,π/2) →R^1の同相は y=tanxで与えられる。
そこでh:(3,10)→(-π/2,π/2) の全単射が直線 y=ax+b
で、できるようにすればよい。x=3のとき、y=-π/2,
x=10のとき、y=-π/2となるようにa,bを決めよう。
決まったこの関数をh(x)とする。
よって、f=h*g:(3,10)→R^1を考えて、
f(x)=tan(h(x))を考えればよい。これはhomeomorphicになる。

(3) A={(x,y,z)|y^2+z^2=2}は、2次元(実)位相多様体になる。
それはAの定義でxは自由、よってxはR^1 全体を動く。
S={(y,z)|y^2+z^2=2}は yz平面では原点中心、半径√2の円
よって図形Aはx軸を真ん中に含む無限に伸びた円筒形の表面である。
アンテナの同軸ケーブルみたいな感じ。
ゆえにAは次の直積集合と同相であるというか同じ。
A=R×S 
故に円Sが1次元多様体であるのと同様に証明をすればよい。
R^2の開集合としては、B=R^1×(-√2,√2)を常にとればよい。
そこで、
Aの開近傍として、
U(+)={(x,y,z) |xはRに含まれ、y^2+z^2=2,y>0}
U(-)={(x,y,z) |xはRに含まれ、y^2+z^2=2,y<0}
V(+)={(x,y,z) |xはRに含まれ、y^2+z^2=2,z>0}
V(-)={(x,y,z) |xはRに含まれ、y^2+z^2=2,z<0}
の4つを考えると、U(+),U(-),V(+),V(-)はAの開集合であって、
Aはこの4つで覆われる。
そして、それぞれのところでの同相写像を
(ア)φ(+):U(+) → B=R^1×(-√2,√2) はφ(+)(x,y,z)=(x,z)
  [ U(+)での局所座標が(x,z)である。]
(イ)φ(-):U(-) → B=R^1×(-√2,√2) はφ(-)(x,y,z)=(x,z)
(ウ) ψ(+):V(+) → B=R^1×(-√2,√2) はψ(+))(x,y,z)=(x,y)
(エ)ψ(-):V(-) → B=R^1×(-√2,√2) はψ(-))(x,y,z)=(x,y)
   [注: V(-)での局所座標が(x,y)である。 ]

これらの写像、φ(+),φ(-)、ψ(+),ψ(-)は確かに同相写像である。
よって、Aの座標近傍系として、
{(U(+),φ(+)),,(U(-),φ(-)),(V(+),ψ(+)),(V(-),ψ(-))}がとれて、
Aは2次元の(実)位相多様体になる。
注:実は解析多様体になる。たとえば、U(+)かつV(-)で

ψ(-)*φ(+)^(-1):φ(+)(U(+)かつV(-)) →ψ(-)(U(+)かつV(-)) は
ψ(-)*φ(+)^(-1)(x,z)=(x,-√(2-z^2)) の形になる。
(「かつ」の集合の記号がすぐでなかったので )

こんにちは。
(1) g:R^2 →R^1をg(x,y)=xとすれば、gの連続性はやさしいです。また
 h:R^1→R^1を
h(x)=x^2 とすれば、f=h*g です。*は写像の合成を表します。
そこでポイントはh(x)=x^2の連続性です。
「微積」の教科書等にのっているので考えること。
因みに、g(x,y)=xがR^2の点(a,b)で連続なことは次のようにできます。
任意のε>0に対しδ>0をδ=εととれば、|x-a|≦√{(x-a)^2+(y-b)^2}なので
0<√{(x-a)^2+(y-b)^2}<δ とすれば、0<|x-a|<δ
となる。このとき|g(x,y)-g(a,b)|=|x-a|<δとなる。
δ=εだから...続きを読む

Q「あまのじゃく」に相当する英語は?

和英辞書を引いてみますと、色々な英語が出て来ます。
perverse or cussed person; contrarian とか。
それらの英語を逆引きすると、「つむじ曲がりの」とか「意固地な」とかの日本語になって、本来の日本語の意味の「あまのじゃく」に相当しません。

皆がこう言ったらいつも反対あるいは、別のことを言いたがる人。あるいは、何かが評判になったりして、多数の人がそこに殺到する時、その風潮に絶対に乗ろうとしない人。

私が捉えている「あまのじゃく」ですが、こんな性格の人は英米圏には殆んどいないから、それに相当する英語がないと言うことでしょうか?
もし、近い英語があれば教えて下さい。

宜しくお願いします。

Aベストアンサー

 yes-man, yes-sayer(はいはいと言うことを聞く人)の対義語、no-man, no-sayer(違う違うとごねる人)が近いだろうと思います。

Q数学における厳密性

自然科学、例えば物理では「厳密」に測定すると精度はどんどん上がっていくのが一般的だと思いますが、数学の世界で「厳密」に証明したら結果が違った、というような例はあるのでしょうか。

例えばε-δ論法での証明は厳密なもの、だと思いますが、「厳密」な証明で、数学的に結果が違ってくる、ようなことはないような気がします。

Aベストアンサー

たぶん文面から見て、

実験的に十分な数調べてみたけど、反例は見つからず、
『「厳密」に証明したら結果が違った』

というような例を探して欲しいという事でしょうか。

私が知ってる限り、一番近そうなのは、
Miller-Rabinによる素数の確率的判定法あたりです。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9F%E3%83%A9%E3%83%BC-%E3%83%A9%E3%83%93%E3%83%B3%E7%B4%A0%E6%95%B0%E5%88%A4%E5%AE%9A%E6%B3%95

このアルゴリズムは、ある数が素数であることを示したいとした時に、
「確率的には素数であることは十分確からしい」ということは言えても、
「間違いなく素数である」とは言えないです。

Qあまのじゃくな男性

中学生男子に
あまのじゃくな人は結構いますか?

あと中学生男子は
普通に女子の肩に触れたりは
するもんですか?

回答お願いします(*´∇`*)

Aベストアンサー

中学生はあまのじゃくが多い年代でしょう。

女の子に対し興味が無いようなふりをしたり、悪態をついたり。

肩に触れるのはある程度親しいしるしだと思います。

Q直感では「ウソだろ!」と思うけれど、数学的には正しいネタ

ごく普通の一般人である(と思っている)私が最近驚いた話です。
「地表に沿って、ロープで地球一周ぶん巻いたとする。そのロープを1mゆるめて、そのぶん均等に地表から浮かすようにすると、約16cm浮く。」
一般人の直感では、40000kmものロープをたかが1mゆるめただけでは、せいぜい誤差の範囲で、1mmたりとも浮きそうもない…と思いますが、計算してみるとたしかに16cmほど浮きます。
なんだかだまされたような不思議な気分です。

そこで、このような「一般人の直感に反するような数学的結果が出るネタ」って、ほかに何かないでしょうか?
できれば上の例のように簡単な計算で確かめられればよりよいのですが、なければ「証明は難しいけど結果はものすごくエキサイティング!」というネタでもかまいません。

Aベストアンサー

#3です
御指摘に感謝(汗)、半径で計算すべき所、直径で・・・・早トッチング。

のあと、思い出したのが

コップ一杯の水(赤い水:水分子に色がついていると仮定)
を海に流し、均一に混じった状態で再びコップですくった時
最初に有った赤色水分子は何個入っているか?

この問題をネットでも、検索すると色々見つかるようで。
海の水の総量で、答えにばらつきが有るようですが。。。。
その数には、驚きでした。

Qあまのじゃく・・・

なんとなく、あまのじゃくな性格です。
この性格ってどうしてこうなるの?
解決する方法とかありますか?

Aベストアンサー

同じくあまのじゃくです(笑)
#1さんのおっしゃること、確かに当たってるような気が・・・。
私は最近は、思わず言い返してしまっても
後で家に帰ってから反省をするようにしています(笑)
あまり役に立つか分かりませんが
参考程度に読んでおいていただけるとありがたいです。

Q素数が直感的直観的に分かる方法は何|哲学分野での質問を数学分野で質問再出発します

素数が直感的直観的に分かる方法は何|哲学分野での質問を数学分野で質問再出発します|素数が直感的に分かる人|になりたいのですが|どんな練習をつめばよいのでしょうか|完全に年老いた頭の固い人でも出来る方法が理想です|けれでも簡単な方法でも構いません|特定の答がないかもしれませんが|当方初心者で頭も柔軟性少な目なのでご容赦ください

Aベストアンサー

論理と直感。
これらはタマゴとニワトリのようなものと思います。
アナロジーを考えると、だいたい
代数と幾何。
初等整数論と初等平面幾何。
整数と平面。
素数と三角形。
算術の基本定理と三角不等式。
平方和の定理とピタゴラスの定理。

さて、三角形というものを考えるとき、直感的には、
図形
を思い浮かべますが、論理的に、
3つの点の座標、3つの直線の方程式、3つの辺長、3つの角度、一次独立なベクトル
を思い浮かべてもいいです。

次に、素数というものを考えるとき、論理的には、
数字
を思い浮かべますが、直感的に、
環の素イデアル、スキームのスペクトル
を思い浮かべてもいいです。


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