高３ 数学

楕円x^2/4 + y^2 =1と双曲線 x^2/2 -y^2 =1の交点におけるそれぞれの接線は直交することを示せ。

どなたか解き方を教えてください…(；；)

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/05/17 05:38

楕円

x^2/4+y^2=1
と
双曲線
x^2/2-y^2=1
の
交点を(x,y)とすると

楕円
x^2+4y^2=4
双曲線
x^2-2y^2=2

6y^2=2
y^2=1/3
y=±1/√3

x^2-2/3=2
x^2=2+2/3
x^2=8/3
x=±2√2/√3

交点は
(x,y)=(2√2/√3,1/√3)
(x,y)=(2√2/√3,-1/√3)
(x,y)=(-2√2/√3,1/√3)
(x,y)=(-2√2/√3,-1/√3)
の
4つ

楕円
x^2+4y^2=4
↓微分すると
2x+8yy'=0
x+4yy'=0
4yy'=-x

楕円の接線の傾きは
y1'=-x/(4y)

(x,y)=(2√2/√3,1/√3)のときy1'=-1/√2
(x,y)=(2√2/√3,-1/√3)のときy1'=1/√2
(x,y)=(-2√2/√3,1/√3)のときy1'=1/√2
(x,y)=(-2√2/√3,-1/√3)のときy1'=-1/√2

双曲線
x^2-2y^2=2
↓微分すると
2x-4yy'=0
x-2yy'=0
x=2yy'

双曲線の接線の傾きは
y2'=x/(2y)

(x,y)=(2√2/√3,1/√3)のときy2'=√2
(x,y)=(2√2/√3,-1/√3)のときy2'=-√2
(x,y)=(-2√2/√3,1/√3)のときy2'=-√2
(x,y)=(-2√2/√3,-1/√3)のときy2'=√2

(x,y)=(2√2/√3,1/√3)のとき(y1')(y2')=(-1/√2)√2=-1
(x,y)=(2√2/√3,-1/√3)のとき(y1')(y2')=(1/√2)(-√2)=-1
(x,y)=(-2√2/√3,1/√3)のとき(y1')(y2')=(1/√2)(-√2)=-1
(x,y)=(-2√2/√3,-1/√3)のとき(y1')(y2')=(-1/√2)(√2)=-1

∴
(y1')(y2')=-1
(楕円の接線の傾き)(双曲線の接線の傾き)=-1
だから
接線は直交する

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/05/17 01:26

曲線 (1/4)x^2 + y^2 = 1 に何らかのパラメータ(例えば、弧長パラメータとか)を入れて、

x = X1(t), y = Y1(t) のように表します。この t で方程式の両辺を微分すると、
(1/2)X1 dX1/dt + 2Y1 dY1/dt = 0.
これを内積の式と見ると、 (dX1/dt, dY1/dt) ⊥ ((1/2)X1, 2Y１) であることが判ります。

同様に、 x^2/2 - y^2 =1 にパラメータ s を入れて
x = X2(s), y = Y2(s) とすると、式の両辺を微分して
X2 dX2/ds - 2Y2 dY2/ds = 0.
よって、(dX2/dt, dY2/dt) ⊥ (X２, -2Y2) です。

x^2/4 + y^2 = 1 と x^2/2 - y^2 = 1 の交点は
(x, y) = (X1, Y1) = (X2, Y2) となる t, s の組に対応しています。
そのような t, s に対して
((1/2)X1, 2Y１)・(X２, -2Y2) = ((1/2)x, 2y)・(x, -2y)
　　　　　　　　　　　　= (1/2)x^2 - 4y^2
が成り立ちますが、
x^2/4 + y^2 = 1 かつ x^2/2 - y^2 = 1 なので
(1/2)x^2 - 4y^2 = (-2){ x^2/4 + y^2 } + 2{ x^2/2 - y^2 }
　　　　　　　= -2・1 + 2・1
　　　　　　　= 0
です。

これは ((1/2)X1, 2Y１) ⊥ (X２, -2Y2) を意味しますから、
(dX1/dt, dY1/dt) ⊥ (dX2/ds, dY2/ds) でもあります。

x^2/4 + y^2 = 1 と x^2/2 - y^2 = 1 の接ベクトルどうしが
垂直ですね？