標準誤差の式の分母はなぜ√ｎ

標準誤差＝標準偏差/√nですが、なぜ分母が√nになるのかが分かりません。
どなたかその根拠を教えて頂けませんか？
宜しくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： onakyuu 回答日時： 2005/06/02 22:16

たとえば、コインを投げて表なら1、裏なら-1とします。

これは数学的に言えば、Xiが確率pで1、確率1-pで-1
を取る独立な確率変数といえます。
この確率変数の期待値は、1p-1(1-p)=2p-1です。
ちなみに標準偏差も計算できて2√p(1-p).

pは、おそらく1/2くらいだと思われるが、実際いくつ
になるかをコインをn回投げる実験を行って調べるこ
とにします。この標本平均は
(1/n)ΣXi　　(*)
とかけて、これは不偏統計量になります。
すなわち式(*)をもって母平均2p-1に対する推定値と
することができます。
ただここで、この推定値がどれほど正確か、すなわち
いかほどの誤差を含みうるも知る必要があります。
（これが標準誤差の意味なのです）。
(*)は独立なn個の確率変数の和なので中心極限定理
より正規分布に近づき、この「正規分布の標準偏差」
は「元の標準偏差」～「標本標準偏差」の1/√nにな
るのです。

おおざっぱにいうと
標準誤差＝(不偏統計量の分布の標準偏差）
　　　　＝(元の分布の標準偏差)/√n
といことで、中心極限定理の考え方で1行目から
2行目が得られています。

No.2 回答者： paddler 回答日時： 2005/06/02 11:31

すみません、下記の回答で「N」は「n」と同じです。

大文字で書いてしまいました。

No.1 回答者： paddler 回答日時： 2005/06/02 11:23

> なぜ分母が√nになるのかが分かりません。

分母の「√n」だけに着目しないで、元の式の意味を考えてみてください。

「分散」って分かりますか？（分からなければ、そこから勉強！）

　　標準偏差＝√分散

で、

　　分散＝平均二乗誤差（＝ Σ(Xi-Xの平均)^2 / N）

ですから、ご質問の最初の式は、

　　標準誤差＝標準偏差/√n＝ √{Σ(Xi-Xの平均)^2} / N

で、実質的な分母は「N」になっています。これなら、疑問は生じないですね？