２桁の正の整数について

問題は
2桁の正の整数で、二乗した数の下２桁がもとの数と同じになるようなものをすべてあげるのですが、

これは２桁だから10から99の数なんですよね？
でも,10から99の数を二乗して求めるのはとても時間がかかってしまいます。
簡単な求める方法はありますか？
おねがいします

No.1 回答者： erara 回答日時： 2005/06/04 16:23

10から99まで調べる必要はないですね。

例えば
下二桁がおなじ数字と言うことは、
元の二桁の数字の一桁目は
1.5.6のいずれかで無ければなりません。

同様に工夫すれば実際計算が必要なものはずっと少なくなりますよ。

No.2 回答者： torahuzuku 回答日時： 2005/06/04 16:35

一の位の数をAと置くと、

Ａ*Ａ=○Ａ　となる数は、０から９までの数で、限られてくるかと思いますが。
その先をどうするかですね。

No.3 回答者： Interest 回答日時： 2005/06/04 16:37

Excelでちゃちゃっと計算してみました。

25 * 25 = 625
76 * 76 = 5776

が出てきました。意外と少ないですね。
数学的な回答ではないので、あくまで参考ということで。

No.4 回答者： kony0 回答日時： 2005/06/04 18:17

求める整数をnとすると、n^2-nが100の倍数になることが必要です。

つまり、n(n-1)が2^2*5^2の倍数となることが必要。

nとn-1がどちらも5の倍数になることはないので、nかn-1が5^2=25の倍数であることが必要。

この時点で、n=25,26,50,51,75,76に候補が絞れました。

この回答への補足

n^2-nの式はどこから出たのですか？

n=10としたとき、
100-10=90となるので
１０から90という範囲になるのですか？

5*5=25ぐらいしか思いつきません。

なかなか理解できなくてすいません

補足日時：2005/06/04 18:50

No.5 回答者： eatern27 回答日時： 2005/06/04 23:39

横ヤリすいません。

＞n^2-nの式はどこから出たのですか？

例えば、298と98は下二桁が同じです。298と98の差を考えみると、
298-98=200
のように、下二桁が00となります。下二桁が00という事は、100の倍数という事です。

このように下二桁が同じ2つの自然数の差を考えると、必ず、下二桁は00、つまり、100の倍数となります。

この事を頭に入れておいてください。
＞2桁の正の整数で
この整数をnとおきます。

＞二乗した数の下２桁がもとの数と同じになるようなもの
二乗した数(=n^2)ともとの数(=n)の下二桁が同じなので、
n^2-nの下二桁は00、つまり、n^2-nは100の倍数となります。

n^2-nは、このようにして出てきたものです。

この回答への補足

ご親切にどうもありがとうございます。
例題で、n^2-nが100の倍数になることがわかりした。

n(n-1)が2^2*5^2の倍数はどうして、両方とも２５の倍数ではないのでしょうか？

2^2*5^2と掛け算になっているのでいいのかな？と思ったのですが。

ほかに、下一桁だけ考えると（下二桁がもとの数と同じになるような）
1,5,6が立候補ででてきました。
25,50,75,26,51,76は1から100の間でコマめに探すのでしょうか？
もし、簡単な方法がありましたら教えてください。

私は、25,50,75,26,51,76が答えだと思いましたが、参考書を見たら25,26でした。
どうして、この２個が選ばれたのでしょうか？

沢山質問してすいません。

補足日時：2005/06/05 07:51

No.6 ベストアンサー 回答者： torahuzuku 回答日時： 2005/06/05 10:09

お早うございます。

No2です。
No4さんのご回答、それをフォローされたNo5さんのご回答どちらも素晴らしいですね。お二人に比べたら足元にも及びませんが、私にも横ヤリを入れさせてください。(^_^)

＞25,26,50,51,75,76,は、1から100の間でこまめに探すのですか？

条件n(n-1)が2^2*5^2の倍数となる事が必要。なおかつ
nとn-1がどちらも5の倍数になる事はない。ですが、
例えば、n=25とするとn-1=24で5の倍数ではない。
逆にn-1=25とすると、n=26でやはり5の倍数ではないですね。

もうお解かりですよね。
n(n-1)=100=2^2*5^2=4*25 でnとn-1の候補は、24,25,26ですね。ここで、24*24=576 で下一桁が4にならないので、24は候補から外れますね。

そこで二桁の5の倍数はn-1を5の倍数とすると、nは5の倍数に1を加えたものになりますね。それと先の5^2=25の倍数となる事が必要という条件から、

すなわち、25,26,50,51,75,76が出てきます。
なお、参考書の答は、25,76の間違いでは？

蛇足ですが、私はNo3さんのExcelで答えを出された方法に興味があります。別カテで質問するかもですよ。(^_^)

No.7 回答者： eatern27 回答日時： 2005/06/05 11:25

n(n-1)が100=2^2*5^2の倍数である事が必要かつ十分な条件です。

自然数を5で割った余りを順番に並べると
0,1,2,3,4,0,1,2,3,4,0,1,2,3,4,0,1,2,3,4,0,1,2,・・・
のようになっています。これを見ると、0が2つ隣あわないという事が分かります。
これは、隣り合う二つの整数が同時に5の倍数になる事はない、という意味ですよね。
なので、n,n-1の両方が同時に5の倍数になることはありません。
よって、n(n-1)が100の倍数になるには、nかn-1のいずれか一方が25の倍数でなければいけません。この条件から
25,26,50,51,75,76
の6つに絞れます。

また、同様に、両方が同時に2の倍数になる事はありません。(一方が偶数で、他方が奇数ですよね)
なので、n(n-1)が100の倍数になるには、nかn-1のいずれか一方が4の倍数でなければいけません。

この条件から、上に書いた6つの候補のうち、
25,76
の2つが答えだ分かります。

実際に計算してみると、#3さんのように、25と76は条件を満たしていますよね。

No.8 回答者： Interest 回答日時： 2005/06/05 11:42

ANo.3 です。

最近は「如何に楽して結果を出すか」ばかり考えています（笑）　数式を捏ねてみたけど答えがわからなかったから、計算機に任せた方が早いと判断したのは内緒の話。

torahuzuku さんのリクエストにお答えして、excelでの計算方法を公開します。結果を確認するための道具としてお使いください。

--- やりかた ---
step1. セルA1～A90に 10～99 を入力する。
step2. セルB1,C1,D1 に次の数式を入力する。
(B1) =A1^2
(C1) =mod(B1,100)
(D1) =if(A1=C1,1,0)
step3. B1,C1,D1 をコピーしてB90,C90,D90まで同じ内容をペーストする。
----------------

これで計算は終わりす。
Aの列は元の値
Bの列は元の値の２乗
Cの列は２乗して得られた値の下２桁
Dの列は元の値と「元の値を２乗して得られた数字の下２桁」が等しいかどうか
をあらわしています。

あとはD1～D90をみて値が 1 になっているものを探します。探すのが面倒なら、Dの列全体に対してメニューバーから （データ）-> （オートフィルタ）で、値が 1 になっているものだけ表示させるという手もあります。

得られた答えは前述の通り、
25, 76
の二つでした。

この回答への補足

もしよかったら、他の問題で因数分解の証明の回答を待っているのでこれもよろしくおねがいします

補足日時：2005/06/05 14:25

No.9 回答者： torahuzuku 回答日時： 2005/06/05 13:10

No2,No6です。

eatern27さんのお答えは、本当に素晴らしいですね。非常に勉強になります。それにつけても、kony0さんのご明察には脱帽です。

Interestさん、計算方法ご公開有難うございました。
Excelを勉強中ですので非常に助かりました。

興味ある問題を提起されたboku115さんと素晴らしいご回答を寄せられた皆様にこの場をお借りして感謝です。m(__)m

この回答への補足

みなさんありがとうございました。
やっと、理解できました。
今後度もよろしくおねがいします

補足日時：2005/06/05 14:24