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線積分についてわからないところがあるので、教えてください。
XY平面状で原点Oから点A(1,1,0)に至る曲線y=x^3及び、
OからB(1,1,0)を経てAに至る折れ線に関するA→=xyi→+xj→の線積分を求めよ
という問題なのですが、
線積分の定義により、∫A→・dlなので、
A→・dl=(xyi+xj)・(dxi+dyj+dzk)で=xydx+xdy
となりますよね?
ここでdy=3x^2dxなので、
上式=x^4dx+3x^3dxとなりますよね?
でも、未だに線積分の積分区間が良く理解できないので、
ここで行き詰ってしまいます。
このあとはどうすればよいのでしょうか?
あと、折れ線のほうはどうすれば良いのでしょうか?
A 回答 (1件)
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No.1
- 回答日時:
A→・dl=xydx+xdy [1]
この式の意味は、xがdxだけ増加し、yがdyだけ増加すると線積分はxydx+xdyだけ増加する、という意味です。つぎに、
dy=3x^2dx [2]
これは、xがdxだけ増加すると、yは 3x^2dx だけ増加するという意味です。
[1]と[2]を合わせて、線積分をxの変化だけで表わしたのが、
A→・dl=x^4dx+3x^3dx [3]
これは、xがdxだけ増加すると、線積分がx^4dx+3x^3dxだけ増加するという意味です。つまり、xの変化だけで表わすことができたので、積分区間の始点・終点は、曲線の始点、終点に対応するxをとればよいのです。
折れ線の場合も同様です。ただ、B(1,1,0)はAと同じ点なので、写しまちがいかもしれません。
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