全微分と偏微分

ある本で次の式が掲載されています。
(dvx/dy)=（δX／δｙ）（δｖｘ／δX）＋（δY／δｙ）（δｖｘ／δY）

※ｖｘ　はｘ方向の速さｖを表しています。（ｘはｖの添字）

この式は，δXやδYを消すと
(dvx/dy)=（δｖｘ／δｙ）＋（δｖｘ／δｙ）になると思います。

ここで質問です。
ｖｘをｙで微分したものを２つ足すとなぜ全微分が出てくるのでしょうか。

ｖ（ｘ，ｙ）だとしたら
（ｄｖx）＝（δｖx／δx）dx＋（δｖx／δｙ）dy
（dvy）＝（δｖｙ／δx）dx＋（δｖｙ／δｙ）dy
※ｖｘはｘ方向の速さ　ｖｙはｙ方向の速さ

このあたりまでは式ができるのですが，よく分かりません。
どなたか御指導をお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/08/19 13:50

質問内容がはっきりしないので思いっきり推測で突っ走ります。

大間違いかも。

x, y はおそらく点の2次元の位置なのでしょう。

x=f(t), y = g(t) とすれば vx = dx/dt = df/dt, vy = dy/dt=dg/dt

ここで、tの範囲を絞れば t = g^(-1)(y) とおける場合があるので、
vx は vx(g^(-1)(y) として、これを改めて vx(y) と書くことにします。

これでようやく dvx/dy が存在できます。

で y = h(X, Y) と置くと
#X, Y は独立ではないが、X, Y を y から計算することにすれば形式的に独立として
問題ないので


vx(h(X, Y)) と書けるので、これを改めて vx(X, Y) とかけば ∂vx/∂X, ∂vx/∂Y
が存在できます。

dvx = (∂vx/∂X)dX + (∂vx/∂Y)dY
dvx = (∂vx/∂X)(dX/dy)dy + (∂vx/∂Y)(dY/dy)dy
dvx/dy = (∂vx/∂X)(dX/dy) + (∂vx/∂Y)(dY/dy)

ここで dX/dy とは x = x(g^(-1)(y)) つまり　xはyの関数だから　X も yの関数なので
yで微分可能という意味です。Yも同様。

左の vx と右の vx は出力は同じものですが入力はまるで違うものであることに注意しましょう。


>(dvx/dy)=（δｖｘ／δｙ）＋（δｖｘ／δｙ）になると思います。

δの意味が不明ですが、そういうふうにはなりません。

例えば f(a, b, c) で a = a(t), b(t), c=c(t) とすると

df/dt = (∂f/∂a)(da/dt) + (∂f/∂b)(db/dt) + (∂f/∂c)(dc/dt)

これが df/dt = 3df/dt なんてことにはなりません(^^;

da を∂aで約分するというのは反則です。

この回答へのお礼

　お返事が遅くなって申し訳ありませんでした。回答ありがとうございます。
最終行から上４行の説明はよく分かりました。

　皆様から教えていただいたことを基にもう少し整理してみたいと思います。

お礼日時：2014/08/22 09:52

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/08/16 23:24

補足を読む限り

vx=dx/dt

みたいだし、xとyは独立ではないように思えますが
xとyはひとつの運動する点の座標なんですか?

この回答への補足

回答ありがとうございます。
vx=dx/dtだと思います。

同様に
ｖｙ＝dy/dtだと思っています。

大文字のX，Yは小文字のｘ，ｙ座票を４５°反時計回りに回転させた座標です。

補足日時：2014/08/17 19:38

No.2 回答者： spring135 回答日時： 2014/08/14 22:14

#1です。

＞ところで，私は以下のように考えたのですが，数学的には問題がある考え方でしょうか。

ｄｖｘ＝（∂ｖｘ／∂ｘ）ｄｘ＋（∂ｖｘ／∂ｙ）ｄｙ　　(1)
※　ｖｘの変化＝（ｘのみを変化させたときのｖｘの変化量）*（ｘの変化）＋（ｙのみを変化させたときのｖｘの変化量）*（ｙの変化）だと思います。

OKです。




＞ 両辺をｄｙで割ると
（ｄｖｘ／ｄｙ）＝（∂ｖｘ／∂ｘ）（ｄｘ／ｄｙ）＋（∂ｖｘ／∂ｙ）(2)

この式のように書けるのはxがyの関数、つまりx=x(y)のばあいです。そうするとvxはyのみの関数となります。

(1)はvxが2変数x,yの関数でx,yが独立に変化する場合の式です。x,yが独立の場合は(2)のdx/dy=0で(2)は

（∂vx/∂ｙ）＝（∂vx/∂ｙ）

に帰着します。



＞ここで，左辺第１項に　（∂ｘ／ｄｘ）があり，どちらもｘの微小変化だから＝１


完全に意味不明です。


同じくどちらもｙの微小変化だからｄｙ＝∂ｙと直すと

偏微分と全微分、ないしは1変数関数の場合の微分を完全に混同しています。これらの3者を峻別してください。




＞（ｄｖｘ／ｄｙ）＝（∂ｖｘ／∂ｘ）（ｄｘ／ｄｙ）＋（∂ｖｘ／∂ｙ）
（ｄｖｘ／ｄｙ）＝（∂ｖｘ／∂ｙ）＋（∂ｖｘ／∂ｙ）

　特に偏微分記号∂と普通の微分記号ｄを入れ替えていることは上記の場合に関して数学的に問題があるでしょうか。

徹底的に問題です。

この回答への補足

　何度も繰り返しご回答いただきありがとうございました。
ただ理解が悪くて申し訳ないのですが，まだよく分かりません。

Ｘ＝（ｘ＋ｙ）／√２，Ｙ＝（－ｘ＋ｙ）／√２
この式をｔ，ｘ，ｙで微分
ＶＸ＝ｄＸ／ｄｔ＝（ｖｘ＋ｖｙ）／√２
ＶＹ＝ｄＹ／ｄｔ＝（－ｖｘ＋ｖｙ）／√２
（∂Ｘ／∂ｘ）＝１／√２，（∂Ｘ／∂ｙ）＝１／√２，（∂Ｙ／∂ｘ）＝－１／√２，（∂Ｙ／∂ｘ）＝１／√２

さらに整理して
ｖｘ＝（ＶＸ－ＶＹ）／√２，ｖｙ＝（ＶＸ＋ＶＹ）／√２

これらを使って，
（ｄｖｘ／ｄｙ）＝（∂Ｘ／∂ｙ）（∂ｖｘ／∂Ｘ）＋（∂Ｙ／∂ｙ）（∂ｖｘ／∂Ｙ）
（ｄｖｙ／ｄｘ）＝（∂Ｘ／∂ｘ）（∂ｖｙ／∂Ｘ）＋（∂Ｙ／∂ｘ）（∂ｖｙ／∂Ｙ）

以上が，該当箇所の記述です。

　このうち，最後の２行の式の意味が理解できません。
解説をお願いできないでしょうか。

補足日時：2014/08/14 23:31

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2014/08/14 14:06

要するに関数関係を把握してから微分なり、変分なりを考えるべきです。

(dvx/dy)=（∂X／∂ｙ）（∂ｖｘ／∂X）＋（∂Y／∂ｙ）（∂ｖｘ／∂Y）

という式は中途半端です。

(1)vxはX,Yの関数で、X,Yは(x,y)の関数とした場合

vx=vx(X,Y)

X=X(x,y)

Y=Y(x,y)

yの変化に伴うvxの変化を求める場合は

(∂vx/∂y)=（∂X／∂ｙ）（∂ｖｘ／∂X）＋（∂Y／∂ｙ）（∂ｖｘ／∂Y）

(2)vxはX,Yの関数で、X,Yはyの関数の場合

vx=vx(X,Y)

X=X(y)

Y=Y(y)

yの変化に伴うvxの変化を求める場合は

(dvx/dy)=（dX／dｙ）（∂ｖｘ／∂X）＋（dY／dｙ）（∂ｖｘ／∂Y）


まずどちらなのかを確認してください。



＞ｖｘをｙで微分したものを２つ足すとなぜ全微分が出てくるのでしょうか。

vx(X,Y)のとき、X,Yが共に微小変化したときのvxの変化量を全微分というからです。

dvx=(∂vx/∂X）dX＋(∂vx/∂Y）

∂vx/∂XはYは一定（変化しない）という条件下でXだけ微小変化させた場合のvxの変化量という意味です。

∂vx/∂YはXは一定という条件下でYだけ微小変化させた場合のvxの変化量という意味です。

この回答への補足

早速の御回答ありがとうございました。
該当の本には　(dvx/dy)=（∂X／∂ｙ）（∂ｖｘ／∂X）＋（∂Y／∂ｙ）（∂ｖｘ／∂Y）と出ていますが，その前の記述から考えると（１）vxはX,Yの関数で、X,Yは(x,y)の関数とした場合だと思われます。

　ところで，私は以下のように考えたのですが，数学的には問題がある考え方でしょうか。

ｄｖｘ＝（∂ｖｘ／∂ｘ）ｄｘ＋（∂ｖｘ／∂ｙ）ｄｙ
※　ｖｘの変化＝（ｘのみを変化させたときのｖｘの変化量）*（ｘの変化）＋（ｙのみを変化させたときのｖｘの変化量）*（ｙの変化）だと思います。


両辺をｄｙで割ると
（ｄｖｘ／ｄｙ）＝（∂ｖｘ／∂ｘ）（ｄｘ／ｄｙ）＋（∂ｖｘ／∂ｙ）

ここで，左辺第１項に　（∂ｘ／ｄｘ）があり，どちらもｘの微小変化だから＝１

同じくどちらもｙの微小変化だからｄｙ＝∂ｙと直すと


（ｄｖｘ／ｄｙ）＝（∂ｖｘ／∂ｘ）（ｄｘ／ｄｙ）＋（∂ｖｘ／∂ｙ）
（ｄｖｘ／ｄｙ）＝（∂ｖｘ／∂ｙ）＋（∂ｖｘ／∂ｙ）

　特に偏微分記号∂と普通の微分記号ｄを入れ替えていることは上記の場合に関して数学的に問題があるでしょうか。

補足日時：2014/08/14 16:06