円の接線が半径に対して垂直になるのはわかるんですけど
証明がいろいろ探してみたんですがどうしても見つかりません
誰か教えてください

A 回答 (5件)

単純に考えてみました。


背理法を用いて、円の接線が半径に対して垂直じゃないものと仮定します。・・・(1)

円の中心をOとして、円周上の接点をAとして、Aでの接線をABとして、
OからABに下ろした垂線とABとの交点をCとします。
ここで垂線を引き、AとCが一致しないところに、(1)の仮定を使っています。
三角形OACを考えると、直角三角形の斜辺と他の一辺なので、OA>OC・・・(2)
円の定義を考えると、(2)より点Cは半径OAの円の内側にある。
よってACつまりABは接線ではない。・・・(3)

(3)は仮定に矛盾するので、(1)が誤っている。よって接線は半径に対して垂直である。

あれ?「接線」の定義が最後に(3)で必要となってしまいました。でも自明でしょうか..
数学的には厳密じゃないかもしれませんが、直感的にわかりやすいのではないかと思います。
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この回答へのお礼

わかりやすい説明でした
なぜ教科書に定理が載ってて証明がないのでしょう
やっと疑問が解けましたありがとうございます

お礼日時:2001/10/13 00:08

#3さんの解法について、納得はこれがいちばんいくと思うのですが、


一つ問題なのが、接弦定理を証明するのに、円の接線が半径に対して垂直になることを用いるような気がします。

背理法を使うこんな証明を見たことがあります。

1. 円O上に任意の点Aをとり、Aを通る円の接線をXYとする。(接線上で点Xと点Yの間にAがあるイメージです)
2. 円の接線が半径に対して垂直でないと仮定すると、角OAXまたは角OAYのどちらかは90度未満である。(以下、角OAXが90度未満とします)
3. OからXYへ垂線をおろし、その足をHとする。2.の仮定より明らかにAとHは異なる点である。さらに、直線XY上で4点X,H,A,Yがこの順に並ぶ。
4-1. 点Aと直線OHに関して線対称な点をBとする。このとき、X,B,H,A,Yはこの順で並び、
4-2. AH垂直OHよりBはAHの延長上、すなわち直線XY上にある
4-3. 円は直径に対して線対称であるから、円周上の点Aを、円の直径OHに関して線対称に移動させた点Bは円周上にある。
4-4. 4-2,4-3より点Bは直線XYと円Oの交点であることが言える。
5. 即ち円Oと直線XYは、2点A,Bで交わることになる。これはXYが円Oの接線であることに矛盾する。
6. 従って、円の接線は半径に対して垂直である。(終)

はて、文字で伝わるかどうかと、この議論が正しいか、どちらも自身ないですが。
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この回答へのお礼

ありがとうございます
わかったような気がしました
とてもわかりやすい証明でした
とにかくあってるかを別にして何がいいたいのか良くわかりました
私が見た限りではあってるような気がしたんで
また数学の先生と話してみます

お礼日時:2001/10/13 00:03

 えぇっと、中学3年生の幾何のところで習う・・・なんていう定理だっけ。


 ほら、接点から円の内部にむかって半直線を引くと、弦になりますよね?「その弦に対する円周角と、弦と接線が為す角は等しい」っていう定理があったと思います。その特別な場合として解釈できるかと。

 円の中心を通る直線を引いたとき(直径でも同じこと)、その直線と円の2つの交点に対する円周角は90°であることは知っていると思います。で、その直線と円の2つの交点(直径の両端でも同じ意味)のうちの1つ(どちらでもいいんですが)において接線を引くと、上の定理から“接線と、中心から接点に引いた半直線の為す角は90°”であることが分かります。

 グラフでなく言葉で説明したのでいささか煩雑ですが、この定理が一番はじめに証明できるようになるのは↑だと思います。brogieさんの仰る通り、微分法を使えばより簡単に証明できるのですが。
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この回答へのお礼

回答していた抱いてありがとうございます
ちょっと難しくてよくわかりませんでした
ごめんなさい私の勉強不足です
微分とか何なのかさっぱりわからないんで微分も使えない

お礼日時:2001/10/12 23:59

あなたが、微分を学習しているなら、


2直線が直交する条件は
m1*m2=-1
ですから、微係数から求めることが出来ます。
以上、ヒントのみ。
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この回答へのお礼

ごめんなさい全く微分とかわからないので何言ってるのかわかりません
回答していただいてありがとうおございます

お礼日時:2001/10/12 23:56

これって中3の教材だったのか!参考URLを載せますね。


私はすっかり「公理」だと思っていました。

参考URL:http://www.dainippon-tosho.co.jp/san_sug/sugaku/ …
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具体的に言うと次のようになります。
放物線上に異なる3点P,Q,Rをとる。点Pにおける接線と点Qにおける接線との交点をS、点Qにおける接線と点Rにおける接線との交点をT、点Rにおける接線と点Pにおける接線との交点をU、とする。
三角形STUの外接円は放物線の焦点を通る。

このことを座標を用いないで証明して、幾何学的な意味を理解したいのですがわかりません。
証明できた方は教えていただけないでしょうか。

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双曲線上の頂点以外の1点Pにおける接線、法線と軸との交点をそれぞれ、Q,Rとするとき、
三角形PQRの外接円が双曲線の焦点を通る。

このことの座標を用いない証明法もわかりません。
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初めの方だけ。
放物線上に異なる3点P,Q,Rをとる。
点Pにおける接線と点Qにおける接線との交点をS、点Qにおける接線と点Rにおける接線との交点をT、点Rにおける接線と点Pにおける接線との交点をU、とする。

放物線の焦点をF,準線をLとする。
PからLにおろした垂線の足をP1とすればPP1=PFである。
またPにおける角P1PFの2等分線はPにおける接線となっている。
なぜなら,角P1PFの2等分線上の点でP以外の任意の点をP'とし,P'からLにおろした垂線の足をP''とすればP'P''<P'F=P'P1となりP''は放物線の外部にあることになる。
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以上から角SFP2=角TFR2である。
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 点Aに鉛筆の先を当てて、その鉛筆の手前側から定規を当てて、円の右下部分の演習部分にも接するように定規を調節してください。…(2)の説明のために、この接した点を点Bとします。

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 図の書き方の説明を簡単にするため、1本の直線を横に引きます。

 この直線の上に、円Oの中心となる、点Oを取ってください。
 その右側5センチのところに、点Aを取ってください。

 点Oを中心とする半径3センチの円をコンパスで書いてください。

 点Aに鉛筆の先を当てて、その鉛筆の手前側から定規を当てて、円の右下部分の演習部分にも接するように定規を調節してください。…(2)の説明のために、この接した点を点Bとします。

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参考程度まで
もっと気楽に考えたほうがいいのでは?
y=1/x で x=1+Vot とすれば、y(t)=1/x(t) になりますね。
そこで、tを変数として求めればいいんじゃないかな。

xy=1, x>0, x(t)=1+Vot
y(t)=1/x(t)=1/(1+Vot)
y'=dy/dt=-Vo/(1+Vot)^2
y''=d^2y/dt^2=2Vo^2/(1+Vot)^3

接線
Y-y(t)=y'{X-x(t)}
Y-{1/(1+Vot)}=y'{X-(1+Vot)}={-Vo/(1+Vot)^2]{X-(1+Vot)}
法線
Y-y(t)=-(1/y'){X-x(t)}
Y-{1/(1+Vot)}=-(1/y'){X-(1+Vot)}={X-(1+Vot)}/{Vo/(1+Vot)^2]
曲率半径
R=(1+y'^2)^(3/2)/y''
={1+{Vo/(1+Vot)^2}^2}^(3/2)/{2Vo^2/(1+Vot)^3}
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 Sn = (1/6)n(n + 1)(2n + 1) + (1/2)n(n + 1)
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