全射・部分写像の個数の問題

A={a1,a2,a3,a4}、B={b1,b2,b3}、C={c1,c2,c3}
を考えたとき、以下のものは何通りあるかを求めよ。
(1) AからBへの写像
(2) BからAへの単射
(3) BからCへの全単射
(4) AからBへの全射
(5) AからBへの部分写像

という問題の、(4)、(5)がよくわからないのです。
(1)は 3*3*3*3 = 81、
(2)は 4*3*2 = 24、
(3)は 3*2*1 = 6、
(4)は 3*2*1*3 = 18、
(5)は 4*4*4*4 = 256、
と解いて、(1)～(3)は正答と一致したのですが、(4),(5)が違うのです。
ちなみに正答は(4)が36、(5)が空集合を含めて121、となっています。
どこが間違っているのか、ご指摘頂けると幸いでございます。

No.2 回答者： Landolt 回答日時： 2005/08/08 22:45

(4)は、「f(a4)と、f(a1)、f(a2)、f(a3)のいずれかが同じになる」

と考えたところがまずかったのではないかと推測します。

例えば
　f(a1) = f(a2) = b1
{ f(a3) = b2
　f(a4) = b3
という場合があります。

(5)は…
ごめんなさい。部分写像の定義がわかりませんでした。

No.1 回答者： tatsumi01 回答日時： 2005/08/08 18:39

(4) ですが、Ａを３個の空でない部分集合に分け、それをＢに１対１対応させと考えます。

前者は４個から２個を取る組み合わせですから６通り。後者は３！で６通り。