食玩をコンプリートするために必要な数量の確立

たとえば６種理の人形のどれかがはいっているお菓子を買うとして、６個すべて集めるためには何個買う必要があるのでしょうか。
コンプリートの確率（Ｘ）を人形の種類（Ａ、この場合6）、買ったお菓子の個数（Ｂ）で表したいのですが。
Ｂ＜Ａでは確率はゼロ、

最終的には、５０％の確率でコンプリートできるためには何個買う必要があるかが知りたいです。
　
Ａ＝6の場合だけでも結構ですので教えてください。

No.6 ベストアンサー 回答者： pori_boy 回答日時： 2005/08/17 13:01

エクセルを用いた計算（の一例）ですが

A1のセルにAの値（この場合６）、
C1,D1,E1,... のセルに0,1,2,...,A、
B2,B3,B4,... のセルに0,1,2,.....
をまずいれます。
（0,1,2,.. にはオートフィルを利用）

あとは、C2,C3,...,D2,D3,..,というところ
（ここの値がP(B,C)になる）ですが、
C2: 1, C3,C4,...: 0, D2,E2,...: 0 として
おいて（初期条件）、D3のセルに数式を利用して
=($A$1-D$1+1)/$A$1*C2+D$1/$A$1*D2

あとはこのセルをコピーすればOKです。

No.5 回答者： pori_boy 回答日時： 2005/08/16 17:21

ほかの方の計算している（と思う）漸化式ですが

人形の種類をA、買ったお菓子の個数をB、
その時点で揃った人形の数をCとして、
P(B,C)をB個買ったときにちょうどC個揃う確率とすると

P(B,C) = (A-C+1)/A * P(B-1,C-1) + C/A * P(B-1,C)

初期条件
P(0,0)=1,
P(0,X)=0, P(X,0)=0 for X=1,2,...

(意味) B個買ったときにC個揃うということは、
B-1個買ったときにC-1個揃っていて、B個目に新しい
人形を手に入れるか、B-1個買ったときにC個揃っていて
B個目はダブリかのいずれかの場合である。

あとはこの漸化式を計算するわけですが、エクセルを
利用することができる（かつ絶対参照・相対参照が
わかる）のであれば数値的には簡単にもとまります。

例えばA=6の場合で、コンプリート(C=6)に着目すると

P(0,6)=P(1,6)=..=P(5,6)=0
P(6,6)=0.015 (66人に一人はダブリなしで集まる）
P(7,6)=0.054 ...
P(12,6)=0.437, P(13,6)=0.518 （ここが50％の分かれ目
P(22,6)=0.893, P(23,6)=0.910

という感じになります。

なお、コンプリートするまでの期待値は計算により
A log A と求めることができるので、
(No.2さんの回答にありますね)
2倍くらい買えばよいというのは少し甘い見積もりです
例えばおもちゃが30種類ある場合、113個購入で
コンプリートの確率50％というところです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。人形の種類が増えるほどコンプリートするのに必要な平均的な数量は加速度的？に増えてゆくわけですね。
エクセルでどのような式を入れればいいのか教えていただけないでしょうか。

お礼日時：2005/08/16 19:42

No.4 回答者： kony0 回答日時： 2005/08/16 07:22

たまにこの問題出てきますね。

計算式はけっこう面倒な漸化式になります。参考URLを見てみて下さい。

ところで、#2さんの「分布関数の確率５０％になるところが平均になりますから、確率５０％で集められる回数ですね。」は違和感があります。一例として極端に分布の偏った分布関数の５０％点は、平均とずれがあります。

参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=747040

No.3 回答者： sunasearch 回答日時： 2005/08/16 00:21

No.2です。

分布関数の確率５０％になるところが平均になりますから、確率５０％で集められる回数ですね。

前記の値は、過去にシミュレーションで確かめたこともありますので、間違いはありません。

７５％や９０％を考えるには、分布関数を求めるか、確率の漸化式を立てる必要があります。
下記は、平均に特化した場合ですので、分布関数が不要です。

No.2 回答者： sunasearch 回答日時： 2005/08/15 15:59

１個目を手に入れるまでの回数は、6/6回

１個目を手に入れてから２個目を手に入れるまでの回数は、6/5回
２個目を手に入れてから３個目を手に入れるまでの回数は、6/4回
３個目を手に入れてから４個目を手に入れるまでの回数は、6/3回
４個目を手に入れてから５個目を手に入れるまでの回数は、6/2回
５個目を手に入れてから６個目を手に入れるまでの回数は、6/1回
（回数（期待値）は確率の逆数になる）

したがって、平均して、6(1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6)回でコンプリートできます。

A=nの場合は、nΣ{i=1...n}(1/i)で求められます。

この回答へのお礼

ありがとうございます。この場合の「平均」とは、確率50％と考えていいのでしょうか。極端な話、６回でコンプリートする人もいれば１００００個買ってもコンプリートできないこともありえます。
計算すると14.7で＃１さんの答えとは異なります。どちらが正しのでしょうか。
また、確率75％とか、90％とか99％とかの場合は計算はどのようにすればいいのでしょうか。

お礼日時：2005/08/15 17:30

No.1 回答者： yoshi170 回答日時： 2005/08/15 15:45

今手元で計算したところ、13個購入すると51.386%の確率で全種類揃うとでました。

（12個では43.782%）

この回答へのお礼

ありがとうございます大体倍の数を買えば５０％の確率でコンプリートできるということでしょうか。
すみませんが計算式を教えてください。

お礼日時：2005/08/15 17:17