√2の証明によく出てくる言葉で、 p^2が2の倍数ならpは2の倍数 っていうのが意味が分からなくて困

√2の証明によく出てくる言葉で、
p^2が2の倍数ならpは2の倍数
っていうのが意味が分からなくて困ってます。調べても訳わかんないので誰か詳しく教えてください。

No.8 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2024/08/15 07:11

[1] 「●●は2の倍数」というのは「●●は2の整数倍」というのと同じ意味であり、また、「●●は偶数」というのとも同じ意味。

　また、「●●は奇数」というのは「●●はある偶数に1を足したものだ」というのと同じ意味。つまり、どんな奇数も　((偶数) + 1) と表せるし、((偶数) + 1) と表せるものはどれでも奇数である。
　だから、どんな奇数も((2の整数倍) + 1) と表せる。この「整数倍」というところに出てくる整数をzと書くことにすると、どんな奇数Xも、適切な整数zを使って
　　X = (2z + 1)
と表せるということになる。（この式は「奇数Xを2で割ったコタエがzで、余り1 だ」ということを表している。）

[2]そこで、この奇数Xの2乗を考えると、
　　X² = (2z + 1)² = (2z)² + 2(2z) + 1
なので
　　X² = 2(2z² + 2z) + 1
である。
　さて、(2z² + 2z)は整数である。だから、X²は((2の整数倍) + 1)になっている。ということは、X²は奇数である。

[3] 以上から、
　　Xが奇数 なら X²は奇数
だとわかった。

[4] ご質問に取り掛かりましょう。
　整数pがもし2の倍数でなかったとすると、すなわちpは奇数である。[3]から、pが奇数ならp^2も奇数である。だから、p^2が偶数である場合、pは奇数ではありえない。つまり、pは奇数ではない。
　整数pが奇数でない、ということは、pは偶数でなくてはならない。以上から、
　　p^2は偶数 なら pは偶数
である。さて、「偶数」とは「2の倍数」のことなのだから、
　　p^2は2の倍数 なら pは2の倍数

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/08/15 05:47

p^2 が2の倍数なら

p^2
=
pp は2の倍数だから

pp=2n となる整数nがある

pが2の倍数でないと仮定すると

p=2m+1 となる整数mがある
↓両辺から2mを引くと
p-2m=1
↓両辺にpをかけると
pp-2mp=p
↓pp=2nだから
2n-2mp=p
2(n-mp)=p
pは2の倍数となってpが2の倍数でないという仮定に矛盾するから

pは2の倍数である

No.6 回答者： sc348253 回答日時： 2024/08/14 21:39

整数は　偶数(2の倍数)と奇数しかないので

もし　Pが奇数ならp^2 も奇数であるから
p^2 が偶数ならPは偶数しか考えられないという意味です

No.5 回答者： kairou 回答日時： 2024/08/14 20:44

「pは2の倍数」と云う事は 「pは 偶数」と言う事だよね。

逆に p が奇数だったら どうなる？
n を任意の整数として p=2n+1 と表せますよね。
(2n+1)²=4n²+4n+1 で 必ず 奇数になりますよね。
つまり 二乗した数が 偶数なら 元の数も 偶数になります。
（奇数の二乗が 偶数になる事は ありません。）

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/08/14 18:49

この場合、

偶数×偶数=偶数 よりも
奇数×奇数=奇数 のほうが大事。

p が奇数だったら、p^2 は偶数にならない。
...ってことは、p^2 が偶数だったら、p は偶数だってこと。

参考↓
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A6%E3%82%A7 …

No.3 回答者： ssawatake 回答日時： 2024/08/14 18:12

2の倍数とは偶数の事。

p²はp×pの事を指してる。

奇数×奇数=奇数
偶数×偶数=偶数
と言う基本性質を使う。

p²=p×pが偶数なら、偶数×偶数=偶数なんだから、pは偶数。

No.2 回答者： angkor_h 回答日時： 2024/08/14 17:39

「2の倍数」と言うのは、偶数のことです。

> p^2が2の倍数ならpは2の倍数
逆に考えれば良いです。
結局は、偶数同士の掛け算は偶数である、と言う事で、
偶数の整数倍は偶数である、と言うのと同じです。

奇数と言うのは、偶数+1です。
これを足し合わせていくと、その合計値は、
その回数が奇数回であれば奇数、
その回数が偶数回であれば偶数、
になります。
奇数同士の掛け算は、奇数のた幸せ回数が奇数回、
と言う事になります。

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2024/08/14 17:34

n x m が２の倍数だったら、ｎかｍのどちらかは２の倍数でないと成り立ちません。

ｐ²＝ｐｘｐが２の倍数ってことは、片方のｐは２の倍数でなくてはいけないですけど、双方とも同じ数なので両方のｐは２の倍数でないとおかしいって話です。