A 回答 (7件)
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No.6
- 回答日時:
この問題を
> 対偶から考え
るのは良いアイデアだと思います。しかし、どこかのステップでミスをやらかしたのでしょう。確認してみましょう。
(x≠0かつy≠0)
の否定は
(x=0またはy=0)
だし、
(x+y≠0またはx-y≠0)
の否定は
(x+y=0かつx-y=0)
である。(こうすれば不等号を考えなくて良くなり、xやyの値が固定されるのでイメージが把握しやすい。だから良いアイデアです。)
さて、
(x+y=0かつx-y=0)
は連立方程式です。これは解けて、解は
(x=0かつy=0)
であり、他の解はない。
ということは
(x+y=0かつx-y=0)
と
(x=0かつy=0)
は同値です。
そしてもちろん
(x=0かつy=0)ならば (x=0またはy=0)
は言えるが、その逆は言えない。
No.5
- 回答日時:
必要条件の反例
x=1、y=0
これで十分だと思いますが
>対偶から考えて
必要条件の対偶
(x≠0かつy≠0)の否定→(x+y≠0またはx-y≠0)の否定
を考えてみた ということでしょうか?
x=0 又はy=0 → x+y=0 かつ x-y=0
はやはり反例 x=1、y=0 が有ります。
十分条件の対偶
(x+y≠0またはx-y≠0)の否定→ (x≠0かつy≠0)の否定
を考えてしまったということではないですよね?
No.4
- 回答日時:
x≠0かつy≠0と言う集合をP、x+y≠0またはx-y≠0をQとする
xy平面において
Pの補集合は
xは0またはy=0
→x軸またはy軸上にある点
Qの補集合はx+y=0上の点かつx-y=0上の点
→点(0、0)のみ
ゆえにQの補集合はPの補集合の部分集合です
↔PはQの部分集合
ゆえに、PはQであるための十分条件
です
No.3
- 回答日時:
(x≠0かつy≠0)とする
(x+y≠0 または x-y≠0)でないとする
(x+y=0 かつ x-y=0)
2x=(x+y)+(x-y)=0
x=0
となって
x≠0に矛盾するから
∴
x+y≠0 または x-y≠0
だから
(x≠0かつy≠0)は(x+y≠0 または x-y≠0)であるための十分条件
x=1
y=0
とすると
x+y=1≠0
x-y=1≠0
(x+y≠0 または x-y≠0)
だけれども
y=0
だから
(x≠0かつy≠0)でない
だから
(x≠0かつy≠0)は(x+y≠0 または x-y≠0)であるための必要条件ではない
No.2
- 回答日時:
対偶を取るには補集合について考える必要があります。
x≠0かつy≠0の補集合はx=0またはy=0です。
x+y≠0またはx-y≠0 の補集合はx+y=0かつx-y=0です。
これらをA,B と置くとBならばAは成り立ちますがAならばBは成り立ちません。
これはつまりAとBは同値ではないことを意味します。
同値ではないとは必要十分条件ではないということです。
No.1
- 回答日時:
(x+y)(x-y)=x²+y² ですので、(x,y∈Rであるなら)
x≠0 and y≠0 ⇒ x+y≠0, x-y≠0 です。
当然ながら、
x≠0 and y≠0 ⇒ x+y≠0 or x-y≠0
も成り立ちます。
一方、
x+y≠0 or x-y≠0 ⇒ x≠0 and y≠0 ?
は成り立ちませんので、(反例 x=0 y=1)
x≠0 and y≠0 ⇒ x+y≠0 or x-y≠0
となります(十分条件)。
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