√2が無理数であることの証明で、 素因数分解の一意性に矛盾する事を導き出す方法がありますが、コレって

√2が無理数であることの証明で、
素因数分解の一意性に矛盾する事を導き出す方法がありますが、コレってつまり…

√2=b/a 両辺を2乗して、右辺の分母を消して
2a^2=b^2 両辺を素因数分解すると
左辺が奇数個、右辺が偶数個

素因数分解では、結果が必ず最終的に一通りになる(これが素因数分解の一意性?)ので、

これに矛盾する。
よって√2は無理数である。

って事でいいんでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： ssawatake 回答日時： 2024/08/22 21:26

合ってます。

()内の語句が抜けてますが。
(素因数2が)左辺が奇数個、右辺が偶数個。

この方法なら√nが無理数であることが一発で証明できますね。
(nは平方数以外の自然数）

蛇足ですが、素因数分解の一意性は「数論の基本定理」と言います。

この回答へのお礼

なるほど。返答ありがとうございます。

お礼日時：2024/08/23 11:01

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2024/08/23 12:06

https://manabitimes.jp/math/1030
https://manabitimes.jp/math/1030#2
素因数分解の一意性とその証明について
https://manabitimes.jp/math/984

この回答へのお礼

そのサイト見た事あります！
返答ありがとうございます

お礼日時：2024/08/23 13:41

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/08/22 20:12

左辺の2が奇数個、右辺の2が偶数個

です

No.1 回答者： そこらへんの物知りな人 回答日時： 2024/08/22 19:02

そうです。

素因数の一意性というのは、どんな数も、素因数分解するとき、その素因数の組み合わせは1通りしかないというものです。

この回答へのお礼

返答ありがとうございます。

お礼日時：2024/08/22 19:33