凹関数と不等式

関数ｆを狭義増加関数かつ狭義凹関数とします。
ａ，ｂ　＞０，ａ＜ｂのとき
f(a+b)＜f(a)+f(b)
を示そうとしているのですが、
μ＝a/bとおき
f(b)＞μf(a)+(1-μ)f(a+b)
だから
f(a+b)＜{b/(b-a)}f(b)-{a/(b-a)}f(a)
までは出来たのですがここから
{b/(b-a)}f(b)-{a/(b-a)}f(a)＜f(a)+f(b)
というにはどうすればいいか分かりません。
どなたかよろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： pori_boy 回答日時： 2005/09/11 11:34

まず、もとの質問文を素直によむと

f(x) = log x, a=1, b=2, (a+b)=3　とすると
関数は狭義増加かつ狭義凹、で不等式を満たさない、
となるのではないかと思いました。

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No.1さんの回答への補足を見るとf(0)が0以上という
条件を入れてもよいようなのでそれを使うと、
関数fが凹関数なので
f(a) > b/(a+b) f(0) + a/(a+b) f(a+b)
>= a/(a+b) f(a+b)
同様に
f(b) > b/(a+b) f(a+b)

この二つを足し合わせると
f(a)+f(b) > f(a+b)
が得られるのではないかと思います

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2005/10/07 11:19

No.2 回答者： adinat 回答日時： 2005/09/10 13:53

凸性を証明に使いたいときは二階差分をとればよいのです。

凹関数は直感的に言ってしまうと二階微分が負になる関数です。結果はほとんどこの事実から従います。

したがって（厳密には微分にしてしまわず差分で議論するほうがよい：片側微係数は存在するのであまり気にすることもないですが）

f(x+y)-f(x)-f(y)

をxの関数と思ってxで微分してやると、

f'(x+y)-f'(x)

になりますが、凹関数はf'が単調に減少するから、これは常に負です。（あるいはもう一回xで微分して、f"(x+y)-f"(x)を考えると、これは負の関数で、f'(x+y)-f'(x)は単調減少。特にx=0で0になるのだからこれも負の関数です）微分が負ということは、f(x+y)-f(x)-f(y)がxの関数と見て負であるわけですから、x→0のときが最大であるはずですが、そのとき0になるので、これまた負であることが判明します。

No.1 回答者： kentarou2333 回答日時： 2005/09/10 11:54

何か、求めているものが違うのではないでしょうか？

f( (a+b)/2 ) < f(a) + f(b)

又は

f( a+b ) > f(a) + f(b)

ではないでしょうか？

x^2 なども、（定義を調べていませんが） x>0 で、増加、凹関数だと思いますが、

f(1) + f(2) = 1^2 + 2^2 = 5
f(1+2) = (1+2)^2 = 9

となってしまい、反例が存在してしまいます。

この回答への補足

早速の回答ありがとうございます。
いまmetric space（距離空間？）の勉強をしていて、
距離関数ρ(x,y)=f(|x-x|),
f:R_+→R_+，で連続，狭義増加，狭義凹関数であるとする。
このとき、この距離を伴う集合（ここでは実数空間R)が距離空間であることを示そうとしていたのです。

それで距離関数が満たさなければならない性質のひとつである
ρ(x,z)≦ρ(x,y)+ρ(y,z) ，（三角不等式）
を示したかったのですが、
ρ(x,y)=f(|x-x|)=f(|x-y+y-z|)≦f(|x-y|+|y-z|)
まで出来ていて、ここから、
f(|x-y|+|y-z|)＜f(|x-y|)+f(|y-z|)
を証明したかったわけです。
で、質問では一般性を失うことなく
|x-x|=a,|y-z|=b,a＜b
として質問させていただきました。

ちなみに
x^2 は凸関数ですからここでのｆの定義は満たしていません。

補足日時：2005/09/10 12:22