周波数特性と回路定数の推定

回路の周波数特性（ゲイン、位相）を求め、求めた周波数特性から回路の時定数と、回路のコンデンサ容量Cを推定する問題です。

ゲインと位相はCH1とCH2のVから求まりましたが時定数とコンデンサ容量Cの求め方が全くわかりません、よろしければどなたか教えてください、お願いします。

下図が回路です

CH1 ・----抵抗R--・------・ CH2
　　　　　　　　　　　 │
　　　　　　　 　　　　│
IN　　　　　 　 　　　　C　　　　 OUT
　　　　　　　 　　　　│
　　　　　　　 　　　　│
GND ・-----------・------・

No.7 ベストアンサー 回答者： oyaoya65 回答日時： 2005/10/23 04:14

#2,#3,#6です。

A#6の補足について
＞読み取った周波数は100Hz、1kHz、5kHz、10kHz、20kHz、100kHzの６つしか指示されていません、確かに-45°を正確に読み取るのは無理そうですね。

測定周波数は片対数グラフ用紙上で等間隔になる周波数と特にカットオフ周波数(fcと位相が-45度付近での周波数は刻みを細かくして測定点を選びます。
周波数特性をとる実験では、予めセミグラフ（片対数グラフ）用紙を用意してそこの上に測定点をプロットしながら実験を進めることをするのが常識です。

次のURLの14ページにRCローパスフィルラーの周波数特性（上がゲイン特性、下が位相特性でfc≒150kHzの場合）
が掲載されていますので参考にしてください。
→http://www.toyo.co.jp/micro-cap/tech/MC7tutorial …

また次のURLの７ページの図7aにRC回路のボード（Bode）線図があります。上側が通過域の信号レベルを10倍して描いていますので定周波数で20[dB]となっていますが、通常のゲイン特性の描き方では縦軸の目盛りは20[dB]ラインが0[dB]ラインとして描きます。0[dB]というのはV1（入力電圧の振幅）=V2（出力電圧の振幅）ということです。高周波領域の特性は-20[dB/decade]で減衰していきます。振幅特性の黒の破線が漸近線ですね。赤線が理論値の曲線です。

下側が位相特性です。位相特性の-45度のところがfc＝1Hzとなっていますね。黒の破線は大まかな近似直線です。
→http://www.ssc.pe.titech.ac.jp/class/handout/Sig …

＞測定値は周波数とＶを読み取って計算してグラフに表す、
測定値のグラフはボード線図にして書きます。
データは入力信号電圧の振幅（電圧値）V1を一定にして周波数を変えて行き、出力電圧波形の振幅（電圧値）V2を測定しているかと思います。
ゲイン特性のグラフは縦軸を20×log(V2/V1)[dB]値に計算し直した値を使います。横軸（対数目盛り）には直接測定周波数をとっていきます。

＞理論値はどっからでてくるんでしょうか。

20log(V2/V1)=-20log{1+(f/fc)^2}[dB]がゲイン特性の理論式になります。
位相特性の理論値はarg|G|＝-arctan(f/fc)を使います。

fcはRとCの素子値が既知の場合は時定数τ=RCから計算した値fc=1/(2πτ)を使います。既知でなければ、
測定のグラフから求めたfcの推定値を使います。

参考URL：http://www.toyo.co.jp/micro-cap/tech/MC7tutorial …

この回答へのお礼

レポートを再提出したところ

・対数軸を僕が理解していなかったこと

・１ｋＨｚで丁度－４５．０°だったことから、実験　値を後でいじくったことがばれましたｗ

の２点で明日再々提出することになりました

対数軸は理解してグラフを作ったので今度はＯＫだと思います。

実験値はいじくる前の値に直しました
－４５．０°の時の周波数は、先生に聞いたところ
その前後の値、僕の実験の場合、１００Ｈｚと１ｋＨｚの間に－４５．０°があったのでその２つのデータから求めると良いとの事でした。

以上です、今度からは実験をもっとまじめにして、こんなに困らないようにしなければ。。。と思いました
本当にありがとうございました。

お礼日時：2005/10/30 20:12

No.6 回答者： oyaoya65 回答日時： 2005/10/22 21:26

#2,#3です。

A#4で
位相特性は片対数グラフ用紙（セミロググラフ用紙）に書かないと周波数fcをより正確に読み取れませんよ。
fcの有効桁数は何桁まで読み取りましたか？
ひょっとして有効数字1桁しか読み取ってみえないのでは？

＞τ=1/(2π*1k)となる
τ=1/(2π*1000)[sec]ですね。

せっかく正確な計算式でも上記fcの有効桁数が1桁ならこの計算の有効数字も1桁しかありませんよ。

＞C=1/1.2k(2π*1k)　と推定できる
C=1/1.2k(2π*1k)[F]=1/(2.4x3.14)[μF]
ということになりますが、推定値の有効桁数は、
fc=１[KHｚ]と抵抗R=1.2[kΩ]
の有効桁数の少ない方で決まります。

＞このような流れでよろしいのでしょうか

良いと思います。

＞横軸が正しくないと言われました、どういう事かわかりません

横軸を対数メモリの軸にとっていますか？
片対数（セミログ）用紙の対数目盛りに周波数軸を取ってグラフ（ボード線図）を書きましたか?

この回答への補足

oyaoya65さんとTeleskopeさんが同じ人だと思っていました、すいません。

何度もすいませんが、測定値は周波数とＶを読み取って計算してグラフに表す、で良いと思いますが

理論値はどっからでてくるんでしょうか。

補足日時：2005/10/22 22:37

この回答へのお礼

セミログラフ用紙というものが存在すること自体しりませんでした、先生がものすごくいい加減なのでしょうか。。。
読み取った周波数は100Hz、1kHz、5kHz、10kHz、20kHz、100kHzの６つしか指示されていません、確かに-45°を正確に読み取るのは無理そうですね。
有効数字は２桁まで読み取りました、実際は1.1kHzでした。

お礼日時：2005/10/22 22:14

No.5 回答者： Teleskope 回答日時： 2005/10/21 18:21

　

　
　あ、失礼、

で、C が欲しいのなら この式を C= の形に変形す

　　↓

で、時定数=CR積 が欲しいのなら この式を CR= の形に
　
　

この回答への補足

（例）

0° 　│・
　　　 │
位相 │
　　 　│
-45°│ 　・
　 　　│　　　　　・　　　・　　　・
　　　 　 ------------------------
　　　　　　1kHz 　　 周波数

位相特性から
argG=-arctan(2πfcRc)=-arctan(1)=-45°
なので、位相特性で、－４５°となる周波数fcをグラフから読み取ると

fc=1kHz

カットオフ周波数fcと時定数τと抵抗と容量の積RCの関係式　τ=RC=1/(2πfc)を用いて

τ=1/(2π*1k)となる

回路の抵抗が1.2ｋΩなので
τ=RCより

1/(2π*1k)=1.2k*C

C=1/1.2k(2π*1k)　と推定できる



このような流れでよろしいのでしょうか
（Teleskopeさんの文章そのまま頂いたところもあります）

あと一つわからない事があるのですが

理論から求められる周波数特性(100Hz～100kHz)
のグラフ(ボード線図)を描きなさい。
また、その理論のグラフ上に測定データの点を記入し、理論値と測定値の誤差等について考察しなさい

とあったので縦軸ゲイン・横軸周波数、縦軸位相・横軸周波数のグラフで提出したところ、横軸が正しくないと言われました、どういう事かわかりません。

上の方にあるグラフの点と点を線で結んだようなグラフです。

補足日時：2005/10/22 19:23

No.4 回答者： Teleskope 回答日時： 2005/10/21 18:17

　

　
　　　─Ｒ─┬──
　e1　　　　　C　　　　e2
　　　───┴──

　e1には正弦波を印加したんですよね、その周波数をω、虚数単位を j として、コンデンサの電気抵抗を

　　X = 1/(jωC)

と書きます。
入出力の電圧の比は、オームの法則「電圧=電流×抵抗」をつかって

　　e2　　　Cの電圧　　　　　　　　　　電流・X
　　─ = ───────── = ────────
　　e1　　Rの電圧＋Cの電圧　　　電流・R＋電流・X

電流が約分できて

　　　　　　　X　　　　　　1/(jωC)
　　　　 = ─── = ───────
　　　　　　R＋X　　　　R＋1/(jωC)

　で、
あなたは波形の一番高い所を読みとりましたよね、時間的にズレた波形どうしの「大きさだけ」を測った。上式の　大きさだけ＝絶対値　は、複素数の計算で

　　 |e2|　　　　　1/(ωC)
　　── = ─────────
　　 |e1|　　 √(R^2＋1/(ωC)^2)

上下に ωC を掛けると

　　　　　　　　1
　　　　= ────────
　　　　　　√(1＋(ωCR)^2)

で、C が欲しいのなら この式を C= の形に変形するだけですね、

　　C = ご自分で。振幅比を一文字で A ととかにすれば楽です。

周波数ω=2πf と振幅比のデータを多数とったと思いますので。お好きなデーターで。よくやるのは「半分になったとき」とか「1/√2≒0.707になったとき」ですが、特にこだわる必要はないです。

（ 参考までに； 表計算ソフトでも使って全測定データでの C を算出すれば、もろもろの誤差が無ければ全部同じ値になるはずですよね。算出値がバラけてるほど≒測定手腕が…ｗ 　　平均値を求めるのがお奨めです。）

　
　

No.3 回答者： oyaoya65 回答日時： 2005/10/21 10:58

#2です。

回答を補足します。
＞回路のコンデンサ容量Cを推定する問題

与えられた周波数特性からだけでは容量Cは求まらないですが、あと何を追加すれば求められるかについては以下の通りです。

CH2の端子をGNDに短絡（接地）した時のCH1から見た入力インピーダンスt特性(V1/I1=Z11)を求めてやればいいですね。Z11=RですからANo.2で求めた時定数τの推定値から
C＝τ/Rで容量Cの推定値が求められます。

この回答へのお礼

Ｒは回路の抵抗の値ですよね、そうならば、抵抗値は与えられているので容量Ｃは求まると思います。
No.２の内容を理解する事が先決なようですね、頭ごちゃごちゃしてきたので、No.２に関してわからない事があったときは、よろしくお願いします。
丁寧な解説本当にありがとうございます。

お礼日時：2005/10/21 11:12

No.2 回答者： oyaoya65 回答日時： 2005/10/21 02:03

＞求めた周波数特性から回路の時定数と、回路のコンデンサ容量Cを推定する問題です。

結論から言えば、
時定数τは推定できますが、コンデンサー容量Cの推定が不可能です。
なぜ不可能かと言えば、
インピーダンスは電圧と電流の比で決まりますが
周波数特性は電圧情報しか含まず、電流情報が含まれていないためです。、

カットオフ周波数fc
と
時定数τ
と
抵抗と容量の積RC
の関係は
τ＝RC＝1/(2πfc)・・・(1)
です。

位相特性から
argG＝-arctan(2πfcRC)＝-arctan(1)＝-45°（-π/4ラジアン）
ですから、位相特性で位相角が-45°となる周波数fcをグラフから読み取ります。
すると(1)式からRCの積＝時定数τの推定値が計算できます。

また片対数のゲイン特性10log|G|=-20 log{1+(2πfRC)^2}から
f<<1でのゲイン特性-10 log(1)～0[dB]の漸近線Aと
f>>1でのゲイン特性-20 log(2πfRC)[dB]の漸近線Bとの交点の周波数＝カットオフ周波数fcがゲイン特性から作図で求められます。
またはゲイン特性が-3.01[dB]となる周波数を読み取ってカットオフ周波数fcとしても良いですね。

このfcを使って、(1)式からRCの積＝時定数τの推定値が計算できます。

いずれにしても、位相特性からでも、ゲイン特性からのどちらからでも時定数τ=RCが推定できるということです。
容量については RとCの積RCが周波数特性から

お分かりになりましたでしょうか？

No.1 回答者： gura_ 回答日時： 2005/10/20 22:00

　こちらのサイトなどは参考になりませんか↓

http://www.f-kmr.com/filter.htm