私は今、ポケットビリヤードのような、玉突きをシミュレートするプログラムを作っています。はねかえり係数=1で、質量、半径が等しい球の一対一の衝突についての式はたてることができました。最終的には親玉が、三つの球(この三つは正三角形にならべられており、互いが接しているとします。四つの球とも、半径、質量が等しく、跳ね返り係数は1とします。)に衝突するプログラムにしたいと考えていますが、運動方程式に自信がありません。三つの球にどのように力が働くのですか?式をたてるのを難しく感じています。アドバイスをお願いします。

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A 回答 (3件)

 卒研でしたか。

なるほど。
 自分で考えたテーマなんでしょうか?ひょっとして、教官からテーマを与えられた?
 ご質問に使われている用語から、あまりビリヤードのご経験がないらしいことが推察されます。ビリヤードって一体どんな現象なのか、まず入門書(実用書コーナーにあり)は必携でしょう。それから上手な人に実際に技を見せて貰い、解説してもらうことを是非お勧めします。ひなびた玉撞き屋のオヤジを拝めばキット魔法のようなのを見せてくれます。ビデオカメラで記録するのも必要ですが、自分の目で良く見ることが最も大切です。
 指導教官もビリヤードの物理が分かっていない可能性大です。教官にも一緒に見て貰って、どこまで単純化するか相談すべきかも知れません。(授業料を払ってるんですから、教官を使うのに遠慮は要りません。)

 研究として、なるべく本物の現象に近いシミュレーションを目指すというのなら、これは数値物理学の研究ですね。つまり実際に条件がコントロールされた物理実験を行って、シミュレーション結果と突き合わせるのでなくては「本物の現象に近い」かどうか実証できません。着実にやるのなら、動いている玉の回転を計測する方法も開発しなくてはならず、今から卒研としてまとめるのは実際上難しいでしょうね。ビデオカメラで簡単に測れる運動量や軌道の形などだけを測定し、回転については理論的に扱うに留めて、結果としてシミュレーションが実験と合うかどうかを検討するという位がせいぜいでしょうか。それでも玉を撞く「マシン」を作らなくちゃいけないことに変わりはありませんが、取りあえず寺の鐘を撞く撞木のような簡単な装置でも事は足りるかもしれません。(いや、キューの先端の形状、チョークの付け方など、コントロールが難しい要因はまだまだあるなあ…どうしましょう?)
 この線で進めるなら、少なくとも、対象とする現象をもっと絞るべきです。例えばクッションや的玉の話はなしにして、スピンの付いた手玉の動きだけを徹底追及する。一番基本的な物理現象のモデルに注力するんです。ここが出来ていないと全て砂上の楼閣ですからね。

 これをやらないのなら、単に易しい「プログラミング演習」をするに過ぎないわけで、だったらモデルはテキトーで良いということになりますし、(GUIを除けば)1週間もあれば完成するでしょう。複雑な摩擦を無視するなら、ビリヤードと言わずエア・ホッケーゲームぐらいにしておくべきかも。
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この回答へのお礼

何度もありがとうございます。アドバイスいただいたことをもとに、さらに指導教官と話し合っていきたいと思います。それにしても、ビリヤードってすごいスポーツなんですね。玉を突く場所によって動きも違ってくるんですね。もっともっと勉強すべきです!頑張ります!ありがとうございました。

お礼日時:2001/11/28 15:45

お答えはできませんが、興味深いのでコメントさせて下さい。



stomachmanさんのおっしゃることは誠にもっともで、まさに正論と思います。
しかし、もう少し簡単なアプローチ法もほしいところです。
特に、
> 複数の的玉が接触して並んでいる所に手玉を当てた場合、これら一群の玉の
> 中を通過する音波(粗密波)の干渉によって、どの玉にどれだけのエネルギ
> ーが与えられるかが決まります。くっつけて一列に並べた的玉の端に、列の
> 軸上から手玉を当てたとき、的玉の一番遠いものだけが動く、という現象は
> 粗密波の伝播で説明される典型的ケースです。

の話は、時々書物でも見かけますが、何か大げさすぎるような気がしています。

こんな風に考えられないでしょうか。玉をくっつけるのではなく、わずかに離しておきます。手玉が最初に衝突するのも、ぎりぎり、どれか一個となるように、条件を加減します。これなら、第一近似としては、ご質問者がやられている完全弾性衝突モデルで扱えます。こうしておいて、玉を近づけていき、くっついたときの極限を探るのです。複数の玉があれば、近づけ方はいろいろあるでしょうが、もし、どの場合もある一つの衝突後の運動状態に漸近するなら、それが、くっつけて置いたときに実現する運動で、これが「粗密波の干渉」で考えたモデルにも一致する、、ように予想します。直感なので、あまり自信はありません。(乞ご批判)
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この回答へのお礼

どうもありがとうございました。あまりにも広く考えていて、もっと的を絞るべきだと反省しています。 
hagiwara.mさんのアドバイスのように球を少し離して考えてみようと思います。物理を専門に学んだことはないのですが、本当に奥が深いんですねー!!もっと色々なことを考慮してより正確なシミュレーションにしたいです.....頑張ります!       

お礼日時:2001/11/28 15:10

> 玉突きをシミュレートする


ことそのものを目的となさっているとはちょっと思えません。なぜなら
> はねかえり係数=1
と仮定していらっしゃるからです。

玉突きをそれらしくシミュレートするならば、少なくとも以下の要因を考慮する必要があると思います。

●手玉を撞いた直後
 玉をキューで突く時の撞点の選び方によって、玉に回転が掛けられます。横方向の回転(回転軸が鉛直)と縦方向の回転(回転軸が水平)とに分解できます。玉と台とは点接触しているわけではなく、ラシャがへこむことによって小さいながら面で接触しています。
 縦方向の回転だけを考えても、玉は(特別な場合を除いて)ラシャの上で滑って移動し、いずれ滑らなくなる(ころがり摩擦)まで、滑る間に動摩擦でラシャから角運動量を与えられます。この手玉が他の玉に正面衝突した場合、ほぼ瞬間的に速度は0になり、従ってその場で回転している状態になる。そしてラシャとの摩擦によって再び走り出します。押し玉(順回転、あるいは単に転がした場合)・引き玉(バックスピンを与えた場合)というのがこれです。
 横方向の回転は玉の軌道をカーブさせます。特にマッセと言われるテクニックでは、キューを立ててほぼ真上から撞くことによって、玉の運動量をごく小さくしつつ横方向の回転を大きくすることで、極度に曲がった軌道を走らせることができます。
 さらに、撞点の選び方と強さによっては、玉を飛ばすことができます。この場合、玉はラシャから離れてるため直線的に飛び、回転も変化しません。ラシャ面に落ちると、回転が摩擦によって変化し、また弾んで飛び上がります。いずれこの運動は収束して転がる状態に変化します。
飛んでいるの手玉が的玉に正面衝突すると、的玉の上方にぶつかる。そして跳ね返り、高く飛び上がります。
●的玉とのインタラクション
 手玉の回転は的玉の運動量および回転にも影響を与えます。手玉と的玉が接触している僅かな時間に、回転が摩擦で伝達されるのでしょう。的玉が転がることによって、ラシャとの摩擦により、当然「押玉」と同様の順回転が発生します。これは運動エネルギーを回転に費やすことになる。
勿論反発係数が1ということはありません。音が出ますからね。
●クッションとのインタラクション
クッションは単純な形状をしていませんので、ぶつかる運動量によって変形の仕方が違い、従って効果も異なってきます。
クッションにぶつかっている間に、玉の回転とクッションとの摩擦が生じ、これが玉の跳ね返る方向に影響を与えます。特に横回転によって向きがかなり変えられます。極度に強い順回転ですと、クッションをよじ登って台から飛び出すこともあります。さらに玉が飛んでいる場合も考慮しなくてはなりませんね。
 玉の回転そのものはほぼそのまま維持されているわけですから、ぶつかる前までは例えば順回転していた玉でも、ぶつかった後は(運動の方向が変わるために)逆回転+横回転という状態に変化します。
 ポケットがあるビリヤードはかなり複雑です。ポケットの周囲のクッションの性質は他の部分とは違っているからです。

 以上は玉の変形、キューとのインタラクション、クッションの変形の詳細などについてまでシミュレーションを考えてはいない。たとえば、複数の的玉が接触して並んでいる所に手玉を当てた場合、これら一群の玉の中を通過する音波(粗密波)の干渉によって、どの玉にどれだけのエネルギーが与えられるかが決まります。くっつけて一列に並べた的玉の端に、列の軸上から手玉を当てたとき、的玉の一番遠いものだけが動く、という現象は粗密波の伝播で説明される典型的ケースです。

 ですから、ホントは何をやりたいの?ということをはっきりさせ、どこまでモデル化し、どこは理想化するかを切り分けないと話にならないと思いますよ。

この回答への補足

玉の衝突について、球一対一の衝突の現時点までにわかっている、運動方程式は以下の通りです。   もしよかったら、一対三の衝突(この三つの球は正三角状に並べられており、跳ね返り係数は1です)を教えてください。
  


1、衝突の原理

衝突前の2つの球の速度
赤玉の速度v1
白玉の速度v2=0 (止まっているから)


衝突後の2つの球の速度
赤玉の速度v1
白玉の速度v2



衝突したかどうかの判定
球の半径をr1,r2 各々の球の中心をo1,o2 微小量をεとする。
このとき
r1+r2-ε<o1o2<r1+r2+ε
の条件をみたせば衝突したことになる。



運動量保存の法則
運動量保存の法則;衝突前の2物体の運動量ベクトルの和は衝突後の2物体の運動量ベクトルに和に等しい。


衝突直前、赤玉の中心と白玉との接点とを結んだ方向をn方向、n方向に垂直な方向をt方向とする。運動量ベクトルをn方向とt方向に分けて考える。赤玉の衝突後の速度をv1’とする。白玉は衝突後、n方向にのみ動いていく。白玉の衝突後の速度をv2’とする。
 
運動量保存則は各成分ごとに成り立っているから、
  n方向
     m1v1 cosα =m1 v1n’+m2 v2n’    ―(1)
t方向
     m1v1 sinα =m2 v1t’     ―(2)
v2t ‘=0 (白玉は衝突後n方向にしか動かない)       ―(3)

跳ね返り係数
     -e=(v1n’-v2n ‘)÷(v1 cosα)    ―(4)


e=1、m1 =m2 (2つの球の重さは等しい)として、
v1t’ 、v2t’、v1n’、v2n’ を求める。

式(1)より
v1 cosα =v1n’+ v2n’     ―(5)
式(2)より
  v1 sinα =v1t’       ―(6)
式(3)より
  v2t ‘=0
式(4)より
  -v1 cosα=v1n’-v2n ‘ ―(7)
式(5)+(7)より
  2v1n’ =0     ∴v1n’ =0 ―(8)
式(8)を(5)に代入
  v2n ‘= v1 cosα ―(9)



以上よりまとめると
   v1n’ =0
v2n‘= v1 cosα
v1t’ =v1 sinα
v2t ‘=0
      

補足日時:2001/11/28 10:42
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。そんなに詳しく考えなくてはいけないことを知り、びっくりしました。   私は情報電子工学を学んでいる学生で、プログラミングについての知識はある程度はあるのですが、物理に関しては、高校程度の知識しかなく、困っていました。玉突きのシミューレートのプログラム開発は卒研でやっています。論文締め切りまでの残りの時間、可能な限り実際の現象に近いシミュレートができるよう、頑張っていきます。本当にありがとうございました。

お礼日時:2001/11/28 10:31

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Aベストアンサー

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面白い現象はこれだけです。他は皆さんがご存知のことばかりです。参考サイト

参考URL:http://www.rondely.com/zakkaya/hatu/br.htm

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大学受験問題です。よろしくお願いします。

水平な地面上のP地点から質量Mの小物体Aを鉛直に打ち上げ、同時にQ地点から質量mの小球Bを打ち上げる。小球Bの打ち上げ角度αとPQ間の距離lは変化させることができる。小物体Aの打ち上げの初速度の大きさをV、小球Bの初速度の大きさをvとする。また、重力加速度の大きさをgとし、空気による抵抗は無視する。
BをAに衝突させるには、角度αをいくらにしなければならないか。sinαを求めよ。
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Aのt秒後のx座標=Bのt秒後のx
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vsinα=V
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高さは同じでも、x座標が違うかもしれず、それだと衝突しないと思います。

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Aのt秒後のx座標=Bのt秒後のx
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>>放物運動する2物体が衝突する場合の考え方は、
>>「同じ運動をする座標成分を見つける」のがコツです。

>というのを知っていれば、確かにy方向だけ考えればいい、
>とわかります。まだあまり問題を解いていないので知りません
>でした。ですが、どうして、上のコツが言えるのかが、
>わかりません。

衝突する=同じ時刻に、同じ位置を占める。

ということです。x、y座標のうち、運動が一致している成分(今の場合はy座標)を見つければ、残りの成分(今の場合は、x成分)をみていくだけになるので、扱いが楽になります。

>「さらに、Aは鉛直上向きに投げ上げており、Bは、A方向へVcosαで
>近づいていくので、地面に落下することを考えなければ、必ず衝突
>することになります。」
>と言える理由がわからないのです。

2物体のy座標は、各時刻で一致しているので、x座標が一致したときに2物体が、同じ時刻に同じ位置を占めることになり、衝突します。

Aのx座標は不変で、Bは、Aの側へ一定速度で近づいているので、地面に落下することを考えなければ、いつかは必ずx座標が一致します。
よって、必ず衝突することになります。

>vsinα=Vがどうして必要十分条件でないのかがわかりません。

vsinα=Vが成り立っていたとしても、vの大きさが小さければ、空中で衝突する前に、地面に落下してしまいます。

よって、

衝突するためには、vsinα=Vであることが必要。
vsinα=Vだからといって、必ず衝突するわけではない。

ということなので、vsinα=Vは、必要十分条件ではなく、必要条件です。

参考URL:http://webkouza.com

>>放物運動する2物体が衝突する場合の考え方は、
>>「同じ運動をする座標成分を見つける」のがコツです。

>というのを知っていれば、確かにy方向だけ考えればいい、
>とわかります。まだあまり問題を解いていないので知りません
>でした。ですが、どうして、上のコツが言えるのかが、
>わかりません。

衝突する=同じ時刻に、同じ位置を占める。

ということです。x、y座標のうち、運動が一致している成分(今の場合はy座標)を見つければ、残りの成分(今の場合は、x成分)をみていくだけになる...続きを読む

Q結晶中における電子の衝突時間間隔について

ドゥルーデモデルの衝突時間間隔についての質問です。

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
ドゥルーデモデルでは時間間隔dtの間に、電子1個が衝突にあう確率はdt/τで与えられる。
このとき以下の2つが成り立つ。

(a)いかなる瞬間においても、前の衝突からの経過時間あるいは次の衝突までの時間の、全電子にわたる平均はτである。

(b)電子1個が2回の連続した衝突をする時の、衝突の時間間隔の平均はτである。


このとき、(a)は、いかなる瞬間においても、最後の衝突と次の衝突との間の時間Tの全電子にわたる平均は2τであることを意味する。
なぜこの結果が(b)の結果と矛盾しないのかを説明せよ。
(アシュクロフト・マーミン固体物理の基礎 1章演習問題)
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

数式を用いた解答は手元にあるのですが、この"何故矛盾しないのか?"の直感的なイメージがつかめません。矛盾するように見えてしまいます。
この(a)と(b)のニュアンスの違いと両者の無矛盾性をどうイメージしたらよいかについて、どなたか分かる方ご教示お願いします。
(できれば、数式をつかったらそうなるという以外の回答・アドバイスをよろしくお願いします。)

ドゥルーデモデルの衝突時間間隔についての質問です。

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
ドゥルーデモデルでは時間間隔dtの間に、電子1個が衝突にあう確率はdt/τで与えられる。
このとき以下の2つが成り立つ。

(a)いかなる瞬間においても、前の衝突からの経過時間あるいは次の衝突までの時間の、全電子にわたる平均はτである。

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このとき、(a)は、いかなる瞬間...続きを読む

Aベストアンサー

たくさんの人を用意してそれぞれの人にサイコロを持たせます。
サイコロは、1~6の目が1/6の確率で出るとすれば、サイコロを振って出る目の平均は7/2です。

で、それぞれの人に以下の事をさせます。
(1)サイコロを振る
(2)サイコロを振った結果、
    1の目が出た→1秒間待つ→サイコロを振る。
    2の目が出た→2秒間待つ→サイコロを振る。
    ・・・
    6の目が出た→6秒間待つ→サイコロを振る。
(3) (2)を繰り返す。

そうすると、「サイコロの目の平均」は時間とともに変化するでしょうが、十分時間が経てば、この平均はある値に落ち着くでしょう。
1の目が出たらすぐにサイコロを振りなおすのに対し、6の目が出たらしばらくそのまま置いておくのですから、全体としては、より大きい目が出ているサイコロが多くなるでしょう。故に、(具体的な値は計算しませんが)この意味の平均は7/2よりも大きくなりますよね。

同じ「サイコロの目の平均」ではありますが、
前者の"平均"=7/2
後者の"平均">7/2
と値が違います。が、これは矛盾ではありませんね?


前者の「平均」は、(b)が言う「衝突の時間間隔の平均」=τ
後者の「平均」は、(a)が言う「最後の衝突と次の衝突との間の時間Tの全電子にわたる平均」=2τ
に対応します。

たくさんの人を用意してそれぞれの人にサイコロを持たせます。
サイコロは、1~6の目が1/6の確率で出るとすれば、サイコロを振って出る目の平均は7/2です。

で、それぞれの人に以下の事をさせます。
(1)サイコロを振る
(2)サイコロを振った結果、
    1の目が出た→1秒間待つ→サイコロを振る。
    2の目が出た→2秒間待つ→サイコロを振る。
    ・・・
    6の目が出た→6秒間待つ→サイコロを振る。
(3) (2)を繰り返す。

そうすると、「サイコロの目の平均」は時間とともに変...続きを読む

Q三物体が衝突するときの運動量保存

三物体が衝突する場合、運動量保存はどうなるのでしょうか

たとえば三物体をA,B,Cとし、

AがBにぶつかり
はねかえったAがCと衝突するときは

衝突前のAの運動量=Cと衝突後のAの運動量
               +Aと衝突後のBの運動量
                +Aと衝突後のCの運動量

とすればよいのでしょうか?


またこの例題の原点周り(X,Y)座標 の角運動量保存を求める場合のBについては

Aと衝突する地点のYと
衝突後のB´(Y=0)の地点のXが数値で与えられているとき
どのようにしてとけばいいのでしょうか

長文、乱文ですみません

Aベストアンサー

>衝突前のAの運動量=Cと衝突後のAの運動量
               +Aと衝突後のBの運動量
                +Aと衝突後のCの運動量

とすればよいのでしょうか?


お考えの式が正しいのは、B,Cが静止している場合です。
2回に分けて考えます。

衝突前のA+衝突前のB
=Aと衝突後のB+Bと衝突後のA

Bと衝突後のA+衝突前のC
=Cと衝突後のA+Aと衝突後のC

後は代入し、整理すればOKです。

>またこの例題の原点周り(X,Y)座標 の角運動量保存を求める場合のBについては

回転情報がないので角運動量ではなく
単に運動量のX成分、Y成分が保存されるという話ではないでしょうか?

Q衝撃加速度の計算方法について、物理・工学的な見地から御教示いただきたく御願いします

回答は計算方法等を明示のうえ、誤りを具体的に御指摘願います。
特に係数等の適否について御教示いただければと思います。
下記の計算式では、追突車両が300トン以上になっても、衝撃加速度は2.09G以上にはならないため、時速8km/hの追突では追突車両の重量によらず、衝撃加速度は約2Gとなり、不自然に思います。係数を固定にすることに原因があるのでしょうか。
私としては、追突車両が乗用車と大型車では、反発係数や衝突時間の係数を変えなければならないと思いますが、どこに誤りがあるのでしょうか。
計算式(被追突車両の運転席の乗員者が追突車両から受ける衝撃加速度)
a2 ={(1+e)*V10}/{t*(1+W2/W1)*3.6}=9.6/0.51=18.8m/s2= 1.92G
a2=被追突車の受ける衝撃加速度
V10=追突車の衝突速度 = 8km/h
W1=追突車両総重量 = 12,000kgf
W2=被追突車両総重量 = 1,040kgf
e=反発係数=0.20
G=重力加速度=9.8m/s2
t=衝突時間= 0.13
3.6=速度km/hをm/sに変換する係数

回答は計算方法等を明示のうえ、誤りを具体的に御指摘願います。
特に係数等の適否について御教示いただければと思います。
下記の計算式では、追突車両が300トン以上になっても、衝撃加速度は2.09G以上にはならないため、時速8km/hの追突では追突車両の重量によらず、衝撃加速度は約2Gとなり、不自然に思います。係数を固定にすることに原因があるのでしょうか。
私としては、追突車両が乗用車と大型車では、反発係数や衝突時間の係数を変えなければならないと思いますが、どこに誤りがあるのでしょう...続きを読む

Aベストアンサー

被追突車両は、追突前は静止していると考えます。

 そうであれば、まずの基本は、追突後の速度を V12, V22 として
(1)運動量保存
   W1 * V10 + W2 * 0 = W1 * V12 + W2 * V22    (A)
(2)相対速度の比=反発係数
   V12 - V22 = -0.20 * (V10 - 0)           (B)
から、V12, V22 を求めることです。

 ちなみに蛇足ですが、W1, W2 の単位は「kg」であって「kgf」ではありません。「kgf」は「質量」ではなく「力」の単位です。(1 kgf = 9.8 N)

 重力加速度G=9.8m/s^2を使うなら、速度の単位は m/s に統一します。つまり
 V10 = 8 km/h ≒ 2.22 m/s

これより
  12000*V10 = 26640 = 12000*V12 + 1040*V22  
  V12 - V22 = -0.20 * 2.22 = -0.444
よって
  V12 ≒ 2.01 (m/s)
  V22 ≒ 2.45 (m/s)

 つまり、被追突車両は、追突によって
  静止状態 → 2.45 (m/s)
に加速されたことになります。この「衝突時間」が「 0.13 s 」であれば、平均の加速度は
  2.45 (m/s) / 0.13 (s) ≒ 18.8 (m/s^2)
です。

 ということで、質問者さんの計算結果に間違いはないと思います。


 以上の計算を、追突車両の質量 W1 を「300 ton = 3.0 × 10^5 kg」に変更すれば、運動量保存の式(A)は
  3.0 × 10^5 * V10 = 6.66 × 10^5 (kg・m) = 3.0 × 10^5 * V12 + 1040*V22
となりますから、相対速度の式
  V12 - V22 = -0.20 * 2.22 = -0.444
との連立式を解いて
  V12 ≒ 2.21 (m/s)
  V22 ≒ 2.65 (m/s)
ということです。「衝突時間」が「 0.13 s 」であれば、平均の加速度は
  2.65 (m/s) / 0.13 (s) ≒ 20.4 (m/s^2) ≒ 2.08G
です。
  
 これまた、質問者さんの計算結果に間違いはないと思います。

 それは、計算間違いではなく、「反発係数 0.20 」とする限りは、(B)式から分かるとおり、V22(被追突車両の速度)が 1.20*V10 = 2.66 (m/s) を上回ることはないからです。(V12 = V10 のときに V22 が最大になる。V12 > V10 となることはあり得ない)

 もし仮に、「反発係数 1.0 」(完全弾性衝突)としても、V22(被追突車両の速度)の最大値は 2 * V10 です。
 座標軸を変えて、衝突車両側に座標の原点をとり、被追突車両が動いて衝突したことを考えると、最大でも「逆向きの同じ大きさの速さで跳ね返る」ということですから。(地面に対する完全弾性のボールを考えれば分かる通り、ボールが衝突前の速さ以上の速さで跳ね返ることはない)

 これに対して、追突車両の速度が大きくなり、かつ「衝突時間」が短くなれば、衝撃は大きくなるでしょう。

被追突車両は、追突前は静止していると考えます。

 そうであれば、まずの基本は、追突後の速度を V12, V22 として
(1)運動量保存
   W1 * V10 + W2 * 0 = W1 * V12 + W2 * V22    (A)
(2)相対速度の比=反発係数
   V12 - V22 = -0.20 * (V10 - 0)           (B)
から、V12, V22 を求めることです。

 ちなみに蛇足ですが、W1, W2 の単位は「kg」であって「kgf」ではありません。「kgf」は「質量」ではなく「力」の単位です。(1 kgf = 9.8 N)

 重力加速度G=9.8m/s^2を使うなら...続きを読む

Q放物運動:2物体が空中で衝突するための最低限の初速度

解法は解説を読んで理解できたのですが、計算がどのようになるのかがわかりません。

問題は次のようになっています。

水平面上の点Aから、質量Mの粒子Pを鉛直方向上向きに速さuで打ち上げる。
それと同時刻に、点Aから距離Lだけ離れた水平面上の点Bから、
(図では左がB、右がA)質量mの粒子Qを打ち上げる。
粒子Qのはじめの速度vの方向は、点A,Bを含む円直面内にある。
速度vが点A,Bを結ぶ直線となす角度θをとする。
2つの粒子には重力のみが働くとする。
また粒子の大きさは無視できるとし、重力加速度の大きさをgとする。
Lとuを固定して、vを変化させる。
この際、vの大きさ(速さ)に応じてθを巧みに選び、2つの粒子を空中で衝突させたい。
「2つの粒子が水平面に落下する前に衝突するためには、
 vはある程度大きくなくてはならない。 この下限の速さvを求めよ。」

解法:
vsinθ=u …(1)
時刻TのときPはy=0とすると、
0=uT-1/2gT^ より T=2u/g …(2)
Qが水平方向にL進むのにかかる時間をtとすると、
L=vcosθ・t …(3)
空中で衝突するには、Pが水平面に落下するまでに
Qは水平方向にL進まなければならない。
よって t≦T …(4)
(2)(3)(4)の式から、
v≧√{u^+(gL/2u)^}
という答えが出るようなのですが、計算過程がわかりません。

(3)をtについて解いて、(2)と(3)を(4)に代入するのでは駄目なんでしょうか。
それでよければ、そのあとの不等式の変形ができていないのかもしれません。
計算過程を詳しく教えていただけると嬉しいです。

解法は解説を読んで理解できたのですが、計算がどのようになるのかがわかりません。

問題は次のようになっています。

水平面上の点Aから、質量Mの粒子Pを鉛直方向上向きに速さuで打ち上げる。
それと同時刻に、点Aから距離Lだけ離れた水平面上の点Bから、
(図では左がB、右がA)質量mの粒子Qを打ち上げる。
粒子Qのはじめの速度vの方向は、点A,Bを含む円直面内にある。
速度vが点A,Bを結ぶ直線となす角度θをとする。
2つの粒子には重力のみが働くとする。
また粒子の大きさは無...続きを読む

Aベストアンサー

消去しなくてはいけない文字を減らしていくのが原則です。

>(sinθ)^2 + (cosθ)^2 = 1に代入してvについて解くと、v = √u^2 + (L/t)^2 …(5)となると思います。

vとuの関係をだすためには、tが不要ですから、
(u/v)^2 + (L/vt)^2 =1
u^2 / v^2 + L^2/v^2*t^2 =1
両辺にv^2*t^2をかけます。
u^2 * t^2 + L^2 =v^2 * t^2
(v^2 - u^2) * t^2 =L^2
t^2 =L^2 / (v^2-u^2)
ここで、t>0なので、
t=L*√1/(v^2-u^2) ・・・・・(6)  ただし、v≧u

という変形をします。

(2)・(6)を(4)に代入しますと、
t=L*√1/(v^2-u^2) ≦ 2u/g
明らかに、0≦L*√1/(v^2-u^2) ≦ 2u/g なので
両辺を平方します。
L^2 / (v^2-u^2) ≦ 4u^2 / g^2
vの範囲を求めたいので、vについて整理します。
L^2 ≦ (v^2 - u^2) * 4u^2 / g^2
g^2 * L^2 ≦(v^2 - u^2) * 4u^2
g^2 * L^2 ≦ - 4u^4 + 4v^2 * u^2
4u^4 + g^2 * L^2 ≦ 4u^2 * v^2
(4u^4 + g^2 * L^2) / 4u^2 ≦ v^2
u^2 + g^2 * L^2 / 4u^2 ≦ v^2
u^2 + (gL/2u)^2 ≦ v^2

左辺>0、v>0 より、両辺の平方根を取ることができます。
この時、(6)のただし書き、u≦v を満たす必要がありますが、最後の式を満たせば u≦v も自然と満たすので、敢えて2つの条件を書く必要はありません。
これで、解答の答えができます。

ちなみに、最後の答えのまとめ方は、自分がきれいだと思う形でいいので、左辺を展開したり、通分した答えでも正解だとおもわれます。




さて、おさらいです。
1) 三角関数がある場合は、(sinθ)^2 + (cosθ)^2 = 1を用いてθを消去する。
2) 求めたい関係から不要な文字、tがある場合は、t=~~の関係式を作って、他の式に代入して消去する。
3) 求めたい関係式の中心となる v について、整理して解く(なぜなら、「Lとuを固定して、vを変化させる」とあるので、vの範囲を求めたいのだとわかる)

消去しなくてはいけない文字を減らしていくのが原則です。

>(sinθ)^2 + (cosθ)^2 = 1に代入してvについて解くと、v = √u^2 + (L/t)^2 …(5)となると思います。

vとuの関係をだすためには、tが不要ですから、
(u/v)^2 + (L/vt)^2 =1
u^2 / v^2 + L^2/v^2*t^2 =1
両辺にv^2*t^2をかけます。
u^2 * t^2 + L^2 =v^2 * t^2
(v^2 - u^2) * t^2 =L^2
t^2 =L^2 / (v^2-u^2)
ここで、t>0なので、
t=L*√1/(v^2-u^2) ・・・・・(6)  ただし、v...続きを読む


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