こんにちは。
素数(そすう)とは、1 とその数自身以外に約数を持たない(つまり1とその数以外のどんな自然数によっても割り切れない)、1 より大きな自然数のことである。
そうですが、なぜ「1 とその数自身以外に約数を持たない」
ものと決めたときに、なぜ1を除外して「1より大きな自然数」と決めたのですか?
1を除外した理由について教えてください。
素数を考える(場合によっては研究)するうえで、1を定義から除外しないとまずくなる決定的な理由あるいは理由を教えてください。
1を素数とすると、存在する数学の定理が成立しなくなるなど、具体的にどんなときなのか教えてください。
お願いいたします。
No.5ベストアンサー
- 回答日時:
1が素数ではないのは、素因数分解が関係していたと記憶しています。
例えば、100を素因数分解すると
100=2^2×5^2 …… ^←は累乗を表しています。
となります。ここで大事なのが素因数分解のやり方…結果は、1通りしか存在しないという事です。
これを「数論の基本定理」と言います。
証明
ある整数M(素数以外の数は、すべて素数の積で表す事ができる)が今、2通りの方法で素因数分解できたとします、すなわち…
M=a1^r1×a2^r2×a3^r3×……ai^ri 式1
M=b1^s1×b2^s2×b3^s3×……bj^sj 式2
a1等という記数法は、私が勝手に作りました。字数が多くなるのでaの1番目と、2番目を区別するためにつけました。ですからa1≠a2≠a3≠……≠aiですし、同様にb1≠b2≠b3≠……≠bjです。そして、a1やb2は全て素数です(r1、s1等は違います…何乗かを表しているだけなので)。
すると、式1よりMは必ずa1で割り切る事ができます。
そして、式2よりb1^s1×b2^s2×b3^s3×……bj^sjはMに等しく、Mはa1で割り切れるはずですから、b1~bjまでのどれかが、a1と等しくなくてはなりません(そうでないと、割り切れないので)。
この論法で行くと、結果的にどのaを考えても、全てどこかのbと等しくなるので式1と式2は完全に一致してしまうのです。
しかし、ここでもし1を素数とすると例えば100素因数分解の方法が
100=2^2×5^2=2^2×5^2×1=2^2×5^2×1×1…
となって、基本定理が成り立たなくなります、ですから1は素数からはずさなければならない…
とまあ、こんな事だったと。
No.3
- 回答日時:
>「1 とその数自身以外に約数を持たない自然数」
この定義を見ると1も入ってもよさそうですが、
結局、約数に関わる集合の話なんでその視点で分けてみると
約数の数が1個 {1}
約数の数が2個 {2,3,5,7・・・要するに素数}
約数の数が3個以上 {4,6,8,9・・・要するに1,素数以外の自然数}
1は素数とは異質だと思いますよ。有る意味素数以上の存在じゃないですか。
定義だけの問題なんで1を素数に含めた場合、他の定義を
書き換えなけりゃならないだけで数学の本質に関わるとは思いませんけど。
(要は1以外の素数において・・・と定義で断わればいいですよね)
No.2
- 回答日時:
1というのは、2でも3でも11でも、とにかくどの数でも割れる数だと考えています。
なので例えば「素因数分解」すると、
普通は6は2×3、12は4×3ですが4は2で割れるので最終的に2×2×3となりますが、
これで1を素数だとしたら
6=2×3=1×2×1×3 2も3も1で割れるので1×2や1×3が延々と続くわけです。
12の場合も同じです。
なので1を素数だと認めてしまうと、それ以外の素数の意味がなくなるし、
数学的に都合が悪いので 認めていないんじゃないかと私は思います。
この回答への補足
ありがとうございます。
>1というのは、2でも3でも11でも、とにかくどの数でも割れる数だと考えています。
割れないのでは?
1はすべての数の約数ですけれども。。。
>1×2や1×3が延々と続くわけです
なるほど、そういうわけですか!気づきませんでした。
でもそれだったら、素因数分解するときに1だけは書くのは1個までとする。とルールを決めればよいわけで、1を素数から除外する「決定的な理由」には成り得ないのではないでしょうか。
素因数分解とは素数の因数に分解することですから、2や3はその数だけ個数があるべきですが、1は一個までとしてもそういう決まりにしておけばよいような気がします・・・
でも、上の方たちの意見と同じですね。
間違いなさそうです。
個人的には、決定的な理由っぽく見えなかったのですが、私の方がおかしいのでしょう。
アドバイスをいただきましてどうもありがとうございました。
助かりました。
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