実数の定理でしょうか? 興味がかきたてられます。
stomachmanさん、ぜひ回答をお願いします。
(全然急ぎでなくて結構です)
もちろんstomachmanさん以外の方も、回答をお待ちしています。

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (2件)

逆指名は反則じゃないんですかぁ? 専門家もいらっしゃるでしょうに...うう、自爆じゃあっ。


非可測集合とバナッハ-タルスキーの定理。どちらも実務の計算とは無縁のものです。純粋数学の中にだけ現れ、直接の応用はないと思ってください。ご専門の方、ご笑覧の上フォローおねがいします。

 長さ・面積・体積といった広がりを測る概念(測度)との関連で、無限というものの「曲者性」が現れた現象のひとつが非可測集合です。さて、非可測集合とは、という話は教科書を見ていただくとして(ルベーグ積分、測度論、ボレル集合、などをキーワードにして探してみてください)、ここではなるべくいいかげんな説明と、いかにへんてこであるかの例を示すだけで勘弁して戴こうと思います。(いや、勘弁して戴きます!とても易しくかつ正確に説明するなんてできないや。)


●実数の対(x,y)で表される2次元空間の話です。1辺1の正方形を考えます。面積は1ですね。
 この正方形の中の点(x,y)のうち、xもyも有理数であるような点だけを集めた集合を考えます。この集合の「面積」はゼロ。もうびっくり? 有理数は自然数と1:1対応が付きますから、たかが可算無限個しかない。実数は非可算無限個。これに比べたら無視できるってわけですね。
 今度は正三角形を考えます。各辺の中点を結んで小さい正三角形を描き、この真ん中の正三角形の部分を切り抜いて捨てます。そうすると小さい正三角形3つでできた図形(どこかの食料品店のマークのような)が残りますね。このそれぞれの正三角形について、真ん中の正三角形の部分を捨て、.....と無限回やります。これは「シェルピンスキーのガスケット」という集合なんですが、非可算無限個の点を含んでいる。そして面積は0です。(なんですと?)
 ところが、それどころか、「面積」というものを考えることすらできないような集合がある。これが「非可測集合」です。
 面積というのは集合Aから実数sへの関数 s = m(A) です。そして「面積」というからには、Aをいくつかに分割してそれぞれの面積を求め、合計したら、元のAの面積になって欲しいですよね。少なくとも、元のAの面積より大きくなるんじゃ話にならない。ところが、どんなに上手にmを作っても「話にならない」状況が起こってしまうことが知られています。そういうやっかいな集合Aを「非可測」と呼ぶ訳です。
 
●2次元平面の部分集合Aであって、次の(1)(2)が同時に成り立つものが存在する。
  (1)2次元平面上の任意の場所に好きな大きさの円盤を描くと(どんなに小さい円盤でも)
   Aと円盤との共通点が必ず存在する。
  (2)2次元平面上に任意の直線を描くと、この直線とAとは高々2点しか共通点がない。

このAは実は非可測集合の一例です。(1)から分かるように、Aは平面上あまねく広がっている。なのに、(2)からわかるようにすかすかなんです。幽霊みたいですね。

●非可測集合は非構成的です。つまり、具体的な作り方(アルゴリズム)を記述することが不可能なんです。(もっとも、アルゴリズムが記述できる集合は可算無限個しかありませんが...)

●でも、ニアミスするまで迫ってみましょう。今度は1次元(数直線上)の「長さ」の話です。
「実数を二つ持ってきて、x, yとします。「xとyは仲良しである」とは両者の差 x-y が有理数であるという意味だ、と決めましょう。すると実数全部を、仲良しグループに分類することができます。このようなグループは無限個できます。各グループのメンバーは皆互いに仲良しですし、他のグループのメンバーとは仲良しではありません。どんな実数もどれかのグループに入ります。
 次に、各グループから委員を1つづつ出して貰います。(ただし委員は0以上1未満であること、とします。)どの委員を2つ持ってきても、仲良しではない。委員全部を集めた委員会集合Aを作りますと、Aは非可測になります。」(どうして?というのはしんどいので勘弁してください。)

 なんだ作り方が書けるじゃないか、と思われるでしょ?でも「どうやって委員を選ぶのか」が書いてない。これが実は本質的なんです。「てきとーでいいじゃん?」と、グループひとつひとつについて委員を選んでいたのでは無限個の委員を選び終わることができません。「グループのうち、0以上1未満である数の中で最大のやつを選ぶ」というのは良いアイデアですが、残念ながらグループ内に「1未満の最大の数」は存在しないんですよ。でも何か方法がありそう? 実は、ないんです。「存在することは証明できるが、やり方は本質的に分からない。」ここがポイントです。

 数学の公理のひとつに、選択公理というものがあります。すなわち「選択公理:与えられた集合の中から、要素をひとつ選び出すことができる。」当たり前みたいな話でしょう?でもこの公理を使うと「(どうやってかは知らないけど)委員を選ぶことができる。そこで...」と論を進められます。そしてその結果、「非可測集合」や「バナッハ-タルスキーの定理」など、へんてこなものが出てくる。でも、選択公理を拒絶すると、数学のパワーがまるで弱くなる。証明できることがもの凄く少なくなってしまう。数学のかなりの部分(しかもおいしいミソの部分)は選択公理がないと成り立たないんです。(「選択公理なしでどこまで行けるか」という研究分野があるからこそ、こういう事が分かったんです。)

●こういった話は、数学基礎論(「基礎的な数学」ではなく、数学の基礎となる前提に変なところはないか、などを研究する分野)です。「超限集合論」「選択公理」「連続体仮説」「不完全性定理」などなどについて、色々一般向けの解説書が出ていますが、著者ごとに説明の仕方(読者から見れば疑問のポイント)が違いますので、乱読をお勧めします。ちなみにStomachmanが数学基礎論と出会った最初の書物は「(島内剛一)数学の基礎」(既に絶版)でした。

●なお、可測集合(面積が定義できる集合)の中にも変なのはいます。
 1辺1の正方形の部分集合Aであって、面積は1であり、しかも、この集合Aに含まれるどの点(x,y)についても、「(x,y)を通り、しかも(x,y)以外ではAと交わらないような直線が少なくとも1本引ける。」そういう可測集合Aが存在する。
 つまり、Aはほとんど完全に正方形を埋め尽くしているというのに、A内のどの点からも、A自身に遮られずに外が見える、ってわけです。(わーい。こうなってくると、もうわかんないや。)

この回答への補足

stomachmanさん、すばやい回答ありがとうございました。回答者を指名するのはルール違反なのでしょうね。ゴメンナサイ。回答していただいた内容を小生のつたない頭で、いっしょうけんめい理解しようとしているところです。

補足日時:2000/12/16 17:23
    • good
    • 0
この回答へのお礼

何回も読みましたが、素人の私に理解できるハズがありませんでした。以下はひとり言です。
stomachmanさん、気にしないでください。自分でコツコツ考えます。
1.有理数の点の集合には面積がないというのは、それが非連続だからだろうか? 点自体には面積は
  ないのだから連続していなければ「広がり」をもちようがないのかな?
2.「シェルピンスキーのガスケット」の場合の三角形のくりぬき方では、無数の三角形の斜辺の線自体が
  欠損することはないから、結局、網目のような線だけがのこり、面積はゼロだが残った線上の実数は
  非可算無限個である、ということなのかな?
3.面積が非可測とは構成する点が連続なのか非連続なのか知る方法がないということなのかな?
  「アルゴリズムを記述することが不可能」とはまさにそういうこと?
4.選択公理がないとは、たとえば「目の前に群集はいるのに、その中の誰か一人を呼んで舞台の上に
  上げようと思っても、その呼び出し方が決められない(存在しない)」ということかな?
「連続」っていうことは本当に不思議なことですね。考え出すとやめられないです。これは、きっと
宇宙の神秘そのものかもしれません。けっして数学者の遊びの世界なんかじゃないと思うのですが。

お礼日時:2000/12/18 22:15

独り言が聞こえちゃいましたので....


(1) 有理数の点の集合には面積がないのはばらばらだからです。その通り。「こういう面積0の集合を除けば、XXXが成り立つ」を「ほとんど至る所でXXXである」と言い、この言い方を発明したのがルベーグ先生。この言い回しのおかげでいろんな関数の積分が計算が出来るようになったんです。
(2) ガスケットを描く方法。有名なパスカルの三角形を描いてください。ただし、奇数を赤・偶数を黒で書きます。(Excelでもできます)
(3) 面積が非可測とは、要するに分割して、それぞれ測って寄せ集めると、もとより大きくなってしまう(加法性が成り立たない)ということです。ちょっと似たイメージのものに、人形などの絵が沢山描いてあるカードを3つに切って、並べ直すと、人形の数が変わる、というトリックがあります。
(3-2) アルゴリズムを記述すること:アルゴリズム(プログラム)も文字で書くので、必ず有限個の記号で表されます。これを2進数コードで表現すれば、じつは1個の自然数に過ぎない。つまり、全てのアルゴリズムを集めても可算無限個しかありません。また、そのどれも非可測集合を定義しないことが知られています。
(4) 「選択公理を使わない」とは、具体的に選び方が決められるという場合以外には選択をしてはならない(とにかく代表選手を集めた集合を構成できた、ということにしてはいけない)ということです。勿論有限集合が相手ならいつでも選択は可能です。

 数学は「無限」を研究する学問であると言われます。純粋数学者会議のスローガンは「純粋数学が永遠に発展し、かつ何の役にも立たないことを祈る」というもの。(ところがどんなに「実用には関係ない」と思われる理論も、ずっと後になってもの凄く役立ったりするのも面白いところです。)僅かな公理から、とても豊かな内容、直感に合わない結果を含む世界を作り上げることが醍醐味であり、哲学と芸術の狭間にあって、未知の宇宙を創造する、ある意味ではうらやましい活動です。どんなに科学技術が進んでも無くなることはないでしょう。
 アマチュアが数学の醍醐味や哲学性を味わうには、基礎論が一番だと思います(最先端は難しすぎるので)。
さあ、はまりましょう。さあ!
    • good
    • 0
この回答へのお礼

感謝!感謝! 感激です! こんなに速くレスがもらえるなんて。ホント、ありがとうです。
ひとり言にまで答えてもらって、いいなあ、なんだか自分の世界がグーンと広がったみたいで
うれしいです。(ホントにネットはすばらしい!)
> 哲学と芸術の狭間にあって、未知の宇宙を創造する、ある意味ではうらやましい活動です。
そーですねー。前から思っていたのですけど、数学研究は「発見行為」ではなくて「創造行為」
ですよね。人間の純粋理性思考が新宇宙を創造するのですものね。
「真理は主観的・意思的に創造されるものである」これは私が作った格言です。
(また、いつかお相手してください)

お礼日時:2000/12/19 02:20

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q集合の円の図の中に書く要素について

集合の要素を書くとき、A={1、2、3、…}というように式のように書くか、円の中に要素を書くか、という二通りがあります。

例えばB={1、2、3、4、5}などといった有限集合かつ要素が少ない集合なら、円の中に全て書き込めばOKです。

しかし、有限集合だが要素が多い集合、または、無限集合なら、円の中に全て書き込むのは普通しませんよね。
だからそれをx一文字で表したりするのですが…。
または、参考書には、Aという集合の名前がついた円があり、Aにかっこづけで、A(3で割り切れる数)などというように書いてあり、円には何も書かれていません。
そのような記法もあるみたいですね。

ここで質問です。
有限集合だが要素が多い集合や、無限集合では普通は円に全ての要素を書き込みません。
しかし、要素の中から数個選び出して円の中に書き出す事は可能でしょうか?
(一個だったり、二個だったり、三個だったり、…)

円の中に要素を書き出すなら、やはり全て書かないといけないのでしょうか?

Aベストアンサー

>集合の要素を書くとき、A={1、2、3、…}というように式のように書くか、円の中に要素を書くか、という二通りがあります。

 ありません。正式な数学の文書は、図を含みません。だからと言って図が一つもない頭の固い本は、自分は嫌いですが、図は「説明図」であり、前も言いましたが、「方便」である事に変わりはありません。


>しかし、有限集合だが要素が多い集合、または、無限集合なら、円の中に全て書き込むのは普通しませんよね。
だからそれをx一文字で表したりするのですが…。

 あなとの言う意味ではしません。A={x|x=1,2,3,・・・}という表し方ならします。「・・・」によって、全ての要素が書き込まれていると読みます。これも慣習による省略記法です。

>Aという集合の名前がついた円があり、Aにかっこづけで、A(3で割り切れる数)などというように書いてあり、円には何も書かれていません。
そのような記法もあるみたいですね。

 ありません。これは、A={x|xは3で割り切れる整数}またはA={x|xは3で割り切れる自然数}の説明図です。図は方便なので、A(3で割り切れる数)などの不正確な書き方も、慣習上許されているだけです。


>ここで質問です。
有限集合だが要素が多い集合や、無限集合では普通は円に全ての要素を書き込みません。
しかし、要素の中から数個選び出して円の中に書き出す事は可能でしょうか?
(一個だったり、二個だったり、三個だったり、…)

円の中に要素を書き出すなら、やはり全て書かないといけないのでしょうか?

 数個だけ書き出す事は不可能だし、全て書くのが本来です。

 まずA={x|x=1,2,3,・・・}なのに、A={1,2,3}と書いたら、明らかに誤りです。慣習も、そこまで緩くはありません。方便として円の中に、例として1,2,3だけを書いたような図は、あり得るかも知れませんが、少なくとも「・・・」を書かないと、本来は説明図としてさえ誤りです。

>集合の要素を書くとき、A={1、2、3、…}というように式のように書くか、円の中に要素を書くか、という二通りがあります。

 ありません。正式な数学の文書は、図を含みません。だからと言って図が一つもない頭の固い本は、自分は嫌いですが、図は「説明図」であり、前も言いましたが、「方便」である事に変わりはありません。


>しかし、有限集合だが要素が多い集合、または、無限集合なら、円の中に全て書き込むのは普通しませんよね。
だからそれをx一文字で表したりするのですが…。

 あなとの言う意味で...続きを読む

Q[定理]任意の有限超実数はちょうど一つの実数に無限に近い。

宜しくお願い致します。

超準解析での標準部分定理の証明で分かりません。
Rは実数体でR*は超実数体とします。R⊂R*でR*はRの真の順序拡大体になってます。
x∈R*でxが有限超実数であるの定義は0<∃r∈R;|x|<rが成り立つです。
x,y∈R*において,x~yはxとyが無限に近い(0<∀r∈R,|x-y|<r)を意味する記号です。

[定理]任意の有限超実数はちょうど一つの実数に無限に近い。
[証]
一意性の証明は略す。
存在性を示す。
xを有限超実数とする。
X={s∈R;s<x}と置くと,Xは空でなく,上に有界である。実際,或る実数にrに対して|x|<r(∵xは有限超実数),即ち-r<x<rが成り立つから,-rはXに属し,rはXの一つ上界である。そこでXの上限をtとする。任意の正実数rに対し,
x≦t+r。従って,x-t≦r
t-r≦x。従って,-(x-t)≦r
となるからx-t~0即ち,x~t (終)

となっているのですがt∈Rである保証はありませんよね。t∈R*\Rの場合でないとどうして言い切れるのでしょうか?

宜しくお願い致します。

超準解析での標準部分定理の証明で分かりません。
Rは実数体でR*は超実数体とします。R⊂R*でR*はRの真の順序拡大体になってます。
x∈R*でxが有限超実数であるの定義は0<∃r∈R;|x|<rが成り立つです。
x,y∈R*において,x~yはxとyが無限に近い(0<∀r∈R,|x-y|<r)を意味する記号です。

[定理]任意の有限超実数はちょうど一つの実数に無限に近い。
[証]
一意性の証明は略す。
存在性を示す。
xを有限超実数とする。
X={s∈R;s<x}と置くと,Xは空でなく,上に有界である。実際,或る実数...続きを読む

Aベストアンサー

Rは完備順序体だからRの部分集合Xの上限はRに属する。Xに属するわけではないが。
Rの完備性を仮定しないなら、採用している公理系を補足してください。
参考URLによれば、Rの完備性の代わりに標準部分定理を公理としても同値のようです。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E6%BA%96%E8%A7%A3%E6%9E%90

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E6%BA%96%E8%A7%A3%E6%9E%90

Q集合のユニークな要素数の数式表現について

集合のユニークな要素数(重複する要素を除いた後の要素の数)を数式表現したいのですが、
どのように表現すれば良いのかわかりません。

例えば、集合A={1, 2, 1, 2, 3}の場合だと、
1,2,3の”計3個”を数式で表現(定義)したいです。

もちろん、単純な要素数なら、|A|といった形式で表現できますし、
集合の中での唯一の要素の数(上の例だと「3」の1個)であれば、
条件式とセットで容易に表現できると思うのですが、
ユニークな要素の数となると、うまく表現できずに困っています。

どなたかお知恵を拝借できないでしょうか。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

質問の「問題の定義」をはっきりさせてくれないと,回答に困ります.

まず,前提として,数学での通常の用語として「集合」と称した時点で,要素の「重複」は一切あり得ません,というか,議論することが不可能です.
{1,2,3} も {1,2,1,2,3} も {1,1,1,2,2,2,2,2,3,3} も,どれも「同一の集合」の異なる表現です.したがって,A={1,2,1,2,3} と宣言したら,その時点で A={1,2,3} も A={1,1,1,2,2,2,2,2,3,3} も同時に成立します.
|A| という記号が表すのは,集合Aそのものが保持している固有の情報としての「要素の数」です.集合Aを {1,2,3} と表そうと {1,2,1,2,3} と表そうと {1,1,1,2,2,2,2,2,3,3} と表そうと,要素の数が3であることは不変です.「Aを書き表したときの見かけの要素数」は,Aの具体的な書き表し方によって変わってしまうので,Aが保持する固有の情報とはいえません.
「集合Aを『たまたま』『誰かがどこかで』A={1,2,1,2,3} という式で書き表した」としても,集合Aが定められた後では,「(重複を含めて)見かけ上5個の要素を書き並べてAを書き表した」という情報は無効になる(集合Aはその情報を保持しない)のです.Aが保持する情報は「持っている要素は1,2,3の3個だ」ということだけで,(書き表したときに)要素の重複があったかどうかという情報は一切無効化されます.集合とはそういうものです.

「A={1,2,1,2,3} とすると |A|=5」という主張は,|A| という記号の解釈を誤っているだけでなく,「そもそも集合Aは『5』という情報を保持していない(それをAから取り出すことは不可能)」という意味で根本的におかしいです.

したがって,「要素の重複」を考えに入れて議論しようとするなら,「集合」を使って議論するのではダメで,multiset(要素の重複を考えに入れる集合概念の拡張)なり,リスト(列)なり,集合とは異なるデータ形式でもって対象を表現しなければなりません.

以上の前提をふまえて,質問の意図を推し量ると,たぶん,次のどちらかでしょう.
(1) A を『multisetとして』A={1,2,1,2,3} (1,2は重複度2,3は重複度1でAに属する)と定めるとき,Aの「重複を含めた要素数」(5)と「ユニークな(重複を除いた)要素数」(3)を表すための『記法』は何か?
(2) 〈1,2,1,2,3〉というリスト(列)が具体的に与えられたとき,重複を含めた要素数(5)はリストの長さと一致するから容易に得られるが,「ユニークな要素数」(3)の情報を得るための手続き(アルゴリズム)はどのように記述できるか?

(1)については,multisetの理論で確立された記法の習慣があれば,それに従えばよいでしょう(multisetの理論でどんな記法の習慣があるのか,私は知りませんし,調べる意欲もありません).あるいは,定義をはっきり述べたうえで,独自に記法を導入するという方法もあるでしょう.
新しい記号を導入しないでなんとか書こうとするなら,「そもそもmultisetを既存の数学概念でどう記述するか」を決める必要があります(すでに述べた理由で「集合」を使うのではダメです.たぶん,数列を使うとか,写像のtargetとして表すとかでしょう…).「ユニークな要素数を式で表す」のは,multisetの記述方法を決めた後の話です.

質問の意図が(2)だとしたら,プログラミングの演習問題みたいなものですから,自分で考えてください.

質問の「問題の定義」をはっきりさせてくれないと,回答に困ります.

まず,前提として,数学での通常の用語として「集合」と称した時点で,要素の「重複」は一切あり得ません,というか,議論することが不可能です.
{1,2,3} も {1,2,1,2,3} も {1,1,1,2,2,2,2,2,3,3} も,どれも「同一の集合」の異なる表現です.したがって,A={1,2,1,2,3} と宣言したら,その時点で A={1,2,3} も A={1,1,1,2,2,2,2,2,3,3} も同時に成立します.
|A| という記号が表すのは,集合Aそのものが保持している固有の情報としての「要...続きを読む

Q新しい実数の構成:自然数→正の実数→実数

次のような実数の構成はあるのでしょうか?

まず、10進法の表記により自然数を構成します。
0を含めます。

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,
11、12、・・・

といった数を考えます。
ケタ数は有限です。
順序関係は、まず、ケタの大小を比べ、ケタが同じであれば、最大ケタの数字を比べます。
0~9までの加法と乗法を九九として決め、一般の自然数の加法と乗法は筆算により定めます。

つぎに、小数点以下を考えます。
まず、小数点以下のケタ数が有限なる数を考えても、順序関係と加法・乗法はいままでと同様です。

そして、小数点以下のケタ数が無限なる数を考えます。
順序関係はいままでに追加して、
1=1.000・・・=0.999・・・
といったことなどを考えます。
加法と乗法の筆算も、「左から計算」していけばいいと思います。
このとき、新しく除法も考えられます。

これで、正の実数が構成できたと思いますが、
最後に、小数点以上のケタ数が無限なる数を考えます。
たとえば、
・・・1212.12 
とか
・・・333.333・・・

順序関係はうまくいきませんが、
・・・999+1=・・・000=0
と考えると、
・・・999=-1
といった意味になり、
3をかけることで、
・・・997=-3
といった意味になったり、
3でわることで、
・・・333=-1/3
といった意味になったりします。
また、加法と乗法の筆算は、「小数点を中心に左右へ計算」していけば整合性が得られると思われます。
そして、減法・除法も考えられると思います。
つまり、負の実数が構成されたと思います。

結局、左右に無限に続く10進法表記で、実数とその加減乗除が構成されたと思います。

このような、実数の構成はあるのでしょうか?
また、不備がありましたら指摘ください。

次のような実数の構成はあるのでしょうか?

まず、10進法の表記により自然数を構成します。
0を含めます。

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,
11、12、・・・

といった数を考えます。
ケタ数は有限です。
順序関係は、まず、ケタの大小を比べ、ケタが同じであれば、最大ケタの数字を比べます。
0~9までの加法と乗法を九九として決め、一般の自然数の加法と乗法は筆算により定めます。

つぎに、小数点以下を考えます。
まず、小数点以下のケタ数が有限なる数を考えても...続きを読む

Aベストアンサー

アイデアは買うが、それでは無理。要するに有理数体の完備拡大体を考えたいわけだが、それには通常のユークリッドメトリックによる完備化(実数体R)と、素数pに対するp進メトリックによるp進完備化(p進体Q_p)というのがあって、それ以外はないことになってます。

10は残念ながら素数じゃないので、そのような方法ではうまく体が構成できない。たとえば、
(・・・・・・59918212890625)^2=・・・・・59918212890625
(・・・・・・40081787109376)^2=・・・・・40081787109376
となって、x^2=xの解が、x=・・・・・・0000、x=・・・・・・0001以外にもx=・・・・・59918212890625、x=・・・・・40081787109376というものが存在することになる。ここであげた・・・・・59918212890625と・・・・・40081787109376という組み合わせはなかなか面白くて、足して1、かけて0になる(左に無限に続く)2数となっている。要するに有理数の10進完備化は体にはなっていないのです(体ならば特に整域であって、因数分解は一意的でなくてはならない。したがって2次方程式に解が3個以上存在していはいけない。)

以下、おまけ。・・・・・59918212890625をどうやって求めるか。ようするにx^2=xとなるxを見つけたい。
0~9の中で2乗しても1の位が変わらないものは、0,1のほかに5と6がある。そこでまず5に注目する。5を2乗すると25になる。したがって25を2乗したものは下二桁が必ず25と変わらない。そこで25を2乗する。すると625になる。よって625を2乗したものは下三桁が必ず625となって変わらない(ただの中学数学で簡単に証明できる)。625の2乗は390625だから、この下四桁0625はやはり2乗して同じ下四桁を持つ。そこで0625を2乗して390625だから、下五桁90625は2乗して同じ下五桁を持つ。あとはこれを延々と繰り替えすことができるから、無限に左に続く、べき等元が得られる。通常の実数なら、0と1以外にそんな数はないが、左に無限に続いてもよい(これは要するに左に行けば行くほどその数がある値に収束するという意味であって、普通のユークリッドの距離とは異なる距離概念)から可能になってしまう。

このアイデア自体はちゃんと数学になっていて、Z/10Z、Z/10^2Z、…の逆極限という環として10進整数と呼ばれる、左に無限に続く数が定義可能。だけど素数じゃないとうまく整域にならないのです。したがってうまく商体を考えられない。整域だったら、p進整数から、p進体が出来ます。興味があれば、p進体などを勉強されてみるとよいと思います。参考URLの『p-進数の世界(pdf)』が秀逸な記事だと思います。

参考URL:http://www.math.kyoto-u.ac.jp/~kato/

アイデアは買うが、それでは無理。要するに有理数体の完備拡大体を考えたいわけだが、それには通常のユークリッドメトリックによる完備化(実数体R)と、素数pに対するp進メトリックによるp進完備化(p進体Q_p)というのがあって、それ以外はないことになってます。

10は残念ながら素数じゃないので、そのような方法ではうまく体が構成できない。たとえば、
(・・・・・・59918212890625)^2=・・・・・59918212890625
(・・・・・・40081787109376)^2=・・・・・40081787109376
となって、x^2=xの解が、x=・...続きを読む

Q集合の要素

集合の問題で、3の倍数の集合とかならわかりやすいのですが、
次の各条件を満たす集合をS(Sは空集合でない)とする
1)すべてのx,y∈ Sにおいて x-y∈ Sである
2)すべてのxにおいてxの倍数はSに含まれている
のような場合、例えば3が含まれているとかんがえると、3の整数倍のかずしかこの集合は含めませんが、3と4が含まれている場合Sは整数の集合になってしまいます。最初というかひとつは要素を決めないとほかの要素が決まらないような場合はどこからスタート(?)すればよいのでしょうか?
ちなみにこの集合に関する問いが
Sのすべての要素はある自然数d∈Sの倍数だけであらわせることをしめせということなのですが、もし0.1などをふくんでしまったらなんて考えてしまうのですがどうなのでしょうか?

Aベストアンサー

>どこからスタート(?)すればよいのでしょうか?
に対する回答としては、Sは空でないので要素xをひとつ持つ。ってところから始めるのがスジ。


この出題の場合は、
まず、
S={0}のとき、「Sのすべての要素はある自然数d∈Sの倍数だけであらわせる」
↑この主張の正当性は、私にはわかりませんが、出題者にとっては正しいのでしょう。


としておいてから、
「いま、Sが0でない要素dを持つとする。」って感じで書き始めるのが良いでしょう。

以下は、
条件1(x,y∈ S⇒ x-y∈ S)より、d-d=0∈S であり、Sは要素0を持つ。
また、0-d=-d∈Sから、Sは要素-dを持つ。
dか-dは一方が正なので、Sは少なくともひとつ正の要素を持つ。

Sに含まれる、正で最小の要素をcとする。

条件2(x∈S⇒nx∈S、n∈Z)より、cの倍数はすべてSに含まれる。

いま、cの倍数でないbがSに含まれるとする。  (←帰謬法(背理法)の仮定ってヤツです)

bが正としても一般性を失わない。(b∈S⇒-b∈Sだから)

bをcで割った商をm、余りをaとすると、

b=mc+a (0<a<c):ちなみに割り切れたらbはcの倍数になっちゃうよね。

条件1から、b,c∈S より b-c∈S、

これをm回繰り返して b-mc∈S すなわち a∈S  (←m回繰り返しての部分は細かくは帰納法)

これは、cがSに含まれる最小の正数であることに反する。

以上より、Sにcの倍数以外の要素はない。

>どこからスタート(?)すればよいのでしょうか?
に対する回答としては、Sは空でないので要素xをひとつ持つ。ってところから始めるのがスジ。


この出題の場合は、
まず、
S={0}のとき、「Sのすべての要素はある自然数d∈Sの倍数だけであらわせる」
↑この主張の正当性は、私にはわかりませんが、出題者にとっては正しいのでしょう。


としておいてから、
「いま、Sが0でない要素dを持つとする。」って感じで書き始めるのが良いでしょう。

以下は、
条件1(x,y∈ S⇒ x-y∈ S)より、d-d=0∈S であ...続きを読む

Q0~1の間にある実数と実数全体にある実数の個数は同じ?

「0~1の間にある実数と実数全体にある実数の個数は同じ。」・・少しニュアンスが違うかも知れませんが、先日数学の先生がこんなことを話してくれました。このことを先生は次のように説明してくれました。数直線上の0~1を半球面とみたて、その半球面上に光源をおき光を放射する。すると半球面上に一対一で光源が実数に対応する。次いで0~1の範囲で作った半球面を取り除けば実数全体にその光源が対応し、よって0~1の間にある実数と実数全体にある実数の個数は同じになる。この話を聞いて、なんだかだまされているような気がしました。本当に「0~1の間にある実数と実数全体にある実数の個数は同じ。」といえるのでしょうか?他にこれを証明する方法を知っている方いらっしゃったら教えてください。

Aベストアンサー

正しくは「濃度が等しい」と言います。

下記URLには実数vs実数は出ていませんが、濃度に関してはわかりやすいかと思います。

参考URL:http://www.gcc.ne.jp/~narita/prog/math/01/

Q7個の要素からなる集合

7個の要素からなる集合の部分集合の総数を求めよ。

よろしくお願いします!

Aベストアンサー

要素の数が n 個の集合の部分集合は、 2^n となります。

例えば、要素が7個で、 {a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7} とした場合、部分集合は、それぞれの要素が”含まれるか”、”含まれないか”の2種類が存在するので、2つの状態があることになります。それが7個あるのですから、2の7乗個の組み合わせになるということになります。


例 簡単に3個の例で書き出してみます。

  a1  a2  a3
  ×  ×  ×   空集合
  ○  ×  × 
  ×  ○  ×
  ○  ○  ×
  ×  ×  ○
  ○  ×  ○
  ×  ○  ○
  ○  ○  ○

2^3= 8個の部分集合

ご参考に。

Q連続性のある関数を、中間値の定理に基づいて、実数解があることを示す方法がわかりません(ToT)

微分積分を勉強しているのですが、全く理解できない問題がありまして・・・。

【問題】
方程式3x=2^x+2^-xは、区間(0,1)の中に少なくとも一つの実数解をもつことを示せ。

【解答】
f(x)=3x-(2^x+2^-x)とおけば、f(x)は全区間Rで連続であり、

f(0)=-2<0
f(1)=3-(2+1/2)=1/2>0

である。中間値の定理(※)により、

f(x)=3x-(2^x+2^-x)=0

であるようなxが、区間(0,1)の中に、少なくとも一つ存在する。

●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○
※連続関数の中間値の定理
関数f(x)が、閉区間[a,b]で、連続でf(a)≠f(b)のとき、f(a)とf(b)の値kに大して、

f(c)=k

である点cが、開区間(a,b)の中に少なくとも1つ存在する。
●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○

読みにくいと思いますので、添付ファイルもご覧にいただきたいのですが、どうしてf(x)=3x-(2^x+2^-x)とおけば、f(x)は全区間Rで連続になるのでしょうか?

関数f(x)が「連続であるかどうか」を調べるには、例えば、f(x)をaで微分した「lim(x→a) f(x)」と、元の関数f(x)がx=aの時、すなわち「lim(x→a) f(x)=f(a)」、「f'(a)=f(a)」となる時、連続なんですよね?

ですが、f(x)=3x-(2^x+2^-x)は、変数xが指数としてくっ付いてるので、どう微分していいのやら・・・。
なので、「全区間Rは連続であり」と言われても、全くピンときません(ToT)

どうして「<0」「>0」など、0から目線で証明を進めているのかもわかりません(>_<)
皆様のお力をお借しいただきたい次第です。
よろしくお願いします<m(__)m>

微分積分を勉強しているのですが、全く理解できない問題がありまして・・・。

【問題】
方程式3x=2^x+2^-xは、区間(0,1)の中に少なくとも一つの実数解をもつことを示せ。

【解答】
f(x)=3x-(2^x+2^-x)とおけば、f(x)は全区間Rで連続であり、

f(0)=-2<0
f(1)=3-(2+1/2)=1/2>0

である。中間値の定理(※)により、

f(x)=3x-(2^x+2^-x)=0

であるようなxが、区間(0,1)の中に、少なくとも一つ存在する。

●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○
※連続関数の中間値の定理
関数f(x)が、閉区間[a,b]で、...続きを読む

Aベストアンサー

>関数f(x)が「連続であるかどうか」を調べるには、例えば、f(x)をaで微分した「lim(x→a) f(x)」と、元の関数f(x)がx=aの時、すなわち「lim(x→a) f(x)=f(a)」、「f'(a)=f(a)」となる時、連続なんですよね?

いろいろ違います。
まず、
>f(x)をaで微分した「lim(x→a) f(x)」
とありますが、微分係数の定義からするとf`(a)=lim(x→a)(f(x)-f(a))/(x-a)です。連続と混合されてると思います。
f(x)が点aで連続であることの定義はlim(x→a) f(x)=f(a)となることです。この定義に微分は介入しません。
たとえば、g(x)=2^xとおけば、lim(x→1)g(x)=lim(x→1)2^x=2となりg(1)と一致するのでg(x)はx=1で連続ですし、同様にx=2でも3でも連続になります。一般的なaにおいてもlim(x→a)g(x)=lim(x→a)2^x=2^aとなりg(a)と一致するので全実数区間で連続です。

Q空集合の元ΦがXの要素=空集合ΦがXの部分集合?

集合が、別の集合の元となることって可能(そう表現してよい)ですか?
例えばX={x | 2x, x∈ R^n}, X∈Yみたいに書くことはできますか?

もし可能なら、元ΦがXの要素=ΦがXの部分集合だから、Φ∈XとはΦ⊆Xと同義ですか?
Φは空集合です

Aベストアンサー

> 例えばX={x | 2x, x∈ R^n}, X∈Yみたいに書くことはできますか?

「2x, x∈ R^n」が意味不明ですが、「集合が、別の集合の元となること」は可能です。


> 元ΦがXの要素=ΦがXの部分集合だから

違います。

Qパップスの中線定理(スチュワートの定理)、二等分線の定理

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD%E7%B7%9A
によると、

三角形 ABC の3辺 BC,CA,AB の長さをそれぞれ a,b,c とし、頂点AとBCの中点を結ぶ中線の長さを m とすると、スチュワートの定理より以下の式が成り立つ。
4m^2+a^2=2(b^2+c^2)
∴m=√(2b^2+2c^2-a^2)/2

となることは分かります。次に、

三角形 ABC の3辺 BC,CA,AB の長さをそれぞれ a,b,c とし、頂角Aの二等分線とBCの交点を結ぶ線分の長さを n とするとき、この n をa,b,cのきれいな式で表したいのですが、どのような式になるのでしょうか?

Aベストアンサー

∠A=θ、∠Aの二等分線とBC の交点をNとすれば、
面積公式から
bnsinθ+cnsinθ=bcsin2θ=2bcsinθcosθ
sinθでわって、(b+c)n=2bccosθ・・・☆

一方、BN:NC =c:bより、BN=ck、NC=bk
とすれば、BN+NC=aからk=a/(b+c)
よって、NC =ab/(b+c)となり、△ACNで余弦定理を
使い cosθ={b^2+n^2-a^2b^2/(b+c)^2}/2bn

これを☆に代入して 整理 nについて解けば
 n={1/(b+c)}√{bc(a+b+c)(-a+b+c)}


人気Q&Aランキング

おすすめ情報