実数の定理でしょうか? 興味がかきたてられます。
stomachmanさん、ぜひ回答をお願いします。
(全然急ぎでなくて結構です)
もちろんstomachmanさん以外の方も、回答をお待ちしています。

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (2件)

逆指名は反則じゃないんですかぁ? 専門家もいらっしゃるでしょうに...うう、自爆じゃあっ。


非可測集合とバナッハ-タルスキーの定理。どちらも実務の計算とは無縁のものです。純粋数学の中にだけ現れ、直接の応用はないと思ってください。ご専門の方、ご笑覧の上フォローおねがいします。

 長さ・面積・体積といった広がりを測る概念(測度)との関連で、無限というものの「曲者性」が現れた現象のひとつが非可測集合です。さて、非可測集合とは、という話は教科書を見ていただくとして(ルベーグ積分、測度論、ボレル集合、などをキーワードにして探してみてください)、ここではなるべくいいかげんな説明と、いかにへんてこであるかの例を示すだけで勘弁して戴こうと思います。(いや、勘弁して戴きます!とても易しくかつ正確に説明するなんてできないや。)


●実数の対(x,y)で表される2次元空間の話です。1辺1の正方形を考えます。面積は1ですね。
 この正方形の中の点(x,y)のうち、xもyも有理数であるような点だけを集めた集合を考えます。この集合の「面積」はゼロ。もうびっくり? 有理数は自然数と1:1対応が付きますから、たかが可算無限個しかない。実数は非可算無限個。これに比べたら無視できるってわけですね。
 今度は正三角形を考えます。各辺の中点を結んで小さい正三角形を描き、この真ん中の正三角形の部分を切り抜いて捨てます。そうすると小さい正三角形3つでできた図形(どこかの食料品店のマークのような)が残りますね。このそれぞれの正三角形について、真ん中の正三角形の部分を捨て、.....と無限回やります。これは「シェルピンスキーのガスケット」という集合なんですが、非可算無限個の点を含んでいる。そして面積は0です。(なんですと?)
 ところが、それどころか、「面積」というものを考えることすらできないような集合がある。これが「非可測集合」です。
 面積というのは集合Aから実数sへの関数 s = m(A) です。そして「面積」というからには、Aをいくつかに分割してそれぞれの面積を求め、合計したら、元のAの面積になって欲しいですよね。少なくとも、元のAの面積より大きくなるんじゃ話にならない。ところが、どんなに上手にmを作っても「話にならない」状況が起こってしまうことが知られています。そういうやっかいな集合Aを「非可測」と呼ぶ訳です。
 
●2次元平面の部分集合Aであって、次の(1)(2)が同時に成り立つものが存在する。
  (1)2次元平面上の任意の場所に好きな大きさの円盤を描くと(どんなに小さい円盤でも)
   Aと円盤との共通点が必ず存在する。
  (2)2次元平面上に任意の直線を描くと、この直線とAとは高々2点しか共通点がない。

このAは実は非可測集合の一例です。(1)から分かるように、Aは平面上あまねく広がっている。なのに、(2)からわかるようにすかすかなんです。幽霊みたいですね。

●非可測集合は非構成的です。つまり、具体的な作り方(アルゴリズム)を記述することが不可能なんです。(もっとも、アルゴリズムが記述できる集合は可算無限個しかありませんが...)

●でも、ニアミスするまで迫ってみましょう。今度は1次元(数直線上)の「長さ」の話です。
「実数を二つ持ってきて、x, yとします。「xとyは仲良しである」とは両者の差 x-y が有理数であるという意味だ、と決めましょう。すると実数全部を、仲良しグループに分類することができます。このようなグループは無限個できます。各グループのメンバーは皆互いに仲良しですし、他のグループのメンバーとは仲良しではありません。どんな実数もどれかのグループに入ります。
 次に、各グループから委員を1つづつ出して貰います。(ただし委員は0以上1未満であること、とします。)どの委員を2つ持ってきても、仲良しではない。委員全部を集めた委員会集合Aを作りますと、Aは非可測になります。」(どうして?というのはしんどいので勘弁してください。)

 なんだ作り方が書けるじゃないか、と思われるでしょ?でも「どうやって委員を選ぶのか」が書いてない。これが実は本質的なんです。「てきとーでいいじゃん?」と、グループひとつひとつについて委員を選んでいたのでは無限個の委員を選び終わることができません。「グループのうち、0以上1未満である数の中で最大のやつを選ぶ」というのは良いアイデアですが、残念ながらグループ内に「1未満の最大の数」は存在しないんですよ。でも何か方法がありそう? 実は、ないんです。「存在することは証明できるが、やり方は本質的に分からない。」ここがポイントです。

 数学の公理のひとつに、選択公理というものがあります。すなわち「選択公理:与えられた集合の中から、要素をひとつ選び出すことができる。」当たり前みたいな話でしょう?でもこの公理を使うと「(どうやってかは知らないけど)委員を選ぶことができる。そこで...」と論を進められます。そしてその結果、「非可測集合」や「バナッハ-タルスキーの定理」など、へんてこなものが出てくる。でも、選択公理を拒絶すると、数学のパワーがまるで弱くなる。証明できることがもの凄く少なくなってしまう。数学のかなりの部分(しかもおいしいミソの部分)は選択公理がないと成り立たないんです。(「選択公理なしでどこまで行けるか」という研究分野があるからこそ、こういう事が分かったんです。)

●こういった話は、数学基礎論(「基礎的な数学」ではなく、数学の基礎となる前提に変なところはないか、などを研究する分野)です。「超限集合論」「選択公理」「連続体仮説」「不完全性定理」などなどについて、色々一般向けの解説書が出ていますが、著者ごとに説明の仕方(読者から見れば疑問のポイント)が違いますので、乱読をお勧めします。ちなみにStomachmanが数学基礎論と出会った最初の書物は「(島内剛一)数学の基礎」(既に絶版)でした。

●なお、可測集合(面積が定義できる集合)の中にも変なのはいます。
 1辺1の正方形の部分集合Aであって、面積は1であり、しかも、この集合Aに含まれるどの点(x,y)についても、「(x,y)を通り、しかも(x,y)以外ではAと交わらないような直線が少なくとも1本引ける。」そういう可測集合Aが存在する。
 つまり、Aはほとんど完全に正方形を埋め尽くしているというのに、A内のどの点からも、A自身に遮られずに外が見える、ってわけです。(わーい。こうなってくると、もうわかんないや。)

この回答への補足

stomachmanさん、すばやい回答ありがとうございました。回答者を指名するのはルール違反なのでしょうね。ゴメンナサイ。回答していただいた内容を小生のつたない頭で、いっしょうけんめい理解しようとしているところです。

補足日時:2000/12/16 17:23
    • good
    • 0
この回答へのお礼

何回も読みましたが、素人の私に理解できるハズがありませんでした。以下はひとり言です。
stomachmanさん、気にしないでください。自分でコツコツ考えます。
1.有理数の点の集合には面積がないというのは、それが非連続だからだろうか? 点自体には面積は
  ないのだから連続していなければ「広がり」をもちようがないのかな?
2.「シェルピンスキーのガスケット」の場合の三角形のくりぬき方では、無数の三角形の斜辺の線自体が
  欠損することはないから、結局、網目のような線だけがのこり、面積はゼロだが残った線上の実数は
  非可算無限個である、ということなのかな?
3.面積が非可測とは構成する点が連続なのか非連続なのか知る方法がないということなのかな?
  「アルゴリズムを記述することが不可能」とはまさにそういうこと?
4.選択公理がないとは、たとえば「目の前に群集はいるのに、その中の誰か一人を呼んで舞台の上に
  上げようと思っても、その呼び出し方が決められない(存在しない)」ということかな?
「連続」っていうことは本当に不思議なことですね。考え出すとやめられないです。これは、きっと
宇宙の神秘そのものかもしれません。けっして数学者の遊びの世界なんかじゃないと思うのですが。

お礼日時:2000/12/18 22:15

独り言が聞こえちゃいましたので....


(1) 有理数の点の集合には面積がないのはばらばらだからです。その通り。「こういう面積0の集合を除けば、XXXが成り立つ」を「ほとんど至る所でXXXである」と言い、この言い方を発明したのがルベーグ先生。この言い回しのおかげでいろんな関数の積分が計算が出来るようになったんです。
(2) ガスケットを描く方法。有名なパスカルの三角形を描いてください。ただし、奇数を赤・偶数を黒で書きます。(Excelでもできます)
(3) 面積が非可測とは、要するに分割して、それぞれ測って寄せ集めると、もとより大きくなってしまう(加法性が成り立たない)ということです。ちょっと似たイメージのものに、人形などの絵が沢山描いてあるカードを3つに切って、並べ直すと、人形の数が変わる、というトリックがあります。
(3-2) アルゴリズムを記述すること:アルゴリズム(プログラム)も文字で書くので、必ず有限個の記号で表されます。これを2進数コードで表現すれば、じつは1個の自然数に過ぎない。つまり、全てのアルゴリズムを集めても可算無限個しかありません。また、そのどれも非可測集合を定義しないことが知られています。
(4) 「選択公理を使わない」とは、具体的に選び方が決められるという場合以外には選択をしてはならない(とにかく代表選手を集めた集合を構成できた、ということにしてはいけない)ということです。勿論有限集合が相手ならいつでも選択は可能です。

 数学は「無限」を研究する学問であると言われます。純粋数学者会議のスローガンは「純粋数学が永遠に発展し、かつ何の役にも立たないことを祈る」というもの。(ところがどんなに「実用には関係ない」と思われる理論も、ずっと後になってもの凄く役立ったりするのも面白いところです。)僅かな公理から、とても豊かな内容、直感に合わない結果を含む世界を作り上げることが醍醐味であり、哲学と芸術の狭間にあって、未知の宇宙を創造する、ある意味ではうらやましい活動です。どんなに科学技術が進んでも無くなることはないでしょう。
 アマチュアが数学の醍醐味や哲学性を味わうには、基礎論が一番だと思います(最先端は難しすぎるので)。
さあ、はまりましょう。さあ!
    • good
    • 0
この回答へのお礼

感謝!感謝! 感激です! こんなに速くレスがもらえるなんて。ホント、ありがとうです。
ひとり言にまで答えてもらって、いいなあ、なんだか自分の世界がグーンと広がったみたいで
うれしいです。(ホントにネットはすばらしい!)
> 哲学と芸術の狭間にあって、未知の宇宙を創造する、ある意味ではうらやましい活動です。
そーですねー。前から思っていたのですけど、数学研究は「発見行為」ではなくて「創造行為」
ですよね。人間の純粋理性思考が新宇宙を創造するのですものね。
「真理は主観的・意思的に創造されるものである」これは私が作った格言です。
(また、いつかお相手してください)

お礼日時:2000/12/19 02:20

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Qルベーグ可測集合ってなんですか???

ルベーグ可測集合を上手く捉えられません。

頭が悪いので簡単に説明して下さい。

今の自分の解釈は、

長さや面積や体積を持つ図形はどんな集合と言えるか?↓

ルベーグという名前の人が、これら(の図形)は測ることが出来るので、

長さや面積や体積を持つ図形の集合を「ルベーグ可測集合」と名付けた。

        長さ確定図形・・・・・・・・・・・・   1次元ルベーグ可測集合
        面積確定図形・・・・・・・・・・・・   2次元ルベーグ可測集合
        体積確定図形・・・・・・・・・・・・   3次元ルベーグ可測集合  という。

私の疑問は、Q1.長さや面積や体積を持つ図形以外に、ルベーグ可測集合に属するものは無いのか???

ということと、

Q2.「全ての図形はルベーグ可測というわけではない」  とは、どういう意味なのか???

ということです。測ることが出来ないくらい巨大な(宇宙サイズ?)図形に対して言ってるんですかね???

ちなみに、

面積(体積)がゼロの図形は、面積(体積)が0で確定しているので、面積(体積)を持つというそうです。
ってことは、面積(体積)0の図形はルベーグ可測集合に属しますよね?

面積が0の図形とは、円盤じゃなくて円周のこととか、
体積が0の図形とは、壁の無いお家(柱、骨組み)のこととか・・・ですか???

なんか的外れなことを言っていたらすみません・・・・

すっごく分かりやすく教えて下さい。

ルベーグ可測集合を上手く捉えられません。

頭が悪いので簡単に説明して下さい。

今の自分の解釈は、

長さや面積や体積を持つ図形はどんな集合と言えるか?↓

ルベーグという名前の人が、これら(の図形)は測ることが出来るので、

長さや面積や体積を持つ図形の集合を「ルベーグ可測集合」と名付けた。

        長さ確定図形・・・・・・・・・・・・   1次元ルベーグ可測集合
        面積確定図形・・・・・・・・・・・・   2次元ルベーグ可測集合
        体積確定図形...続きを読む

Aベストアンサー

次元は本質的ではないです。ちょっと誤解をうみやすい説明でしたね。
すみません。

理解のために、ユークリッド空間に限定してみましょう。例えば数直線(一次元)を全体集合とする場合で考えましょう。そして、長さの概念を考えましょう。ひとつの点(からなる集合)は、長さが0です。0、1区間[0,1](これも集合です)の長さは1です。数直線全体の長さは無限大です。(0でも無限大でも、定まっていれば長さです)ここまではえがける図で表現できます。

それでは、区間[0,1]の中の有理数からなる集合Xの長さは? これは図ではえがけませんが集合です。集合Xの長さを考える時に、複数の細かい区間で覆っていくことを考えます。有理数の集合は可算ですから、有理数をQ1,Q2,Q3,Q3,,,と番号をふることができます。例えば、Q1を長さ1/2の区間で囲み、Q2は長さ1/2~2で囲み、Q3は1/2~3で囲み、、、、と。この場合、覆う区間の長さの合計は、等比級数の和で1になります。次に覆う区間を短くしていきます、たとえば、Q1を長さ1/2~2の区間で覆い、Q2は長さ1/2~3で覆い、Q3は1/2~4でおおいと、、、(先ほどの等比級数であらわれた長さをひとつ、ずらしたものです)、、、この区間の長さの合計は1/2になります。このように、おおう区間をどんどん細かくしていくと、区間の長さの合計は0に収束します。この収束値0を、区間[0,1]の中の有理数からなる集合Xの長さとしましょうというのがルベーグの考え方です。(有理数からなる集合Xは可算ですから、こんなことは本当は必要ないのですが)、長さを決めるこのような方法を、数直線のいろいろな部分集合に適用して考えていきましょうというわけです。


以上の方法で集合の長さが決まり、どんな分割の方法であれ、わけられた部分の長さの合計が、その集合の長さと一致すれば、正しく長さを定めたことになりますが、それができない場合があるというのが、ルベーグ可測でない場合です。例えば、以下のリンクにあります

pauli.isc.chubu.ac.jp/~fuchino/papers/nagoya-logic-seminar-05.pdf

平面(2次元)を全体集合とし、その部分集合の面積を考える場合、長方形からなる区間でおおっていくことになります。そして、おおう区間を細かくしていって、、、おおう長方形の合計の面積の収束先を面積としましょうというわけです。

次元は本質的ではないです。ちょっと誤解をうみやすい説明でしたね。
すみません。

理解のために、ユークリッド空間に限定してみましょう。例えば数直線(一次元)を全体集合とする場合で考えましょう。そして、長さの概念を考えましょう。ひとつの点(からなる集合)は、長さが0です。0、1区間[0,1](これも集合です)の長さは1です。数直線全体の長さは無限大です。(0でも無限大でも、定まっていれば長さです)ここまではえがける図で表現できます。

それでは、区間[0,1]の中の有理数からなる集合Xの長...続きを読む

Q【測度論】Borel集合でない可測集合は零集合

Borel集合でない可測集合の存在はわかりましたが,ある本によると,そのような集合(Non-Borel measurable set)はすべて零集合(Lebesgue測度が0)だそうですが,どうすれば証明できるのでしょうか?よろしくお願い致します.

Aベストアンサー

証明できない。

補集合を考えてみて。

Q有理数の測度

有理数の集合の測度が0であることの証明は
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3714410.html
が定石だと思うのですが、その証明の過程で起こってることがとっても不思議です
「稠密な集合の1点1点を幅のある区間で覆っている」のに、Rを覆えないどころか、区間の幅の和がいくらでも小さくなっちゃうなんて。。。

このことについて、「なるほど~」と思える解説を教えてください
(集合の濃度にはあまり触れずにおねがいします)
よろしくおねがいします

Aベストアンサー

#1です。

> うーん、集合和を有限で止めている覚えはないんですけど。。。

なるほど、質問の意図を読み違えていました。

> だからRを覆っているということはないはずです。

あまり、触れないように避けたのですが、Rって、実数集合のことだったんですね。
Rationalかと思ったのですが、有理数は、普通Qでしたよね。
たしかに、Rは、覆っていませんでした。

Rを覆っていないというのは、どんどん小さくなっていく加算無限の区間列の和集合に含まれないような実数が、どこかわからないけど、存在するといったイメージでしょうが、
実際、区間列の生成方法をうまく決めれば、そのような実数を探し出すことができそうな気がします。

そのような実数があったとして、その実数の近くのどの有理数をとっても、
その有理数を含む区間は狭すぎて、その実数を含まない状況になっていると想像できます。

専門家でなく、また、結構ブランクがあるので、ちゃんとした確認までしてませんが、
(と言い訳させていただきますが)
たぶん、あっているのではないでしょうか?

#1です。

> うーん、集合和を有限で止めている覚えはないんですけど。。。

なるほど、質問の意図を読み違えていました。

> だからRを覆っているということはないはずです。

あまり、触れないように避けたのですが、Rって、実数集合のことだったんですね。
Rationalかと思ったのですが、有理数は、普通Qでしたよね。
たしかに、Rは、覆っていませんでした。

Rを覆っていないというのは、どんどん小さくなっていく加算無限の区間列の和集合に含まれないような実数が、どこかわからないけど、存在す...続きを読む

QBorel集合の例

「実数直線R上のボレル集合体 B(R) は、R 内の任意の区間を含む最小の完全加法族である」のは正しいと思いますが、実数直線上の完全加法族で、B(R)を真に含んでいるものの例はあるのでしょうか?
(ただし、Rには通常の位相を入れるものとします。)

Aベストアンサー

ANo.2です。すでにANo.4で指摘されていますが、ボレル非可測なルベーグ可測集合の作り方は以下の通りです。
1. ルべーグ非可測集合を用意する(これには選択公理を使う)
2. カントール関数を使って1のルベーグ非可測集合をカントール集合の中に写像する
3. 2の像はカントール集合の部分集合なのでルベーグ測度ゼロ、従ってルベーグ可測になる
4. カントール関数は連続なので2の像はボレル可測ではない(これがボレル可測なら1もボレル可測になってしまう)

あと、検索したら非ボレル集合の構成方法がありました。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9C%E3%83%AC%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88
ただこの例の集合がルベーグ可測かどうかは分かりません。

Q測度ゼロを持つ。の証明がどうしてもできません

[定義]E⊂Rが測度ゼロ"measure zero"を持つとは
0<∀ε,∃{I(n)}:有限か可算の区間の集合 such that E⊂∪[n∈N]I(n) 且つ Σ[n∈N]L(I(n))<ε
但し,L(I(n))は区間I(n)の長さを表す。

が測度ゼロの定義だと思います。その上で

[問]次を示せ。
(1) もしE1,E2が測度ゼロを持つならE1∪E2が測度ゼロを持つ。
(2) もし各E(n),n=1,2,… が測度ゼロを持つなら∪[n=1..∞]E(n)も測度ゼロを持つ。

の問題で四苦八苦してます。
ご助言賜りますよう宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

E1,E2,E3,…が測度0ならば、任意のε>0に対して、
E1は区間の長さの和がε/2未満の区間の和集合に含まれる
E2は区間の長さの和がε/2^2未満の区間の和集合に含まれる
E3は区間の長さの和がε/2^3未満の区間の和集合に含まれる
・・・
として行けば、E1∪E2∪E3∪…は区間の長さの和が、
ε/2+ε/2^2+ε/2^3+…=ε未満の区間の和集合に含まれる。
よって、E1∪E2∪E3∪…の測度は0である。
というような方針ではどうでしょうか?
良く2つの場合はε/2を使ったり、3つの場合はε/3を使ったりしますね。
これと同じ要領でε/anでΣanが収束するようなものを考えました。

Q上極限、下極限が理解できません

大学で習っているのですが、limsupやliminfなどが定義を見ても、どういう意味なのか理解できません。

上界、下界、上限、下限については例があったので、なんとか理解することができました。


X={1,2,3}⊆Zのとき、下界の1つとして0がとれる。

こんな感じで、簡単な例つきで説明して下さると、理解できると思うのですが・・・。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

上極限

sin(n)で考えましょう。nは自然数です。
sin(n)は振動しているので極限はないけど、
「nが大きい時(というか初めからだけど)1を超えることはない」
「1付近の値を何回も(無限回)とる」
から1が上極限です。
ことばでいえば、
「ずっと先のほうでは、上極限の値より大きくならない」
(極限の意味でです。∀ε>0に対し上極限+εより大きくならないってことです)



この例では下極限はー1ですね。

(sin(n)-1)*n の場合だと、
上極限は0で、下極限は「なし」(-∞)となりますね。

Q環の準同型写像について

R,R'を環とします.
写像Φ:R→R'が任意のRの元x,yに対して

Φ(x+y)=Φ(x)Φ(y)
Φ(xy)=Φ(x)Φ(y)

を満たすとき,Φを環における準同型写像といいますが,具体的にはどのような写像が考えられるのでしょうか?
出来ればΦが全単射になるもの,すなわちRとR'が環として同型となるようなものを教えていただけると助かります.

これが分からないために上手い例を考えられず困っています.

詳しい方よろしくお願いします.

Aベストアンサー

具体例です。

2つの環R,R'を
R={0,1,2,3,4,5}で,mod 6 の加法,乗法とし,
R'={0,1,2}で,mod 3 の加法,乗法とする。

f:R→R'

0→0
3→0
1→1
4→1
2→2
5→2
とする。fは準同型写像。

R の類 A={0,3},B={1,4},C={2,5}で,E={A,B,C}とする。

φ:E→R'
A→0
B→1
C→2

このように定めると,φはEからR'への同型写像となります。

Q理学部数学科向け確率・確率過程の教科書

確率・確率過程論の教科書・参考書でおすすめな本を教えてください
授業では参考書とかは一切推薦されんばかったので
いろいろ図書館で見たのですがいまいちこれといったのがありません
一応授業でやったものとして次のようなことをやりましたので
これらの言葉が最低でも載っているようなのがいいのですが
ぜひおねがいします

・測度論を予備知識として定義された確率空間
以下この確率空間において
・条件付平均
・マルチンゲール
・ブラウン運動(Weiner過程)

特にマルチンゲールについて書かれたものが少ないのですが
誰かいい参考書を教えてください

ただ伊藤清さんの確率論以外でおねがいしますね
これ読んだけどあまりいい教科書ではありませんでしたから(笑)

Aベストアンサー

こんにちは。私は測度論に関連する勉強をしているものです。
たしかに測度論は確率論の基礎であるにも関わらず、測度論の立場からきちんと書かれた確率論の教科書ってあまり見ないですね。で、私のお勧めは…

>ただ伊藤清さんの確率論以外でおねがいしますね
と書かれているのにやっぱり伊藤本をお勧めしてしまうのは申し訳ないですが…

>これ読んだけどあまりいい教科書ではありませんでしたから(笑)
hismixさんが読まれたのは有名な1953年版の「確率論」(岩波)だと思います。(あるいはその復刻版)
この本は、字体は古い、記述スタイルは古い、等々で、たしかに良くないと思います。ォィォィ(^^;

私がお勧めするのはもう一つの伊藤本である
「確率論」伊藤清 著(岩波基礎数学選書)(1991)ISBN 4-00-007816-X ¥3200
のほうです。著者も題名も出版社も同じで紛らわしいですが、こちらの方はもちろん現代的に書かれていて比較的読みやすいと思います。
もちろん内容も1953年版とは異なります。1章では無限試行に進む準備として有限試行について考察し(この章は測度論を必要としません)2章、3章で確率論の基礎概念を測度論の言葉で厳密に定義し、各種の性質を測度論的に考察します。ブラウン運動や確率過程の話が出てくるのは5章です。マルチンゲールやブラウン運動も5章で論じられています。
確率論を実用的に学びたい人、具体的な計算方法をてっとり早く知りたい人にとってはうんざりするような内容ですが、(^^;
数学科の方なら興味深く読めると思います。1953年版よりずっと読みやすいことは確かです。

あと副読本として
「測度から確率へ--はじめての確率論」佐藤 坦著(共立出版1994)ISBN4-320-01473-1 ¥2900
もお勧めします。題名通り入門書なので、上の伊藤本でいえばせいぜい2章に相当する基本的な部分までしか書かれていません。確率過程についてはまったく触れられていません。
しかしこの本は入門書には珍しく最初からきちんと測度論の立場で議論を進めています。測度論を学んだ人にとっては普通の(組合せ論的立場から話を進める、あるいは実用重視で数学的にあいまいな)入門書よりわかりやすいと思います。力があれば高校生にも読めそうな内容ですが、数学的にはきちんとしているので、伊藤本の1章2章あたりと並読することをお勧めします。

こんにちは。私は測度論に関連する勉強をしているものです。
たしかに測度論は確率論の基礎であるにも関わらず、測度論の立場からきちんと書かれた確率論の教科書ってあまり見ないですね。で、私のお勧めは…

>ただ伊藤清さんの確率論以外でおねがいしますね
と書かれているのにやっぱり伊藤本をお勧めしてしまうのは申し訳ないですが…

>これ読んだけどあまりいい教科書ではありませんでしたから(笑)
hismixさんが読まれたのは有名な1953年版の「確率論」(岩波)だと思います。(あるいはその復刻版...続きを読む

Q集積点が、まったく分かりません!!

集積点の意味がまったくわかりません。詳しく教えてください。

Aベストアンサー

MANIFESTさんがどのくらいの予備知識をお持ちなのかわからないので
答えにくいのですが、
集積点について質問されると言うことは少なくとも位相空間についての基本的な
用語くらいはご存知だと仮定して説明します。
距離空間はご存知でしょうね。

Xをある位相空間、AをXのある部分集合とします。
x∈XがAの集積点であるとは
xの任意の近傍とAの共通部分にx以外のAの点が少なくとも1つは含まれる
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「任意のεに対してxからの距離がε以下であるようなx以外のAの要素が存在するような点」
と言い替えられます。

直観的な言い方をすれば、x∈XがAの集積点であるとは
「xのどんな近くにも(x以外の)Aの点がある」
と言う条件をみたすような点のことです。

ついでに集積点との対比で孤立点も覚えてしまいましょう。
集積点とはある意味で対照的なものが孤立点です。
すなわちx∈XがAの孤立点であるとは
xがAの要素であり  …(S1)
かつxのある近傍とAの共通部分にx以外のAの点が含まれない。…(S2)
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「あるεに対してxからの距離がε以下であるようなAの要素はxだけであるような点」
となります。

注意していただきたいのはx∈AであることはxがAの集積点であるためには
必要でも十分でもないということです。
xがAの点であってもそれが孤立点ならxは集積点ではないし、Aの点でないような
Aの集積点も存在します。
しかし孤立点と言う概念は集合Aの要素に対して与えられる概念ですから、Aに
属さない点が(S2)の条件だけ満たしてもそれをAの孤立点とは呼びません。

あとは距離空間(ユークリッド空間)での簡単な例を挙げておきますのでイメージをつかんで下さい

例(1)Xを2次元ユークリッド空間として
A={(x,y)∈X| x^2 + y^2 < 1} ∪ (2.0)
とします。つまりAは原点中心半径1の開円盤と点(2,0)の和集合です。
するとAの集積点(の集合)は
{(x,y)∈X| x^2 + y^2 ≦ 1}
すなわち原点中心半径1の開円盤とその境界となります。
点(2,0)は孤立点なので集積点ではありません。

例(2)Xを2次元ユークリッド空間として
A={(x,y)∈X| y = sin(1/x) ,x∈(0,∞) }
とします。Aの集積点(の集合)はA自身と集合
B={(0,y)∈X| y∈[-1,1] }
の和集合です。

例(3)Xを1次元ユークリッド空間として
A= { 1/n | n=1,2,…}
とします。原点{0}はAの集積点です。しかしA自身の点はすべて孤立点です。

例(4)Xを1次元ユークリッド空間として
Aは開区間(0,1)の有理点。すなわち
A= { x∈(0,1)|xは有理数 }
とします。Aの集積点(の集合)は閉区間[0,1]です。

MANIFESTさんがどのくらいの予備知識をお持ちなのかわからないので
答えにくいのですが、
集積点について質問されると言うことは少なくとも位相空間についての基本的な
用語くらいはご存知だと仮定して説明します。
距離空間はご存知でしょうね。

Xをある位相空間、AをXのある部分集合とします。
x∈XがAの集積点であるとは
xの任意の近傍とAの共通部分にx以外のAの点が少なくとも1つは含まれる
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「任意のεに対してxからの距離がε以下であるよう...続きを読む

Qジョルダン標準形ってなんのため?

線形代数の本を読んでいると、後ろのほうにジョルダン標準形がでてきます。
書いてあることをなぞることはなんとかできるのですが、固有値の次にいきなり前触れもなく現れるので、これが
・どういう(歴史的)要請・経由で
・何のために
現れたのかがわかりません。

ジョルダン標準形の本質は何でしょうか?

Aベストアンサー

ジョルダンは線形代数の最終関門でこの証明を一度は理解していたほうがいいでしょう
証明は灯台出版から単行本が出ていて何種類か乗っています
私は単因子(あるいは行列子因子)による方法を一度は理解しましたが忘れました
でも必要があれば読み返せばすぐに思い出せるようにはなっています
定理は簡単なのですが重要です
制御理論で使います
ジョルダンの標準形は正則行列で対角化できない行列を準対角行列に分解するものです
x(t)を要素がtの関数の列ベクトルとし
Aを要素が定数の正方行列とし
v(t)を要素がtの関数の列ベクトルとし
x’(t)=A・x(t)+v(t)としたときに
正則行列PによってP^(-1)・A・Pが対角行列になるならば
x(t)を簡単に求めることができます
しかし正則行列PによってP^(-1)・A・Pが対角行列にならなくても
正則行列PによってP^(-1)・A・Pがジョルダンの標準形になれば
少し複雑になりますが簡単にx(t)を求めることができます
本質が何打という質問は何回で答えることができる人はいないのでは?

ジョルダンは線形代数の最終関門でこの証明を一度は理解していたほうがいいでしょう
証明は灯台出版から単行本が出ていて何種類か乗っています
私は単因子(あるいは行列子因子)による方法を一度は理解しましたが忘れました
でも必要があれば読み返せばすぐに思い出せるようにはなっています
定理は簡単なのですが重要です
制御理論で使います
ジョルダンの標準形は正則行列で対角化できない行列を準対角行列に分解するものです
x(t)を要素がtの関数の列ベクトルとし
Aを要素が定数の正方行列とし
...続きを読む


人気Q&Aランキング