言葉の定義で言うと1未満とは1を含まない1より小さい数であり、1以下とは1を含む1より小さい数であると理解しています。
しかし、1未満を1以外の1より小さい値を全て含むと考えると0.999....がその最大値となります。その値を3で割れば0.333....となり、これは1/3です。
再び3をかければ1になるので1未満と1以下の最大値は同値になるため1未満=1以下が言えるのではないでしょうか。
これを是とすればx<=1とx<1は同意であると考られると思うのですが、皆さんはどう思われますか。数学上の定説があればそれもご教授いただければ幸いです。

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A 回答 (14件中11~14件)

よく聞きますよね、その話。


中学の頃数学の先生も同じことを言っていました。
近似値か何かの時に出てきたかなぁ。
でもごめんなさい、結論は0.333333...×3=1だとだけ覚えていて、あと忘れてしまいました。
奥が深い話ですよね。ごめんなさい。後の方に回答はお願いします。
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> 0.333....となり、これは1/3です。



これが間違ってます。「limit」の考え方を学ぶとわかると思うのですが・・・。
すでに回答が寄せられているので、具体的に考えると以下のようになります。


「1未満」の最大値は、「1-x」です。
* x は0ではないけど、限りなく0に近い値です。

これを 3 でわると、次のようになります。
「1/3-x/3」

x は 0 ではないので「1/3-x/3」はどうやっても 1/3より小さい値になります。

これに再び 3 をかけると、次のようになります。
「1-x」

もとにもどりましたね。これは 1 ではありません。
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100Goldさんの書かれたことに論理矛盾があります。



「1未満」の最大値0.9999…を3で割った0.3333…は3をかけても1にならない数字なのです(「1になる」とおっしゃいますが、それは、100Goldさんが小数点以下の最小位を無意識に四捨五入してしまったからでしょう)。ですから、1未満と1以下は違います。
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私は文系の人間なんですが、面白い質問なので考えてみました。


1とは自然数ですが、1/3というのは分数で自然数ではありません。

ここで言う分数とは言わば記号のようなものであり、その実態はあくまで0.999…なのです。それを3で割ってそれに3をかけてもあくまで0.999…です。
分数は0.333…という状態を便宜的に表すために(言葉の表現が正しくないかも知れませんが)1/3という記号を使用している、と考えればよいのではないでしょうか。

分数と自然数を混同するとこのような(いい意味で)面白い錯覚に陥るのではないでしょうか。
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Q数学 文字を含む最小値の最大値

f(x)=x^2-2(a-1)x+a-1の最小値をg(a)とする。このとき、g(a)の最大値とそのときのaの値を求めよ。
という問題の解法を教えてください。

Aベストアンサー

f(x)=x^2-2(a-1)x+a-1
=(x-(a-1))^2 +(a-1)-(a-1)^2
=(x-(a-1))^2 -(a-1)(a-2)

x=a-1のとき最小となり最小値g(a)=-(a-1)(a-2)

g(a)=-(a-1)(a-2)=-(a^2-3a+2)=-(a-(3/2))^2+(3/2)^2-2
g(a)はa=3/2のとき最大となり、最大値g(3/2)=(3/2)^2-2=1/4
従って g(a)の最大値g(3/2)=1/4。その時の値はa=3/2。

Qk= 1/a + 1/b + 1/c + 1/d <1 の最大値

a,b,c,d(a≦b≦c≦d)は自然数で,
k= 1/a + 1/b + 1/c + 1/d <1
を満たしている.
k の最大値と,そのときの a,b,c,d の値を求めたいのですが、、、。

a=2。としてよいでしょうか?

4変数の問題をn変数に変えても、a,b,c,dの値は常に等しいでしょうか?

Aベストアンサー

この問題、面白いなと思ってもう少し考えてみたのですが、
k=1/a(1)+1/a(2)+…+1/a(n)
としてkが最大になるように数列a(n)を決めていくと、
a(1)=2,a(2)=3,a(3)=7,a(4)=43,a(5)=1807,a(6)=3263443,…
となって、
a(n)=a(1)a(2)…a(n-1)+1
という漸化式を満たすようです。
積の形になっているので、a(n)は爆発的に増えていきます。

a(2)を決めるときは1/2に加えるkが1を超えない最大のものということ
で、1/3。よって、a(2)=3。これは漸化式を満たす。
そして、1/2+1/3=5/6
a(3)を決めるときは5/6に加えるkが1を超えない最大のものということ
で、1/7。よって、a(3)=7。これは漸化式を満たす。7=2×3+1。
そして、1/2+1/3+1/7=41/42
このように、ある項までの1/a(1)+1/a(2)+…+1/a(k)は、
{a(1)a(2)…a(k)-1}/a(1)a(2)…a(k)の形になっている。
そして、次に足すのは1/{a(1)a(2)…a(k)+1}である。
よって、a(k+1)=a(1)a(2)…a(k)+1

このようなメカニズムになっているようです。

この問題、面白いなと思ってもう少し考えてみたのですが、
k=1/a(1)+1/a(2)+…+1/a(n)
としてkが最大になるように数列a(n)を決めていくと、
a(1)=2,a(2)=3,a(3)=7,a(4)=43,a(5)=1807,a(6)=3263443,…
となって、
a(n)=a(1)a(2)…a(n-1)+1
という漸化式を満たすようです。
積の形になっているので、a(n)は爆発的に増えていきます。

a(2)を決めるときは1/2に加えるkが1を超えない最大のものということ
で、1/3。よって、a(2)=3。これは漸化式を満たす。
そして、1/2+1/3=5/6
a(3)を決めるときは5/6に加え...続きを読む

Q高校数学A 三角形の最大角の最小値と最小角の最大値の求め方を教えて下さい!

三角形の最大角の最小値と最小角の最大値の求め方を教えて下さい!
自分の考えた結果は次の通りです。
三角形の角をa,b,cとおく。ただし0<C≦b≦a<πとする。
このとき、π=a+b+c≦3a π/3≦a よってmina=π/3
π=a+b+c≧3c π/3≧c よってmaxc=π/3
ご回答宜しくお願いします!<(_ _)>

Aベストアンサー

最大角の最小値、最小角の最大値、それぞれ質問者さんの回答であっていると思います。
正3角形であれば、条件をみたすので、解の存在もOKですね。

Q1+1/2+1/4+1/8+...+1/2^(n-1)...

1+1/2+1/4+1/8+...+1/2^(n-1)...

は、n→∞のとき2に収束するでしょうか。

また、2に収束するならば、その証明もわかりやすくご教授お願いします。

Aベストアンサー

答えを書かないのは意地悪ではないからね^^;

宿題だったり、自分で考えて勉強することが大事だから ヾ(@⌒ー⌒@)ノ

単純に 2 には収束しないと思うけれど。

No.1さんと同じです。

等比数列の和を 教科書で捜してください。

公比はいくつでしょう? 初項はいくつですか?

さすがにこれ以上はかけないです。もう答えになってしまいます。

そうすると、あなたがやられていることは、数学の問題を解くことではなく、

カンニングになってしまいます><

だから僕らもかけないんですよ>< ご理解ください。

絶対に載っていますから! 必ず解けるから。

自信もってね。 がんばってください! m(_ _)m

Q1以下と1未満の違い(証明編)

1以下と1未満を1<xと1<=xに置き換えて考えます。
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その場合、値1は直線上の一点xであると考えられます。
点xは直線上において領域を占めません(ユークリッドの定義から)。
ゆえに1<xと1<=xは直線上における同一の領域を示しているといえる。

この証明は誤っているのでしょうか。皆さんのご意見をお聞かせください。

Aベストアンサー

No.11に100Goldさんが付けたコメントは、全部の回答者に向けたものと承知の上で。

> 別に1/3を引き合いに出すまでもなく以下のようにも0.99..=1が証明できます。
> x=0.99.. 10x=9.99..
> 10x-x=9x=9

だからx=1。これを証明だとお認めになるのなら話はおしまいで、

> 0.99..は境界ですか。それとも0=<x<1という領域に含まれるのでしょうか。

の答はもちろん、
「0.99..=1なのだから、x=0.99..は0=<x<1を満たさない。つまり0.99..は0=<x<1という「領域」には含まれていない。」
となります。

逆に「0.99..は1と違う」という立場をあくまで貫くのなら、
「x=0.99..は9.0...x=9.0.... という方程式の解だ。」
と主張なさらなくてはいけません。
「でも両辺を9で割って、x=9/9=1となるじゃないか。」
なんて言われたって、
「いや、それは有理数ではそうだけれど、ここでやっているのは実数の話だ。x=9/9とx=9.0...÷9.0...は全く別のことを述べているのだ。」
と突っぱねなくちゃ駄目です。No.7でstarfloraさんが仰っているように、普通の数学では整数を有理数の一部として、また有理数を実数の一部として埋め込むということをやっているけれど、この埋め込みを認めたら「0.99...は1ではない」とは主張できなくなってしまいますから、断然認めちゃいけない。
 つまり、有理数における割り算/とは全く別物の割り算÷を考える(当然掛け算も別のものを考える)のでなくては、この立場は貫けない。計算や大小関係の規則を一から作り直す必要がある。そうやって作った「100Gold実数」の体系は、「普通」の数学の実数とは違う性質を持つことが可能になる。でも、有理数と実数を切り離してしまったんですから、「普通」の数学と違って
1/2 = 0.5
と言う訳にはいかない。
 そこで、例えば
1.0....÷2.0.... = 0.50....
なら認める。(÷は「100Gold実数」専用の割り算のことです。)この手で、1.0....=0.99....を認めて、しかし1と1.0....は別物と主張するのは容易です。実数1.0....は有理数1とは無関係だと。
 でもそれじゃ安易過ぎて詰まらないので、実数1.0....は有理数1とは無関係であり、しかも「1.0...と0.99....は別物!」と言える体系をやっぱり構築したい。その体系に於いてはa÷a は少なくとも1.0.....、0.99....という二つの答を持つのでなくてはならない。1.0....÷2.0.... は5.0.....と0.499...という二つの答を持つ。またa - b = 0.0.....からa=bを結論する事は許されない。そんな体系を矛盾なく構築するというアクロバットをやってのけられたら、面白いですね。

No.11に100Goldさんが付けたコメントは、全部の回答者に向けたものと承知の上で。

> 別に1/3を引き合いに出すまでもなく以下のようにも0.99..=1が証明できます。
> x=0.99.. 10x=9.99..
> 10x-x=9x=9

だからx=1。これを証明だとお認めになるのなら話はおしまいで、

> 0.99..は境界ですか。それとも0=<x<1という領域に含まれるのでしょうか。

の答はもちろん、
「0.99..=1なのだから、x=0.99..は0=<x<1を満たさない。つまり0.99..は0=<x<1という「領域」には含まれていない。」
となります。

...続きを読む


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