1未満と1以下の違い

言葉の定義で言うと1未満とは1を含まない1より小さい数であり、1以下とは1を含む1より小さい数であると理解しています。
しかし、1未満を1以外の1より小さい値を全て含むと考えると0.999....がその最大値となります。その値を3で割れば0.333....となり、これは1/3です。
再び3をかければ1になるので1未満と1以下の最大値は同値になるため1未満=1以下が言えるのではないでしょうか。
これを是とすればx<=1とx<1は同意であると考られると思うのですが、皆さんはどう思われますか。数学上の定説があればそれもご教授いただければ幸いです。

No.4 回答者： machie 回答日時： 2002/01/14 00:41

よく聞きますよね、その話。

中学の頃数学の先生も同じことを言っていました。
近似値か何かの時に出てきたかなぁ。
でもごめんなさい、結論は0.333333...×３＝１だとだけ覚えていて、あと忘れてしまいました。
奥が深い話ですよね。ごめんなさい。後の方に回答はお願いします。

No.3 回答者： annie_x 回答日時： 2002/01/14 00:40

> 0.333....となり、これは1/3です。

これが間違ってます。「limit」の考え方を学ぶとわかると思うのですが・・・。
すでに回答が寄せられているので、具体的に考えると以下のようになります。


「1未満」の最大値は、「1-x」です。
* x は0ではないけど、限りなく0に近い値です。

これを 3 でわると、次のようになります。
「1/3-x/3」

x は 0 ではないので「1/3-x/3」はどうやっても 1/3より小さい値になります。

これに再び 3 をかけると、次のようになります。
「1-x」

もとにもどりましたね。これは 1 ではありません。

No.2 回答者： on-drug 回答日時： 2002/01/14 00:32

100Goldさんの書かれたことに論理矛盾があります。

「１未満」の最大値0.9999…を３で割った0.3333…は３をかけても１にならない数字なのです（「１になる」とおっしゃいますが、それは、100Goldさんが小数点以下の最小位を無意識に四捨五入してしまったからでしょう）。ですから、１未満と１以下は違います。

No.1 回答者： doyanen 回答日時： 2002/01/14 00:26

私は文系の人間なんですが、面白い質問なので考えてみました。

1とは自然数ですが、１／３というのは分数で自然数ではありません。

ここで言う分数とは言わば記号のようなものであり、その実態はあくまで0.999…なのです。それを3で割ってそれに3をかけてもあくまで0.999…です。
分数は0.333…という状態を便宜的に表すために（言葉の表現が正しくないかも知れませんが）１／３という記号を使用している、と考えればよいのではないでしょうか。

分数と自然数を混同するとこのような（いい意味で）面白い錯覚に陥るのではないでしょうか。