言葉の定義で言うと1未満とは1を含まない1より小さい数であり、1以下とは1を含む1より小さい数であると理解しています。
しかし、1未満を1以外の1より小さい値を全て含むと考えると0.999....がその最大値となります。その値を3で割れば0.333....となり、これは1/3です。
再び3をかければ1になるので1未満と1以下の最大値は同値になるため1未満=1以下が言えるのではないでしょうか。
これを是とすればx<=1とx<1は同意であると考られると思うのですが、皆さんはどう思われますか。数学上の定説があればそれもご教授いただければ幸いです。

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A 回答 (14件中1~10件)

1未満の実数には最大値は存在しません。



a<bなる2つの実数があるとき、a<x<bなる
実数xが無限に存在します。 (a+b)/2 が実数である
ことから明らかでしょう。この事実を実数の稠密性と
いいますが、これから1未満の実数に最大値が存在
できないことは明らかと思います。

つまり、 0.999… = 1 ということです。
ですから未満と以下は同じ意味ではありません。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
この最大値が存在しないってところがポイントだとは思うんですけどね。
量で考えると1リットルと1リットルにもっとも近い最後の1という値を含まない量って同じになっちゃうような気がするんですよ。
x=1の部分の量は無限に小さい0.0000...1リットルのはずで、これは0じゃないかってね。
無限というのは本当に厄介ですね。

お礼日時:2002/01/14 15:31

>0.9999・・・・は1ですよ



その通りです。
「0.9999....=1」は正しい「式」です。

>数でないというのは悪い数学ですね

しかし、0.99999.....というのは、どうして私には「数」には
見えません。「.....」という「無限の操作」が入っているからです。
「表現論」の問題ですが。10進法の。
で、むしろ私には、「0.9999....」というのは、便宜上の表記であって、
厳密に表現しようとすると、
0.9999.....=(Σ(n=1 to ∞)(9×(0.1)^n))
という「式(演算)」になると思います。これは、どうしても私には「数」には
見えないのです。

例えば、
1+2=3
と書かれていて、これは正しい式で、
「1」、「2」、「3」は「数」に見えますが、
「1+2」は、「式(演算)」に見えても「数」には見えません。
全く表現論の問題なのですが。。。

これと同様に、「0.99999.....」というのは、私には「数」には
見えません。それと同値な「数」として「1」が存在するように
思えます。

>そうゆう数学は誰も支持しません

そうかもしれませんね(笑)。

>単なる道楽です

私は道楽でここに書きこんでいますから(笑)。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
1以下と1未満に違いがあるとすれば、1という値の部分だけですが、1という部分って本当にあるんでしょうか。
無理数を認めると1リットルと1未満の最大のリットルは同じ値になると思いませんか?
遠足でおやつは300円未満といわれたら299円までということになるとは思うんですけどね。お金って最小単位が決まってていいですね。

お礼日時:2002/01/14 15:09

回答者No.2のon-drugさんも言っておられますが、明らかに矛盾した理論ですね、これは。



>言葉の定義で言うと1未満とは1を含まない1より小さい数であり、1以下とは1を含む1より小さい数であると理解しています。
これは間違っていません。

>しかし、1未満を1以外の1より小さい値を全て含むと考えると0.999....がその最大値となります。
確かにそうなのですが、(でも、それが最大値と言えるかは疑問ですが・・・)

>その値を3で割れば0.333....となり、これは1/3です。
ここが間違っています。
確かに0.999....を3で割れば、0.333....となりますが、
0.333....=1/3
とはなりません。

1÷3=0.333....
となりますし、
0.999....÷3=0.333....
となります。

じゃあ、
1÷3=0.999....÷3
となるか?と考えれば、なりませんね。
これでは、
1=0.999....
となってしまします。
これはあきらかに間違っています。

厳密に言うと、
1÷3=0.333....
で書き表した0.333....と
0.999....÷3=0.333....
で書き表した0.333....は、同じ数字では無いと言うことです。
確かに書き表している数字は同じ0.333....です。
しかしこれは、割り切れないので便宜上0.333....書き表しているだけであって、同じ0.333....ではないのです。(見た目では同じように見えるのですが、どこまで行っても割り切れない数なのですから、同じ数であると判定することができないのです。)
100Goldさんは、ここでつまずいているようですね。

近似値として書くなら
0.333....≒1/3 
ですし、
0.999....≒1
です。

ですから、厳密に、正確に言って、
0.333....=1/3 
あるいは、
0.999....=1
となることはありません。
(ただ、小学校・中学校でおしえる初等数学では、近似値と言う概念をしっかり学習させていないので、0.333....=1/3と書く場合がありますがね。)
言っておきますが、割り切れない数(小数)を「分数に直す」という考え方をすること自体が間違っているのです。
分数で計算したものは、最後まで分数で計算する、小数で計算したものは、最後まで小数で計算する、という約束事のようなものが数学にはあるんですよ。そうしなければ、統一性がないでしょ。数学は、もっとも統一性を重んじる学問ですから、その統一性から離れた計算をすること自体間違っているのです。(まあ、小学校の算数では、分数を小数に直しなさいとか、小数を分数に直しなさい、なんて学習がありますが、こんなことやるのは小学校だけでしょうけどね。)

まあ、ご参考になさってみてください。
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0.9999・・・・は1ですよ


数でないというのは悪い数学ですね
そうゆう数学は誰も支持しません
単なる道楽です
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
私が数の定義をしっかりしていなかったところに問題があったようです。
失礼いたしました。

お礼日時:2002/01/14 14:57

0.999999......は「数」ではありません。

したがって、
1未満を1以上の1より小さい値を全て含むとかんがえても、
0.9999999....が、その「最大値」にはなりません。

9は有限個ならんだものは1未満ですから、そのような「数」は
存在しますが、1未満の最大値というのは存在しません。

これは、実数の連続性と深くかかわっています。
(もうこの辺の説明は、最近何度もやってつかれた。。。ぶつぶつ)
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この回答へのお礼

皆さんいろいろご回答ありがとうございます。皆さんの回答を総合すると1=0.999...ということには一定のコンセンサスがあるようですが、1以下=一未満ということには賛成できないと言うことのようですね。今度は別の視点から1以下=1未満の証明に関して考察してみましたので、そちらもご回答いただければ幸いです。

お礼日時:2002/01/14 02:51

0.999…は1未満ではありません。

1です。
実数をA、Bの組に分けたとしてAを1未満の組、Bをそれ以外の組に分けます。
すると0.999…はBの組に存在するのです。それを以下のように証明します。

Bには最小値「1」が存在しますね。その場合、Aには最大値が存在してはいけません。実数をそう定義したからです。ところが、0.999…がAに属すると仮定すると、100Goldさんがおっしゃられるように0.999…はAの最大値ですね。これは実数の定義に反します。よって0.999…はBに属します。よって、0.999… = 1です。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
ここら辺の実数の定義ってなんか不思議じゃないですか?
同じ値をもつ実数が無数に存在しているってことになりますよね。

お礼日時:2002/01/14 14:55

1 / 3 と書きましたが、1/3(三分の一)の間違いです。

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考え方としてわからなくもありませんが、


1 ÷ 3 = 0.333333......であって、
1 / 3 = 0.333333......とは思っていません。
表示しきれないものを表示するために切ってしまっているだけで、
0.333333...... × 3 = 0.999999......
になると思ってます。
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この論法だと、0.999... が 1 と等しいつまり



0.999... = 1

で 0.999.... = 1 が成り立てば1より小さな数は 0.999.... ではないこと
になり、1未満 = 1以下は成り立たないですよね。
0.999... = 1 が成り立つかどうかは過去の質問にあります。

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=168199
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この回答へのお礼

なるほど、同じような内容の質問が結構あるものですね。参考になりました。ありがとうございます。

お礼日時:2002/01/14 02:29

1 ÷ 3 × 3 =1(以下)



0.99~ ÷ 3 × 3 =0.99~(未満)

のように、未満はあくまで未満であって、1にはならないと思います。

でも、大抵の普通の電卓で 1÷3×3 をやると 0.999~になり
微妙な差がでてきます。

数値に表れない数学とでも言うのでしょうか?(^^;
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Q★以上・以下★

『30以下』って30も含みますか?
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未満の反対の言葉ってありますか?

すみません。ばかばかしい質問ですが、どなたかご回答ください

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「以下」「以上」はそれを含みます。
未満は含みません。
覚えやすいのは漢字の意味を考えたらいいですよ! (^-^)v
以上の以は「もって」という意味がありますよね。
だから「○○以下」は「○○を以て下」という意味。
「○○未満」は「未だ満たず」だから「○○に未だ満たず」で含まない。

Q「以降」ってその日も含めますか

10以上だったら10も含める。10未満だったら10は含めない。では10以降は10を含めるのでしょうか?含めないのでしょうか?例えば10日以降にお越しくださいという文があるとします。これは10日も含めるのか、もしくは11日目からのどちらをさしているんでしょうか?自分は10日も含めると思い、今までずっとそのような意味で使ってきましたが実際はどうなんでしょうか?辞書を引いてものってないので疑問に思ってしまいました。

Aベストアンサー

「以」がつけば、以上でも以降でもその時も含みます。

しかし!間違えている人もいるので、きちんと確認したほうがいいです。これって小学校の時に習い以後の教育で多々使われているんすが、小学校以後の勉強をちゃんとしていない人がそのまま勘違いしている場合があります。あ、今の「以後」も当然小学校の時のことも含まれています。

私もにた様な経験があります。美容師さんに「木曜以降でしたらいつでも」といわれたので、じゃあ木曜に。といったら「だから、木曜以降って!聞いてました?木曜は駄目なんですよぉ(怒)。と言われたことがあります。しつこく言いますが、念のため、確認したほうがいいですよ。

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Qエクセル STDEVとSTDEVPの違い

エクセルの統計関数で標準偏差を求める時、STDEVとSTDEVPがあります。両者の違いが良くわかりません。
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(例)
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また、平均値7と各数字の差を取り、それを2乗し、総和を取る(182)、これをデータの個数13で割る(14)、この平方根を取ると3.741657となります。
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Q~より小さいは、「~以下」「~以上」のどちらを示すのでしょう

法令を読んでいると、
~未満、~以下、~以上、~を超える
という記述と
~より小さい、~より大きい
という記述が有ります。
この「~より」というのは、
「~」そのものを含むのでしょうか、
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中学校の頃「~より小さい」は「~未満」→「x<~」と
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改めて確認しようとして国語辞典とWEBで探したのですが、
明確に区別した記述を探すことができませんでした。
できればエビデンスとともに教えて欲しいのですが。

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~より小さいは、
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つまり含まないという意味だと思います。
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Q以上~未満でその数を含む物とは

以上、以下、以内、未満でその数を含む物含まない物をそれぞれ教えて下さい。

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こんにちは。

10以上 100未満
    ↓
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「未満」は、それに満たない、という意味です。
100未満だと、100に満たない、すなわち、99 までの数となります。

10以上 100以下
    ↓
10 ~ 100 (10から100まで含む。)

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10日以内 → 今日を含めて10日目にあたる日まで

「以内」も「以上」「以下」と同様に考えられます。 
 

Qパーセントの計算がまったく出来ません…

本当にお恥ずかしいのですが、パーセントの計算方法を教えて下さい。

お店のバーゲンセールなどでよく「50%オフ」「45%オフ」といった表示を見ます。50%は半分ということは「感覚」でわかるので、定価が2000円ならその50%オフは1000円ですし、1500円なら750円と計算が出来ます。
ですが、たとえば75%オフだとか、44%オフだとか、80%オフだとか、そういう中途半端(?)な数の場合、さっぱりわからないのです。テレビなんかでバーゲンセールを取材している様子を見るとリポーターの女性なんかが「定価が○○円で、65%オフ!?ということは○○円ですね!?」などとパッと暗算で計算しているのを見るととても驚きます。

暗算とまではいかなくても計算機(ケータイにもその機能はありますし)があればいいので、どういう計算式でその%オフされた数字を出すのか教えて下さい。

また、今のバイト先で、商品の売り上げ目標というのを作るのですが、先輩たちのミーティングを見ていると「目標○○万円でしたが、××円しか売り上げがなく、△△%の達成率となってしまいました」と報告をしているのですが、この場合もどのような計算式で計算しているのでしょうか?

消費税を出す場合につきましても教えて頂きたいのですが、今現在の税率は5%で、その計算をする場合は「定価×1.05」で出ますよね。なぜ、1.05をかけるのかわからないのです。

本当にお恥ずかしいのですが、どうか教えてください。まったくわからないので、出来る限り丁寧で細かい説明をして頂けると本当に助かります。よろしくお願いいたします。

本当にお恥ずかしいのですが、パーセントの計算方法を教えて下さい。

お店のバーゲンセールなどでよく「50%オフ」「45%オフ」といった表示を見ます。50%は半分ということは「感覚」でわかるので、定価が2000円ならその50%オフは1000円ですし、1500円なら750円と計算が出来ます。
ですが、たとえば75%オフだとか、44%オフだとか、80%オフだとか、そういう中途半端(?)な数の場合、さっぱりわからないのです。テレビなんかでバーゲンセールを取材している様子を見るとリポーターの女性なんかが「定価が○○...続きを読む

Aベストアンサー

丁寧で細かい説明が希望とのことなので、ちょっと長くなりますが書いてみます。
数学的には無駄の多い説明ですが、分かりやすく説明したつもりですので読んでみてください。

1000円の50%は500円、30%は300円であることは分かりますね?
これは以下計算をしていることになります。
 1000×(50÷100)=500
 1000×(30÷100)=300
●%ってのは●÷100のことです。
で、▲円の●%を求める場合、▲×(●÷100)で計算します。

次、1000円の30%オフって場合ですが、「オフ」=値引きです。
つまり、1000円の30%分を値引きします、ということですよね。
だから、元の値段1000円から1000円の30%分である300円を引いた
残りである700円が答えです。
でもそれを計算するのは面倒なので、ちょっとテクニックがあります。
30%オフということは、元の値段の70%分を求めればよいと考えます。
つまり、1000円の70%なので700円、となります。
ここまではいいですか?

次、達成率の計算ですが、、
目標100万円に対して売り上げも100万円だったら達成率は100%なのは
感覚的に分かりますよね?
つまり、達成率=(実際の値÷目標値)です。
%で表現する場合はこれに100を掛けます。(●%=●÷100だから)
たとえば目標50万円で売り上げ35万であれば35÷50×100なので70%になります。

最後、消費税。前述のオフとは逆で、消費税5%分を上乗せする、と考えます。
つまり、税抜き●円であれば、●円と●円の5%を足した金額が税込み金額です。
式にすると●+(●×5÷100)です。
これが基本ですが、先程のオフの計算のテクニックと同じ考え方が適用できます。
5%上乗せした額ってことは、元の値段の105%分を求めればよいと考えます。
ですから●×(105÷100)です。
ここで出てくる(105÷100)は1.05ですよね。
つまり、元の値段●に1.05を掛ければよいのです。

おまけ。暗算を早くするためのテクニック初級編として3つだけ書いておきます。
1.計算式に掛け算と割り算しかない場合、もしくは足し算と引き算しかない場合、
  順番を無視しても答えは一緒です。
  上の例でいくと35÷50×100は35×100÷50でも答えは一緒です。
  で、100÷50を先に計算して、それに35を掛けます。
  これならすぐに暗算できますね。

2.割り算の場合、前後の数字に同じ値を掛け算しても答えは一緒です。
  たとえば35÷50であれば、前後に2を掛けて(35×2)÷(50×2)でも
  答えは一緒です。
  35÷50の暗算は一瞬悩むけど、70÷100なら簡単ですよね。

3.掛け算の場合、前後の数字を分解して細かく掛け算しても答えは一緒です。
  たとえば25×32を計算する場合、32は4×8なので25×4×8を計算しても
  答えは一緒です。
  25×4は100、100×8で800ということで25×32=800です。
  これなら暗算できそうですよね。

丁寧で細かい説明が希望とのことなので、ちょっと長くなりますが書いてみます。
数学的には無駄の多い説明ですが、分かりやすく説明したつもりですので読んでみてください。

1000円の50%は500円、30%は300円であることは分かりますね?
これは以下計算をしていることになります。
 1000×(50÷100)=500
 1000×(30÷100)=300
●%ってのは●÷100のことです。
で、▲円の●%を求める場合、▲×(●÷100)で計算します。

次、1000円の30%オフって場...続きを読む

Qパーセンテージの出し方

パーセンテージの出し方をおしえてください

Aベストアンサー

主人公÷母体×100

Q√(ルート)の解き方  (急いでます。)

明日、学校で√のテストがあります。
私は登校拒否だったので√の解き方が全く分かりません。
教えてくれる友人も教科書もないので、インターネットで調べて見ましたが、分かりませんでした。
(○は数字です。)
√○=という基本の問題もあるし、√の分数などもあります。
√というのがさっぱりわからないので教えてください。

Aベストアンサー

整数の√の例題と分数の√の例題を作ってみました。
簡単化の仕方を説明つきで書いておきます。

▶ 整数の√

√108
108=2x2x3x3x3→√108=2x3√3=6√3

√88
88=2x2x2x11→√88=2√(2x11)=2√22

のようにルートの中を素因数分解して、同じ因数が2つ物を1つにして√の前に出し、ルートの前同士、ルートの中同士かけて答えとします。

√9216
9216=2x2x2x2x2 x 2x2x2x2x2 x 3x3
√9216=2x2x2x2x2 x3
  =32x3=96

▶ 分数の√

√(108/88)
先ず分数の分子、分母それぞれを因数分解する
108=2x2x3x3x3
88=2x2x2x11
つぎに分子と分母の約分をする
108/88=3x3x3 / 2x11
次に
分子分母に分母が二乗になるような因数を書ける
108/88=3x3x3 / 2x11=2x3x3x3x11 / 2x2x11x11

同じ因数が2つある場合は√の前に因数を括りだす。
√(108/88)=3 √(2x3x11) /(2x11)
     =3(√66)/22

√(6/5)
6/5=2x3/5
=(2x3x5)/(5x5)
√(6/5)=(√30)/5

[要点]
分数のルートは
分母は整数、分子だけルートを含む形
に簡単化する。(分母の有理化とう言う)

整数の√の例題と分数の√の例題を作ってみました。
簡単化の仕方を説明つきで書いておきます。

▶ 整数の√

√108
108=2x2x3x3x3→√108=2x3√3=6√3

√88
88=2x2x2x11→√88=2√(2x11)=2√22

のようにルートの中を素因数分解して、同じ因数が2つ物を1つにして√の前に出し、ルートの前同士、ルートの中同士かけて答えとします。

√9216
9216=2x2x2x2x2 x 2x2x2x2x2 x 3x3
√9216=2x2x2x2x2 x3
  =32x3=96

▶ 分数の√

√(108/88)
先ず分数の分子、分母それぞれを因数分解する
108=2...続きを読む

Qエクセルで計算すると2.43E-19などと表示される。Eとは何ですか?

よろしくお願いします。
エクセルの回帰分析をすると有意水準で2.43E-19などと表示されますが
Eとは何でしょうか?

また、回帰分析の数字の意味が良く分からないのですが、
皆さんは独学されましたか?それとも講座などをうけたのでしょうか?

回帰分析でR2(決定係数)しかみていないのですが
どうすれば回帰分析が分かるようになるのでしょうか?
本を読んだのですがいまいち難しくて分かりません。
教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む

Q【以上】という言葉の意味

【以上】という言葉について、その数値を含むのか含まないのか、辞書を引いてもはっきりしない。含んでも含まなくても良いのでしょうか?

yahooの辞書ですが、
【以上・已上】
[名]1 数量・程度・優劣などの比較で、それより上の範囲であること。数量では、その基準をも含む。「七〇歳―の老人」「期待―の大活躍」「君―の実力がある」以下。

【以上】
以下  より上 から上 #千円以上 (千円を含む) 千円超 千円を超える (千円を含まない) 

【以上】
1(1)〔その数量・程度を含まずにその上〕more than; over; above 30分以上待つ wait for more than half an hour このトラックは4トン以上は積めない。

Aベストアンサー

以前、学校の先生が簡単な覚え方を教えてくださいました。
〔以上〕
これを以って(もって)上とする。
ということは、○○以上とは、○○を以って上とする…という意味ですね。
○○を含めて上…という意味です。
〔以下〕も、同様です。
逆に、
〔未満〕では…
これを未だ(いまだ)満たず。
ということは、○○未満とは、○○を未だ満たず…という意味です。
○○を含まず…です。
ですが、未満には熟語としての反対語がありません。
未満の反対は〔超〕になります。
○○を超える…とは、○○を含みません。
日本語における意味では、この辞書の通りですが、英文の訳し方については細かく分かりません。
そのまま、日本語を日本語で理解するのであれば、この通りです。


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