言葉の定義で言うと1未満とは1を含まない1より小さい数であり、1以下とは1を含む1より小さい数であると理解しています。
しかし、1未満を1以外の1より小さい値を全て含むと考えると0.999....がその最大値となります。その値を3で割れば0.333....となり、これは1/3です。
再び3をかければ1になるので1未満と1以下の最大値は同値になるため1未満=1以下が言えるのではないでしょうか。
これを是とすればx<=1とx<1は同意であると考られると思うのですが、皆さんはどう思われますか。数学上の定説があればそれもご教授いただければ幸いです。

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A 回答 (14件中1~10件)

1未満の実数には最大値は存在しません。



a<bなる2つの実数があるとき、a<x<bなる
実数xが無限に存在します。 (a+b)/2 が実数である
ことから明らかでしょう。この事実を実数の稠密性と
いいますが、これから1未満の実数に最大値が存在
できないことは明らかと思います。

つまり、 0.999… = 1 ということです。
ですから未満と以下は同じ意味ではありません。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
この最大値が存在しないってところがポイントだとは思うんですけどね。
量で考えると1リットルと1リットルにもっとも近い最後の1という値を含まない量って同じになっちゃうような気がするんですよ。
x=1の部分の量は無限に小さい0.0000...1リットルのはずで、これは0じゃないかってね。
無限というのは本当に厄介ですね。

お礼日時:2002/01/14 15:31

>0.9999・・・・は1ですよ



その通りです。
「0.9999....=1」は正しい「式」です。

>数でないというのは悪い数学ですね

しかし、0.99999.....というのは、どうして私には「数」には
見えません。「.....」という「無限の操作」が入っているからです。
「表現論」の問題ですが。10進法の。
で、むしろ私には、「0.9999....」というのは、便宜上の表記であって、
厳密に表現しようとすると、
0.9999.....=(Σ(n=1 to ∞)(9×(0.1)^n))
という「式(演算)」になると思います。これは、どうしても私には「数」には
見えないのです。

例えば、
1+2=3
と書かれていて、これは正しい式で、
「1」、「2」、「3」は「数」に見えますが、
「1+2」は、「式(演算)」に見えても「数」には見えません。
全く表現論の問題なのですが。。。

これと同様に、「0.99999.....」というのは、私には「数」には
見えません。それと同値な「数」として「1」が存在するように
思えます。

>そうゆう数学は誰も支持しません

そうかもしれませんね(笑)。

>単なる道楽です

私は道楽でここに書きこんでいますから(笑)。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
1以下と1未満に違いがあるとすれば、1という値の部分だけですが、1という部分って本当にあるんでしょうか。
無理数を認めると1リットルと1未満の最大のリットルは同じ値になると思いませんか?
遠足でおやつは300円未満といわれたら299円までということになるとは思うんですけどね。お金って最小単位が決まってていいですね。

お礼日時:2002/01/14 15:09

回答者No.2のon-drugさんも言っておられますが、明らかに矛盾した理論ですね、これは。



>言葉の定義で言うと1未満とは1を含まない1より小さい数であり、1以下とは1を含む1より小さい数であると理解しています。
これは間違っていません。

>しかし、1未満を1以外の1より小さい値を全て含むと考えると0.999....がその最大値となります。
確かにそうなのですが、(でも、それが最大値と言えるかは疑問ですが・・・)

>その値を3で割れば0.333....となり、これは1/3です。
ここが間違っています。
確かに0.999....を3で割れば、0.333....となりますが、
0.333....=1/3
とはなりません。

1÷3=0.333....
となりますし、
0.999....÷3=0.333....
となります。

じゃあ、
1÷3=0.999....÷3
となるか?と考えれば、なりませんね。
これでは、
1=0.999....
となってしまします。
これはあきらかに間違っています。

厳密に言うと、
1÷3=0.333....
で書き表した0.333....と
0.999....÷3=0.333....
で書き表した0.333....は、同じ数字では無いと言うことです。
確かに書き表している数字は同じ0.333....です。
しかしこれは、割り切れないので便宜上0.333....書き表しているだけであって、同じ0.333....ではないのです。(見た目では同じように見えるのですが、どこまで行っても割り切れない数なのですから、同じ数であると判定することができないのです。)
100Goldさんは、ここでつまずいているようですね。

近似値として書くなら
0.333....≒1/3 
ですし、
0.999....≒1
です。

ですから、厳密に、正確に言って、
0.333....=1/3 
あるいは、
0.999....=1
となることはありません。
(ただ、小学校・中学校でおしえる初等数学では、近似値と言う概念をしっかり学習させていないので、0.333....=1/3と書く場合がありますがね。)
言っておきますが、割り切れない数(小数)を「分数に直す」という考え方をすること自体が間違っているのです。
分数で計算したものは、最後まで分数で計算する、小数で計算したものは、最後まで小数で計算する、という約束事のようなものが数学にはあるんですよ。そうしなければ、統一性がないでしょ。数学は、もっとも統一性を重んじる学問ですから、その統一性から離れた計算をすること自体間違っているのです。(まあ、小学校の算数では、分数を小数に直しなさいとか、小数を分数に直しなさい、なんて学習がありますが、こんなことやるのは小学校だけでしょうけどね。)

まあ、ご参考になさってみてください。
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0.9999・・・・は1ですよ


数でないというのは悪い数学ですね
そうゆう数学は誰も支持しません
単なる道楽です
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
私が数の定義をしっかりしていなかったところに問題があったようです。
失礼いたしました。

お礼日時:2002/01/14 14:57

0.999999......は「数」ではありません。

したがって、
1未満を1以上の1より小さい値を全て含むとかんがえても、
0.9999999....が、その「最大値」にはなりません。

9は有限個ならんだものは1未満ですから、そのような「数」は
存在しますが、1未満の最大値というのは存在しません。

これは、実数の連続性と深くかかわっています。
(もうこの辺の説明は、最近何度もやってつかれた。。。ぶつぶつ)
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この回答へのお礼

皆さんいろいろご回答ありがとうございます。皆さんの回答を総合すると1=0.999...ということには一定のコンセンサスがあるようですが、1以下=一未満ということには賛成できないと言うことのようですね。今度は別の視点から1以下=1未満の証明に関して考察してみましたので、そちらもご回答いただければ幸いです。

お礼日時:2002/01/14 02:51

0.999…は1未満ではありません。

1です。
実数をA、Bの組に分けたとしてAを1未満の組、Bをそれ以外の組に分けます。
すると0.999…はBの組に存在するのです。それを以下のように証明します。

Bには最小値「1」が存在しますね。その場合、Aには最大値が存在してはいけません。実数をそう定義したからです。ところが、0.999…がAに属すると仮定すると、100Goldさんがおっしゃられるように0.999…はAの最大値ですね。これは実数の定義に反します。よって0.999…はBに属します。よって、0.999… = 1です。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
ここら辺の実数の定義ってなんか不思議じゃないですか?
同じ値をもつ実数が無数に存在しているってことになりますよね。

お礼日時:2002/01/14 14:55

1 / 3 と書きましたが、1/3(三分の一)の間違いです。

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考え方としてわからなくもありませんが、


1 ÷ 3 = 0.333333......であって、
1 / 3 = 0.333333......とは思っていません。
表示しきれないものを表示するために切ってしまっているだけで、
0.333333...... × 3 = 0.999999......
になると思ってます。
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この論法だと、0.999... が 1 と等しいつまり



0.999... = 1

で 0.999.... = 1 が成り立てば1より小さな数は 0.999.... ではないこと
になり、1未満 = 1以下は成り立たないですよね。
0.999... = 1 が成り立つかどうかは過去の質問にあります。

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=168199
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この回答へのお礼

なるほど、同じような内容の質問が結構あるものですね。参考になりました。ありがとうございます。

お礼日時:2002/01/14 02:29

1 ÷ 3 × 3 =1(以下)



0.99~ ÷ 3 × 3 =0.99~(未満)

のように、未満はあくまで未満であって、1にはならないと思います。

でも、大抵の普通の電卓で 1÷3×3 をやると 0.999~になり
微妙な差がでてきます。

数値に表れない数学とでも言うのでしょうか?(^^;
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Aベストアンサー

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Q1以下と1未満の違い(証明編)

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点xは直線上において領域を占めません(ユークリッドの定義から)。
ゆえに1<xと1<=xは直線上における同一の領域を示しているといえる。

この証明は誤っているのでしょうか。皆さんのご意見をお聞かせください。

Aベストアンサー

No.11に100Goldさんが付けたコメントは、全部の回答者に向けたものと承知の上で。

> 別に1/3を引き合いに出すまでもなく以下のようにも0.99..=1が証明できます。
> x=0.99.. 10x=9.99..
> 10x-x=9x=9

だからx=1。これを証明だとお認めになるのなら話はおしまいで、

> 0.99..は境界ですか。それとも0=<x<1という領域に含まれるのでしょうか。

の答はもちろん、
「0.99..=1なのだから、x=0.99..は0=<x<1を満たさない。つまり0.99..は0=<x<1という「領域」には含まれていない。」
となります。

逆に「0.99..は1と違う」という立場をあくまで貫くのなら、
「x=0.99..は9.0...x=9.0.... という方程式の解だ。」
と主張なさらなくてはいけません。
「でも両辺を9で割って、x=9/9=1となるじゃないか。」
なんて言われたって、
「いや、それは有理数ではそうだけれど、ここでやっているのは実数の話だ。x=9/9とx=9.0...÷9.0...は全く別のことを述べているのだ。」
と突っぱねなくちゃ駄目です。No.7でstarfloraさんが仰っているように、普通の数学では整数を有理数の一部として、また有理数を実数の一部として埋め込むということをやっているけれど、この埋め込みを認めたら「0.99...は1ではない」とは主張できなくなってしまいますから、断然認めちゃいけない。
 つまり、有理数における割り算/とは全く別物の割り算÷を考える(当然掛け算も別のものを考える)のでなくては、この立場は貫けない。計算や大小関係の規則を一から作り直す必要がある。そうやって作った「100Gold実数」の体系は、「普通」の数学の実数とは違う性質を持つことが可能になる。でも、有理数と実数を切り離してしまったんですから、「普通」の数学と違って
1/2 = 0.5
と言う訳にはいかない。
 そこで、例えば
1.0....÷2.0.... = 0.50....
なら認める。(÷は「100Gold実数」専用の割り算のことです。)この手で、1.0....=0.99....を認めて、しかし1と1.0....は別物と主張するのは容易です。実数1.0....は有理数1とは無関係だと。
 でもそれじゃ安易過ぎて詰まらないので、実数1.0....は有理数1とは無関係であり、しかも「1.0...と0.99....は別物!」と言える体系をやっぱり構築したい。その体系に於いてはa÷a は少なくとも1.0.....、0.99....という二つの答を持つのでなくてはならない。1.0....÷2.0.... は5.0.....と0.499...という二つの答を持つ。またa - b = 0.0.....からa=bを結論する事は許されない。そんな体系を矛盾なく構築するというアクロバットをやってのけられたら、面白いですね。

No.11に100Goldさんが付けたコメントは、全部の回答者に向けたものと承知の上で。

> 別に1/3を引き合いに出すまでもなく以下のようにも0.99..=1が証明できます。
> x=0.99.. 10x=9.99..
> 10x-x=9x=9

だからx=1。これを証明だとお認めになるのなら話はおしまいで、

> 0.99..は境界ですか。それとも0=<x<1という領域に含まれるのでしょうか。

の答はもちろん、
「0.99..=1なのだから、x=0.99..は0=<x<1を満たさない。つまり0.99..は0=<x<1という「領域」には含まれていない。」
となります。

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