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フーリエ変換について質問です。
定義関数
sgn(t)=-1 [t<0]
     1 [t>0]
をフーリエ変換できません。
わかる方がいましたら参考にさせて頂きたいです。
よろしくお願いいたします。

A 回答 (2件)

直接計算するのは,困難かもしれません。


Fourier逆変換を利用する方法を添付いたします。
(*)式の ∫[-∞,∞] {exp[i y]/ y }dy=πi の導出ですが,必要があれば,お手数ですが次のページで画像をクリックしてください。
http://blog.goo.ne.jp/gotouikusa/e/fbc276d3ff845 …
ご参考になれば幸いです。
「フーリエ変換について質問です。」の回答画像2
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この回答へのお礼

参考になりました。
ありがとうございます。

お礼日時:2010/07/24 18:17

定義関数ではなくて、符号関数では?



そのフーリエ変換は、参考URLを参考にしてださい。

参考URL:http://www.geocities.jp/the_cloudy_heaven/labora …
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この回答へのお礼

参考になりました。
ありがとうございました。

お礼日時:2010/07/24 18:17

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Qsgn(x)のフーリエ変換

F[sgn(x)]=-2i∫[0 → ∞]sinωtdt までは導けたんですがこの先が分かりません。
どうなって、2/iωになるんでしょうか? 導出課程を教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

次の計算が出来ればよいわけですよね。
∫[0←∞]exp(iωt)dt
これはf(z)=exp(iωz)とおき、f(z)の複素平面上で次のような経路に沿って積分することを考えればよいでしょう。

R>0として
1.z:0→R  (実軸上での積分)
2.z:R→iR ("0"を中心とした半径Rの円周上を反時計回りに1/4周する線上での積分)
3.z:iR→0 (虚数軸上での積分)

exp(iωz)は複素平面上全ての点で正則ですので、1.2.3の経路を1周するとその積分値は"0"になります。
つまり、1.2.3のそれぞれの経路で積分した値をI1(R),I2(R),I3(R)とすると
I1(R)+I2(R)+I3R)=0
となります。

I1(R),I2(R),I3(R)はそれぞれ次のような式になります。

I1(R)=∫[0→R]exp(iωt)dt
I2(R)=∫[0→π/4]exp{iωR*exp(iθ)}*iexp(iθ)dθ
I3(R)=∫[R→0]exp(-ωt)*idt

ここでR→∞とすると
I1(R)→∫[0→∞]exp(iωt)dt
I3(R)→-i∫[0→∞]exp(-ωt)dt
となります。I2(R)はR→∞で"0"に収束します。(証明は面倒なのでご自分でご確認ください)

以上のことから
∫[0→∞]exp(iωt)dt-i∫[0→∞]exp(-ωt)dt=0
がわかり、後ろの積分は簡単に計算できると思います。

∫[-∞→0]-exp(iωt)dtについては上に上げた経路を虚数軸に対して対称にした経路で積分すると良いでしょう。

次の計算が出来ればよいわけですよね。
∫[0←∞]exp(iωt)dt
これはf(z)=exp(iωz)とおき、f(z)の複素平面上で次のような経路に沿って積分することを考えればよいでしょう。

R>0として
1.z:0→R  (実軸上での積分)
2.z:R→iR ("0"を中心とした半径Rの円周上を反時計回りに1/4周する線上での積分)
3.z:iR→0 (虚数軸上での積分)

exp(iωz)は複素平面上全ての点で正則ですので、1.2.3の経路を1周するとその積分値は"0"になります。
つまり、1.2.3のそれぞれの経路で積分した値をI1(R),I2(R),I3(R)とすると
I1(R)+I2(...続きを読む

Qステップ関数のフーリエ変換の式について教えて下さい。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%82%A8%E5%A4%89%E6%8F%9B
ステップ関数のフーリエ変換の式は上記のURLのように

πδ(ω)= 1/jω
と表されますが、この式には虚数項が存在します。
デジタル信号では1と0のステップ関数的な信号が扱われますが、この信号にフーリエ変換変換をかけるとどういう波形が見えるのでしょうか?

Aベストアンサー

フーリエ変換した結果は、大きさと位相の二つの情報をもっています。
ですので、一本のグラフで表すことはできません。(いくつか条件があると、大きさと位相が1:1に対応するので、大きさのグラフだけで良くなったりしますが)
おおきさに着目すると、ステップ関数のフーリエ変換は、1/ωに比例(ωに反比例)します。

Q通信路容量を求める問題

通信路行列が

T=
|0.6 0.3 0.1|
|0.3 0.1 0.6|
|0.1 0.6 0.3|
で与えられる通信路の通信路容量の求め方をわかりやすく教えてください。

Aベストアンサー

2元対称通信路の通信路容量については沢山例題や参考URLが見つかりますが、3元対称通信路の通信路容量については殆ど見当たりませんね。
なので大学の情報関係や通信関係の授業でしっかりノートをとって先生にしっかり食い下がって質問してモノにするのが一番いいかもしれません。
参考URLにも2元対称通信路の通信容量については詳しく載っています。
それを3元対称通信路に拡張して通信容量を求めれば良いだけです。
ただ、元数が増加すると通信路容量を求める基になる相互情報量を最大化する変数の個数が増えてとたんに通信路容量を求めることが困難になります。

送信側を
X=(p1,p2,1-p1-p2) ...(1)
受信側を
Y=(q1,q2,q3) ...(2)
とすると
T=
(t11,t12,t13)
(t21,t22,t23)
(t31,t32,t33) ...(3a)
=
(0.6 0.3 0.1)
(0.3 0.1 0.6)
(0.1 0.6 0.3) ...(3b)
より
Y=XT ...(4a)
=(0.6p1+0.3p2+0.1(1-p1-p2),0.3p1+0.1p2+0.6(1-p1-p2),
0.1p1+0.6p2+0.3(1-p1-p2))
=(0.5p1+0.2p2+0.1,-0.3p1-0.5p2+0.6,-0.2p1+0.3p2+0.3) ...(4b)
=(q1,q2,q3) ...(4c)

YのエントロピーH(Y)は
H(Y)=-q1log2(q1)-q2log2(q2)-q2log2(q3) ...(5a)
=-(0.5p1+0.2p2+0.1)log2(0.5p1+0.2p2+0.1)-(-0.3p1-0.5p2+0.6)log2(-0.3p1-0.5p2+0.6)-(-0.2p1+0.3p2+0.3)log2(-0.2p1+0.3p2+0.3) ...(5b)

YのXによる条件付きエントロピーH(Y/X)は
H(Y/X)=-Σ(i=1,3)piΣ(j=1,3)tijlog2(tij) ...(6a)
=-p1{0.6log2(0.6)+0,3log2(0.3)+0.1log2(0.1)}
-p2{0.3log2(0.3)+0.1log2(0.1)+0.6log2(0.6)}
-(1-p1-p2){0.1log2(0.1)+0.6log2(0.6)+0.3log2(0.3)} ...(6b)

相互情報量I(X;Y)は
I(X;Y)=H(Y)-H(Y/X) ...(7a)
=-(1/10){(3p2-2p1+3)log2(3p2-2p1+3)+(2p2+5p1+1)log2(2p2+5p1+1)-5p2
log2(-5p2-3p1+6)+(6-3p1)log2(-5*p2-3*p1+6)-10*log2(10)}-(8174/9103)log2(e) ...(7b)
I(X;Y)の最大値が通信路容量だからI(X;Y)=f(p1,p2) ...(8)(0≦p1≦1,0≦p2≦1,p1+p2≦1 ...(9))の最大となるp1,p2とその時の最大値を求めれば良い。

f_p1=∂f(p1,p2)/∂p1 ...(10a)
=(1/10){2log2(3p2-2p1+3)-5log2(2p2+5p1+1)+3log2(-5p2-3p1+6)}...(10b)
f_p2=∂f(p1,p2)/∂p2 ...(11a)
=(1/10)(-3log2(3p2-2p1+3)-2log2(2p2+5p1+1)+5log2(-5p2-3p1+6))...(11b)

f_p1=f_p2=0 ...(12)のただ1組の実数解の組(p1,p2)(0≦p1≦1,0≦p2≦1,p1+p2≦1)が存在する。その時のf(p1,p2)が相互情報量の最大値すなわち通信路容量Cになる。

f_p1=0より
2log2(3p2-2p1+3)-5log2(2p2+5p1+1)+3log2(-5p2-3p1+6)=0
log2{(3p2-2p1+3)^2*(-5p2-3p1+6)^3}=log2{(2p2+5p1+1)^5}
(3p2-2p1+3)^2*(-5p2-3p1+6)^3=(2p2+5p1+1)^5 ...(13)

f_p2=0より
-3log2(3p2-2p1+3)-2log2(2p2+5p1+1)+5log2(-5p2-3p1+6)=0
3log2(3p2-2p1+3)+2log2(2p2+5p1+1)=5log2(-5p2-3p1+6)
log2{(3p2-2p1+3)^3*(2p2+5p1+1)^2}=log2{(-5p2-3p1+6)^5}
(3p2-2p1+3)^3*(2p2+5p1+1)^2=(-5p2-3p1+6)^5 ...(14)
(13),(14)を横軸にp1=x,縦軸にp2=yをとってプロットすると直線y=x上でただ1つ交点を持つことがわかる。
従って交点の座標は(13)式とp1=p2の(13)式でp1=p2の連立方程式を解けば求まる。(13)式でp1=p2=xとおいて
(3x-2x+3)^2*(-5x-3x+6)^3=(2x+5x+1)^5
(x+3)^2*(6-8x)^3=(7x+1)^5 ...(15)
(7x+1)^5+(x+3)^2*8(4x-3)^3
=(3x-1)(5773x^4+6566x^3+2852x^2-686x+1943)=0 ...(16)
(16)の第2項
g(x)=5773x^4+6566x^3+2852x^2-686x+1943はグラフを描けば
g(x)>0であることがわかる。言い換えれば
5773x^4+6566x^3+2852x^2-686x+1943=0 ...(17)は2組の共役な虚数解を持つから
(16)の実数解はx=1/3(=p1=p2)のみである。
相互情報量I(X;Y)はX=(p1,p2,1-p1-p2)=(1/3,1/3,1/3)のとき最大値は
(7b),(8)式から
f(p1,p2)=f(1/3,1,3)
=(9103log(3)-8174)/(9103log(2))=0.28950… ...(18)
定義により、(18)で与えられる相互情報量I(X;Y)の最大値が(3b)の3元対称通信路行列Tの通信路の通信路容量Cである。

参考までに
z=f(p1,p2)=I(X;Y)
をwxMaximaを使って3次元プロットした図を添付します。
p1=p2=1/3辺りでI(X;Y)が最大値f(1/3,1/3)=0.28950…=C(通信路容量) となっていることがほぼわかる。

参考URL:http://www.eva.ie.u-ryukyu.ac.jp/~endo/classes/通信路容量.pdf

2元対称通信路の通信路容量については沢山例題や参考URLが見つかりますが、3元対称通信路の通信路容量については殆ど見当たりませんね。
なので大学の情報関係や通信関係の授業でしっかりノートをとって先生にしっかり食い下がって質問してモノにするのが一番いいかもしれません。
参考URLにも2元対称通信路の通信容量については詳しく載っています。
それを3元対称通信路に拡張して通信容量を求めれば良いだけです。
ただ、元数が増加すると通信路容量を求める基になる相互情報量を最大化する変数の個数が増えて...続きを読む


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