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ガロアの基本定理の前のところ
以下は,永田「可換体論」の一部ですが、
定理2.7.3. ある可換体の部分体K、L.K’について、K⊆L∩K’とする。
(イ)略
(ロ)LがKの有限次分離的拡大体で、K’がKの正規拡大体であれば、K’(L)はK’の有限次分離的拡大体で、[K’(L):K’]=[L:(K’∩L)]
証明
(ロ)Lを生成する元aのK’∩L上の最少多項式をf(x)とし、f(x)の根をa1、------、ar(r=degf)とする。K’(a)=K’(L)、K’(L)はK’のガロア拡大である。 f(x)がK’上で
Π(x-ai)を因子にもったとする。(a=a1、s≦r)。
i=1~s
その係数c1、---、csをとる。ci∈K’. 他方ciは、a1、------、asの整式で表されるからK上分離的。
ゆえにK’に含まれるK’∩Lの有限次ガロア拡大体K'''でc1、- - -、csを含むものがある。
以下は省略しますが、上記のゆえに以下説明くださればありがたいのですが。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
(1)K’はK’に含まれるK’∩Lの分離的な拡大体
(2)K’はK’に含まれるK’∩Lの正規な拡大体
というのは、仮定より、K’⊇K’∩L⊇Kであることを確認して下さい。次に、f(x)がK’上でπ[i=1~s](x-ai)を因子に持ったとするという意味は、 ai∈K’(ただし、i=1~s)ということです。また、その係数ci∈K’はaiの整式(対称式)で表されるのでK上分離的です。
以上のことから、K’は、K’∩Lの分離的な有限次正規拡大体になります。
わかりにくければ、f(x)=g(x)h(x)として、
g(x)=π[i=1~s](x-ai)
としてみて下さい。このとき、ai∈K’,ci∈K’ですので、K’は、K’∩Lの正規な拡大体です。(ただし、i=1~sです。)
ごていねいな解説どうもありがとうございました。
おかげでわかりました。
どうも分離的という意味がよく理解できてなかったのが原因でした。
No.1
- 回答日時:
>ゆえにK’に含まれるK’∩Lの有限次ガロア拡大体K'''でc1、- - -、csを含むものがある。
ということですが、確かにそのようなK'''は少なくとも1つは存在します。それは、K'''=K’のときです。K’はK’に含まれるK’∩Lの分離的な有限次正規拡大体ですから、K’∩LのGalois拡大体になりますね。
この回答への補足
K’はK’に含まれるK’∩Lの分離的な有限次正規拡大体ですから、K’∩LのGalois拡大体になりますね
(1)K’はK’に含まれるK’∩Lの分離的な拡大体
(2)K’はK’に含まれるK’∩Lの正規な拡大体
各々なぜかもう少しわかりやすく説明してほしい。
(2)はK’がKの正規拡大ならその中間に対してもいつでも正規なのでしょうか。
よろしくお願いします。
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