f[k](x) (k=0,1,…,n) は多項式、-π≦θ≦π, θ≠±π/2 とします。 Σ[k=

f[k](x) (k=0,1,…,n) は多項式、-π≦θ≦π, θ≠±π/2 とします。

Σ[k=0→n] f[k](cosθ) (tanθ)^k
= f[n](cosθ) (tanθ)^n + f[n-1](cosθ) (tanθ)^(n-1) + …
　　… + f[2](cosθ) (tanθ)^2 + f[1](cosθ) tanθ + f[0](cosθ)

が θ→±π/2 でどちらも収束するとき、
すべての k=1,2,…,n に対して f[k](x) は x^k で割り切れる、
といえるでしょうか？

理由もお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/03/25 21:35

n=3

f[0](x)=0
f[1](x)=1
f[2](x)=0
f[3](x)=-x^2
とすると

Σ[k=0→3] f[k](cosθ) (tanθ)^k
=tanθ-(cosθ)^2(tanθ)^3
=tanθ-(sinθ)^2(tanθ)
={1-(sinθ)^2}tanθ
={(cosθ)^2}tanθ
=cosθsinθ

は θ→±π/2 でどちらも収束するけれども

f[1](x)=1　はxで割り切れない
f[3](x)=-x^2　はx^3で割り切れない

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2022/03/25 23:33