(1)p,qが自然数の時、B(p、q)を求めよ。但し、

     B(p、q)=∫{0~1} t^(p-1)*(1-t)^q-1dt
   である。
(2)次の等式を示せ。
          B(p、q)=Γ(p)*Γ(q)/ Γ(p+q)
回答の糸口すら見つかりません。どなたかお願いします。

A 回答 (7件)

{t^(p)*(1-t)^(q-1)}’


=pt^(p-1)*(1-t)^(q-1)-(q-1)t^(p)*(1-t)^(q-2)

両辺を、tで積分すると、
0=pB(p、q)-(q-1)B(p+1、q-1)
⇔B(p、q)=(q-1/p)B(p+1、q-1)
      =(q-1/p)(q-2/p+1)B(p+2、q-2)
      =……
      ={(q-1)!(p-1)!/(p+q-2)!}×B(p+q-1、1)

さて、
B(p+q-1、1)=∫{0~1} t^(p+q-2)dt
{t^(p+q-1)}’= (p+q-1)t^(p+q-2) より、
B(p+q-1、1)=1/(p+q-1)

∴B(p、q)=(q-1)!(p-1)!/(p+q-2)!×{1/(p+q-1)}
=(q-1)!(p-1)!/(p+q-1)!    (1)


Γ(t)=∫{0~∞} e^(-x){x^(t-1)}dx (t>0)がガンマ関数である。
{e^(-x)(x^t)}’=-e^(-x)(x^t)+te^(-x){x^(t-1)} より、両辺を0≦x≦∞の範囲でxで積分すると、
0=-Γ(t+1)+tΓ(t)
⇔Γ(t+1)/Γ(t)=t  (∵0≦xのとき、0<e^(-x){x^(t-1)}であるので、Γ(t)>0である)

tが自然数のとき、
Γ(2)/Γ(1)=1, Γ(3)/Γ(2)=2,Γ(4)/Γ(3)=3,…, Γ(t)/Γ(t-1)=t-1より、
{Γ(2)/Γ(1)}×{Γ(3)/Γ(2)}×{Γ(4)/Γ(3)}×…×Γ(t)/Γ(t-1)=(t-1)!
⇔Γ(t)/Γ(1)=(t-1)!  
⇔Γ(t)=Γ(1)×(t-1)!=(t-1)!∫{0~1} e^(-x)dx=(t-1)! (2)

さて、 (1)と(2)より、
B(p、q)=(q-1)!(p-1)!/(p+q-1)!    
     =Γ(q)・Γ(p)/Γ(p+q)

以上!高校生の計算練習問題としては上々じゃ。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。これで何とか助かりそうです。

お礼日時:2002/01/20 19:39

まだ閉じないところをみると、何か期待しているんですね。


2でsssoheiさんが部分積分の公式を丁寧に書かれていますが、これは見た目に美しくありませんよね。数学の公式は美しいものだけ覚えなくてはいけません。
部分積分の公式はだめですが、全体積分のテクニックは覚えておいてください。

たとえば、
∫x^2sinxdx   を求めろといわれたら、

x^2cosxを微分すれば出てくる。
(x^2cosx)’=2xcosx-x^2sinx       (1)
  
まだ2xcosxが残っている。これはxsinxを微分してやれば出てくる。
(xsinx)’=sinx+xcosx           (2)

まだ、sinxが残っている。これは、cosxを微分してやればでてくる。
(cosx)’=-sinx                (3)         
よって、2×{(2)+(3)}-(1)より、
2(cosx)’+2(xsinx)’-(x^2cosx)’=x^2sinx

である。あとは、両辺に∫dxをつけてやれば、
∫x^2sinxdx =2cosx+2xsinx-x^2cosx+C  (Cは積分定数)

はい出来上がり。やってることは微分の計算と連立方程式だけである。つまり、部分積分の公式はそれだけのことをわざわざもっともらしく書いてあるだけなのである。覚えるに値しないことがわかるでしょう。しかも計算が厄介である。

私の示した解法は積分を求めるにあたって、何を微分したら∫(~)dx の中身の(~)が出てくるかを追求しただけです。そして、この考え方は重要で、微分積分は、概念は積分で、計算は微分で行なうから簡単になるということにつながる。わたしの解法は最後に積分記号をつけただけです。根幹は微分と連立方程式。しかもシンプルで美しい。そしてなにより、解法が楽だということです。
ためしに、
∫e^xsinxdx  と  ∫e^xcosxdx
を考えてみてください。これを部分積分でやると大変だと思いますよ。
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ベータ関数の次の性質を用います


  B(P,Q)=B(Q,P)
B(P+1,Q)=P/(P+Q)*B(P,Q)
B(P,Q+1)=Q/(P+Q)*B(P,Q)
P、Qが自然数より
B(P,Q)=(P-1)!*(Q-1)!/(P+Q-1)!

また P、Qが自然数のとき ガンマ関数は
Γ(P)=(P-1)! Γ(Q)=(Q-1)!
となり
B(P,Q)=Γ(P)*Γ(Q)/Γ(P+Q)

P、Qが整数でないときは
  微積分の重積の計算です
  Γ(P)*Γ(Q)を変換X=M(1-N) Y=MN して計算をするようです
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この回答へのお礼

ありがとうございました!こんなに短い回答になるのですね!

お礼日時:2002/01/19 21:11

> 2番


ΓはΓ関数(というのはよく分かってないのですが)Γ(z) = ∫{0~∞} {exp(-t) * t^(z-1) } dt らしいので、
それで(1)と同じように計算したら、一応、(1)と同じ答えを得ました。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!
これで助かります。

お礼日時:2002/01/19 21:08

でた~!


計算で迷うぐらいなら苦労はないっすよねぇ。私なんか(1/2)!求めろとかいわれましたよ。この計算だけで終わるのでしたら、ご自分でがんばってください。
それ以上を望むのなら、能力を示してください。
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この回答へのお礼

能力を示せと言われましても・・・。
とりあえず、これができないと進級できないので・・・・。
アドバイスありがとうございました。

お礼日時:2002/01/19 21:05

部分積分はOKでしょうか?



(fg)' = f'g + fg'
∴f'g = (fg)' - fg'
∴両辺を積分すると
∫f'g = fg - ∫fg'

定積分の場合は
 b    b  b
∫f'g = [fg] - ∫fg'
a     a  a

(1) の式の場合、例えば、f'、gを↓の様におくと
f'= t^(p-1)  g = (1-t)^(q-1)
f = 1/p * t^p g'= (q-1)*(-1)*(1-t)^(q-1)
となる。と言うことは、最初の式は…と変形出来ますよね?
その式と最初の式を見比べてみてください。

ここの計算まではOKですか?
宿題か何かなのでしょうか?

この回答への補足

ありがとうございます。ということは2番も同様にすればよいのですね。

補足日時:2002/01/19 10:06
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(1) も (2) も定義通りの式を部分積分していけばOKです。


一回部分積分したときの式が元の式からどう変わるかを見れば、答えが導けると思います。

ΓはΓ関数(Γ(z) = ∫{0~∞} {exp(-t) * t^(z-1) } dt)ですよね?

この回答への補足

もう少し詳しくお願いできませんでしょうか。

補足日時:2002/01/18 23:20
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