(1)p,qが自然数の時、B(p、q)を求めよ。但し、

     B(p、q)=∫{0~1} t^(p-1)*(1-t)^q-1dt
   である。
(2)次の等式を示せ。
          B(p、q)=Γ(p)*Γ(q)/ Γ(p+q)
回答の糸口すら見つかりません。どなたかお願いします。

A 回答 (7件)

{t^(p)*(1-t)^(q-1)}’


=pt^(p-1)*(1-t)^(q-1)-(q-1)t^(p)*(1-t)^(q-2)

両辺を、tで積分すると、
0=pB(p、q)-(q-1)B(p+1、q-1)
⇔B(p、q)=(q-1/p)B(p+1、q-1)
      =(q-1/p)(q-2/p+1)B(p+2、q-2)
      =……
      ={(q-1)!(p-1)!/(p+q-2)!}×B(p+q-1、1)

さて、
B(p+q-1、1)=∫{0~1} t^(p+q-2)dt
{t^(p+q-1)}’= (p+q-1)t^(p+q-2) より、
B(p+q-1、1)=1/(p+q-1)

∴B(p、q)=(q-1)!(p-1)!/(p+q-2)!×{1/(p+q-1)}
=(q-1)!(p-1)!/(p+q-1)!    (1)


Γ(t)=∫{0~∞} e^(-x){x^(t-1)}dx (t>0)がガンマ関数である。
{e^(-x)(x^t)}’=-e^(-x)(x^t)+te^(-x){x^(t-1)} より、両辺を0≦x≦∞の範囲でxで積分すると、
0=-Γ(t+1)+tΓ(t)
⇔Γ(t+1)/Γ(t)=t  (∵0≦xのとき、0<e^(-x){x^(t-1)}であるので、Γ(t)>0である)

tが自然数のとき、
Γ(2)/Γ(1)=1, Γ(3)/Γ(2)=2,Γ(4)/Γ(3)=3,…, Γ(t)/Γ(t-1)=t-1より、
{Γ(2)/Γ(1)}×{Γ(3)/Γ(2)}×{Γ(4)/Γ(3)}×…×Γ(t)/Γ(t-1)=(t-1)!
⇔Γ(t)/Γ(1)=(t-1)!  
⇔Γ(t)=Γ(1)×(t-1)!=(t-1)!∫{0~1} e^(-x)dx=(t-1)! (2)

さて、 (1)と(2)より、
B(p、q)=(q-1)!(p-1)!/(p+q-1)!    
     =Γ(q)・Γ(p)/Γ(p+q)

以上!高校生の計算練習問題としては上々じゃ。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございます。これで何とか助かりそうです。

お礼日時:2002/01/20 19:39

まだ閉じないところをみると、何か期待しているんですね。


2でsssoheiさんが部分積分の公式を丁寧に書かれていますが、これは見た目に美しくありませんよね。数学の公式は美しいものだけ覚えなくてはいけません。
部分積分の公式はだめですが、全体積分のテクニックは覚えておいてください。

たとえば、
∫x^2sinxdx   を求めろといわれたら、

x^2cosxを微分すれば出てくる。
(x^2cosx)’=2xcosx-x^2sinx       (1)
  
まだ2xcosxが残っている。これはxsinxを微分してやれば出てくる。
(xsinx)’=sinx+xcosx           (2)

まだ、sinxが残っている。これは、cosxを微分してやればでてくる。
(cosx)’=-sinx                (3)         
よって、2×{(2)+(3)}-(1)より、
2(cosx)’+2(xsinx)’-(x^2cosx)’=x^2sinx

である。あとは、両辺に∫dxをつけてやれば、
∫x^2sinxdx =2cosx+2xsinx-x^2cosx+C  (Cは積分定数)

はい出来上がり。やってることは微分の計算と連立方程式だけである。つまり、部分積分の公式はそれだけのことをわざわざもっともらしく書いてあるだけなのである。覚えるに値しないことがわかるでしょう。しかも計算が厄介である。

私の示した解法は積分を求めるにあたって、何を微分したら∫(~)dx の中身の(~)が出てくるかを追求しただけです。そして、この考え方は重要で、微分積分は、概念は積分で、計算は微分で行なうから簡単になるということにつながる。わたしの解法は最後に積分記号をつけただけです。根幹は微分と連立方程式。しかもシンプルで美しい。そしてなにより、解法が楽だということです。
ためしに、
∫e^xsinxdx  と  ∫e^xcosxdx
を考えてみてください。これを部分積分でやると大変だと思いますよ。
    • good
    • 0

ベータ関数の次の性質を用います


  B(P,Q)=B(Q,P)
B(P+1,Q)=P/(P+Q)*B(P,Q)
B(P,Q+1)=Q/(P+Q)*B(P,Q)
P、Qが自然数より
B(P,Q)=(P-1)!*(Q-1)!/(P+Q-1)!

また P、Qが自然数のとき ガンマ関数は
Γ(P)=(P-1)! Γ(Q)=(Q-1)!
となり
B(P,Q)=Γ(P)*Γ(Q)/Γ(P+Q)

P、Qが整数でないときは
  微積分の重積の計算です
  Γ(P)*Γ(Q)を変換X=M(1-N) Y=MN して計算をするようです
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございました!こんなに短い回答になるのですね!

お礼日時:2002/01/19 21:11

> 2番


ΓはΓ関数(というのはよく分かってないのですが)Γ(z) = ∫{0~∞} {exp(-t) * t^(z-1) } dt らしいので、
それで(1)と同じように計算したら、一応、(1)と同じ答えを得ました。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございます!
これで助かります。

お礼日時:2002/01/19 21:08

でた~!


計算で迷うぐらいなら苦労はないっすよねぇ。私なんか(1/2)!求めろとかいわれましたよ。この計算だけで終わるのでしたら、ご自分でがんばってください。
それ以上を望むのなら、能力を示してください。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

能力を示せと言われましても・・・。
とりあえず、これができないと進級できないので・・・・。
アドバイスありがとうございました。

お礼日時:2002/01/19 21:05

部分積分はOKでしょうか?



(fg)' = f'g + fg'
∴f'g = (fg)' - fg'
∴両辺を積分すると
∫f'g = fg - ∫fg'

定積分の場合は
 b    b  b
∫f'g = [fg] - ∫fg'
a     a  a

(1) の式の場合、例えば、f'、gを↓の様におくと
f'= t^(p-1)  g = (1-t)^(q-1)
f = 1/p * t^p g'= (q-1)*(-1)*(1-t)^(q-1)
となる。と言うことは、最初の式は…と変形出来ますよね?
その式と最初の式を見比べてみてください。

ここの計算まではOKですか?
宿題か何かなのでしょうか?

この回答への補足

ありがとうございます。ということは2番も同様にすればよいのですね。

補足日時:2002/01/19 10:06
    • good
    • 0

(1) も (2) も定義通りの式を部分積分していけばOKです。


一回部分積分したときの式が元の式からどう変わるかを見れば、答えが導けると思います。

ΓはΓ関数(Γ(z) = ∫{0~∞} {exp(-t) * t^(z-1) } dt)ですよね?

この回答への補足

もう少し詳しくお願いできませんでしょうか。

補足日時:2002/01/18 23:20
    • good
    • 0

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Qgcd(p,q)=1,∃a,b∈G;#G=pq,#=p,#=qならばGは巡回群

gcd(p,q)=1とする。(G,・)を位数pq(つまり#G=pq)のアーベル群とせよ。
aの位数がp,bの位数がq(つまり#<a>=p,#<b>=q)であるような元a,b∈Gが存在する時,
(G,・)は巡回群である事(つまり,∃g∈G;<g>=G)を示せ。
また,このような群Gの例を挙げよ。

という問題はどのようにして示せばいいか分かりません。

是非,ご教示ください。m(_ _)m

Aベストアンサー

問題の条件においてGの元abの位数を考えてみましょう。
また例の方はp=2,q=3などとすればすぐに挙げられるでしょう。

Qa^(a+b)=b^24,b^(a+b)=a^6を同時に満たす1と異なるの正数a,bを求めよ

こんにちは。

[問]
a^(a+b)=b^24,b^(a+b)=a^6を同時に満たす1と異なるの正数a,bを求めよ。
[解]
a+b=24log[a]b
a+b=6log[b]a=6/log[a]b
なので
(log[a]b)^2=1/4
log[a]b=±1/2
a^(±1/2)=b
からどうしてもa,bが定まりませんどうすれば定まりますでしょうか?

Aベストアンサー

>a,b(>0)の大小関係のいかんによってはlog[a]b<0も有り得るのでは??

ええ、もちろん log[a]b を単独でみるときはそうです。でも、この式
   a+b=24log[a]b をみると、a も b も正の数ですから、左辺は
正の数ですよね。ということは、右辺の log[a]b は正の数でなければな
りませんよね?そういう意味で log[a]b>0 といったのです。
したがって、もし b=a^(-1/2)を log[a]b に入れると log[a]a^(-1/2)=-1/2
となり、a+b=-12 で「a,bは正の数」と言うことに矛盾してしまいます。

納得できたでしょうか。説明が足りなくてすみませんでした。

QF(t)=(1+t)^2/(1-t^2t^3)=Σ(n=0~∞)(a_

F(t)=(1+t)^2/(1-t^2t^3)=Σ(n=0~∞)(a_n)t^nで(a_n)を定義する。
(a_n)の規則性を調べよ。
また,下記の表を作って,(a_n)/(a_(n+1))と「F(t)の分母=0」との関係を調べてみよ。

n  (a_n)  (a_(n+1)/a_n)
・   ・      ・
・   ・      ・
・   ・      ・
・   ・      ・

難しくて分からないので詳細に教えてもらえたらと思います。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

t^2t^3=t^5ならば
F(t)=(1+t)^2/(1-t^5)
=(1+2t+t^2)Σ_{k=0~∞}t^{5k}
=Σ_{k=0~∞}(t^{5k}+2(t^{5k+1})+t^{5k+2})
=Σ_{n=0~∞}(a_n)t^n
a_{5k}=1
a_{5k+1}=2
a_{5k+2}=1
a_{5k+3}=0
a_{5k+4}=0
n (a_n) (a_(n+1)/a_n)
5k , 1 , 2
5k+1 , 2 , 1
5k+2 , 1 , 0
5k+3 , 0 , 不定
5k+4 , 0 , ∞

Q(x^2)'=2x, (x^1)'=1, (1)'=0, (x^-1)'=-x^-2 そして ∫x^-1 dx = ln|x| + C

(x^2)' = 2x^1 ⇔ ∫2x dx = x^2 + C
(x^1)' = 1 ⇔ ∫1 dx = x + C
※ ln(x)' = x^-1 ⇔ ∫x^-1 dx = ln|x| + C
(x^-1)' = -x^-2 ⇔ ∫-x^-2 dx = x^-1 + C
(x^-2)' = -2x^-3 ⇔ ∫-2x^-3 dx = x^-2 + C
ですが、

なぜ、※のところだけイレギュラーにになるのでしょう?

はるか昔、高校のときに導出方法は習いましたが、
イメージとしては、どう捉えればよいでしょう?

証明等は無くても構いませんので、
直感に訴える説明、あるいは、逆に高度な数学での説明などができる方いらっしゃいましたら、お願いします。

(もしかしたら、高度な数学では、イレギュラーに見えなくなったりしますか?)

Aベストアンサー

sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = ln|x| + C …(2)
のかわりに、
∫0dx = ∫0x^{-1}dx = 0 + C' = x^0 + C
があると思えば、イレギュラーではなくなります。
(2)は、
∫nx^{n-1}dx=x^n+C …(3)
のリストに元々登場していないと解釈するわけです。

また、(3)の両辺をnで割って、
∫x^{n-1}dx = (1/n)x^n + C …(4)
のリストとして考えると、右辺のほうに1/nがあるので、そのリストからは最初からn=0は除外して考えなければなりません。

たまたま、∫x^{-1}dx = ln|x| + C となるので、はまりそうに見えますが、もともと除外していたところに、後から違う種類のものを持ってきてはめ込んだだけと解釈すれば、そこがイレギュラーになるのは不思議ともいえなくなってきます。

また、(4)のリストの立場で考えると、(分母にnがあるので)n=0を除外しなければならないけど、一方、積分∫x^{-1}dxというものは厳然として存在しているので、その隙間に、べき関数とは全く違う関数 ln|x|+C が入ってきているという言い方もできます。これは、べき関数だけでは一覧表が完成しないところに、logでもって完成させているということにもなります。つまりlogという関数は、べき関数のリストの「隙間」に入ってきて、「完成させる」というイメージです。

sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = l...続きを読む

Qp>0に対してガンマ関数Γ(p)=∫(e^-x)(x^p-1)dxとお

p>0に対してガンマ関数Γ(p)=∫(e^-x)(x^p-1)dxとおく。(0→∞)
(1)p>0に対してΓ(p+1)=pΓ(p)を示せ。
(2)nを自然数としてΓ(n)を求めよ。
詳しく教えてください。 よろしくお願いします。

Aベストアンサー

タイピング簡略のためΓ=Gとする

普通、この手の問題は、まずGが収束していることを示す必要あるのだけど・・・。

(1)部分積分するだけ。
G(p+1)
=int[0,∞]exp(-x)x^pdx
=[-exp(-x)x^p][0,∞]+int[0,∞]exp(-x)px^{p-1}dx
=pG(p)

(2)
普通に積分してG(1)=1.
G(n)=(n-1)G(n-1)=(n-1)(n-2)G(n-2)=...=n!G(1)=n!.


人気Q&Aランキング

おすすめ情報