複素数のZ[n]が次の条件で定められている。
Z[1]=0, Z[2]=1, Z[n+2] =(2+i)Z[n+1] - (1+i)Z[n]

α=1+i とする。Z[n]をαを用いて表せ。

という問題なのですが、解答では、階差数列を
Z[n+2] - Z[n+1] = (1+i){Z[n+1] - Z[n]}
のようにつくって解いているのですが、これに気がつかなくて、ここで、x^2 = (2+i)x - (1+i) の特性方程式をつくってZ[n]を求めても良いのでしょうか。虚数係数なので、xを求めるときに解と係数の関係は使えないですよね。どうすればよいのでしょうか。よろしくお願いします。

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A 回答 (5件)

またまた質問を良く読んでなかったので積み残しました



「ルートの中にiがきてはいけないと教わった」
これはiはルートの外に出すことができるので出しなさいということです
そしてルートの中が実数でない場合(すなわちiが存在する場合)そのルートの値が2つ有るために混乱するからそうならないようにした方がいいということです
しかし計算の途中にはルートにiが入っているか入っていないか分からないことが有るので絶対に入っていたらいけないという方式は手足を縛り良くありません
そもそもルートの中にiが入っているのは混乱の元なので計算の途中ではルートの中にiが入っていてもいいことにし最後の結果においてルートの中にiが入っていないようにしたらいいと思います
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この回答へのお礼

>しかし計算の途中にはルートにiが入っているか入っていないか分からないことが有るので絶対に入っていたらいけないという方式は手足を縛り良くありません

nuubouさんこんにちは!!そうですね、iが絶対に入ってはいけないと考えたら、手足が縛られて何もできなくなりますよね。今回の質問させていただいた式も、解の法則を使えば最後の最後には消えて問題はなにもないですよね。どうもありがとうございました。

お礼日時:2002/01/28 17:07

Np.7をカットしてください



x^2-(2+i)・x+(1+i)=0
2次方程式の根の公式を使って
x=((2+i)±((2+i)^2-4・(1+i))^0.5)/2=1+i,1
∴一般解はz[n]=a・(1+i)^n+b・1^n
z[1]=0より0=a・(1+i)+b
z[2]=1より1=a・(1+i)^2+b
∴a=-(i+1)/2,b=i
∴z[n]=-0.5・(1+i)^(n+1)+i
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gooの方へ同じようなものがあったら古いものから消してください



α,βをそれぞれ複素数としxを複素数の未知数としたとき2次方程式
x^2+α・x+β=0

(x+α/2)^2=α^2/4-β
と同等の式である(展開すれば分かるでしょう)
だからx+α/2=(α^2/4-β)^0.5である
(ルート(^0.5)は勿論広い意味なので前に暗黙の±がついている)
以上の式変形で係数が実数であるか複素数であるかは関係ないでしょう
だから係数が複素数だから根の公式が使えないと言うことはないのですよ

複素関数論をかじれば抵抗なく理解できる話だけどね
cが0以上の実数のときc^0.5が±のうち+だけを取るのは単なる慣例で便利だからです
ただしルートの中にiが入ってくると両者を区別する方法がないので問題になるのです
同じような関数にlog(x)が有ります(logは自然対数)
これはy=log(x)とするとyはexp(y)=xによって定義されます
一方exp(y)=exp(y+i・2・π・n)=xだから(nは任意の整数)
この式を満たすyを一つ選んでy’とすれば
log(x)=y’+i・2・π・n
であり無数にあります
特にxが正の実数のときは慣例に従ってlog(x)として実数であるものが一つ指定されます
そのような実数を主値といいます
(sin^(-1)で聞いたこと有るかな?)
ルートの場合にもルートの中が0以上の実数のときにはルートの値として主値が指定されます

一般にαを複素数としnを自然数としてα^(1/n)はn個あります
αが0以上の実数でないときはそれらを区別するすべがないので一つを指定することができません
偏角が最も小さいものということで指定できるけれどもイマイチでしょう
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x^2-(2+i)・x+(1+i)=0
2次方程式の根の公式を使って
x=((2+

i)±((2+i)^2-4・(1+i))・0.5)/2=1+i,1
∴一般解はz[n]=a・(1+i)^n+b・1^n
z[1]=0より0=a・(1+i)+b
z[2]=1より1=a・(1+i)^2+b
∴a=-(i+1)/2,b=i
∴z[n]=-0.5・(1+i)^(n+1)+i
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ルートがどこまでかかるか分からないのでルートの代わりに^0.5を使います


i^0.5とはx^2=iをみたす複素数xです
だから2つあります
i^0.5=±i^0.5=±(e^(i・π/2))^0.5
=±e^(i・π/4)=±(1+i)/2^0.5
です
(1+i)/2^0.5と-(1+i)/2^0.5は正負も大小も定義されないので区別しようが有りません
-がついているからそれははずすというのはおかしいでしょう

一般にaを複素数としたときa^0.5というのはx^2=aを満たす複素数xです
その一つの根をx1とするとa^0.5=±x1となります
求め方はaを極形式で表現します
rを0以上の実数としθは0以上2・π未満の実数としa=r・e^(i・θ)としたときa^0.5=±r^0.5・e^(i・θ/2)です
ただしr^0.5は慣例に従って一つです
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この回答へのお礼

nuubouさんこんにちは、お返事ありがとうございます。すいません、私は文系人間なので、eというものがどういうものかよく分かりません(^^:申し訳ないです。

お礼日時:2002/01/28 17:01

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Q多項間漸化式

数学の授業で3項間漸化式をやったとき
ふと4項間漸化式の一般項が知りたくなりました。
しかしいろいろ試しましたが分かりません。
質問No.84673の「4項間漸化式」も見させていただきましたが、
結局、漸化式の問題ではないという感じで終わっていてよく分かりません。

たとえば3項間ならば特性方程式と二次方程式の解の公式から
a(n+2)-(α+β)*a(n+1)+αβ*a(n)=0 となるα,βを求め(α≠β)
(

Aベストアンサー

>ところで、guiterさんの出してくださった
>a(n) = [a(2)sin{(n-1)θ} - r*a(1)sin{(n-2)θ}] * r^(n-2) / sinθ は
>a(n)が整数であることの証明になるのでしょうか。
少し言葉足らずでした。
式変形に困っておられるのだと思い、
極形式での結果を書いただけですので、これだけで整数とは言えません。
少し考えてみましたが一般項から直接証明というのは難しそうですね。

やはり、masuo_kun さんも書かれておられるように
 (1) n=1,2 で成り立つ。
 (2) n=k,k+1 で成り立つとき n=k+2 で成り立つ。
というように素直に帰納法で証明するのが良さそうです。

Aベストアンサー

(*)式が間違っているように見えますが・・・。これではn=3のときにしか成立しません。
n=4のとき
P(C(1)∪C(2)∪C(3)∪C(4))
= P(C(1))+P(C(2))+P(C(3))+P(C(4))
-P(C(1)∩C(2))-P(C(1)∩C(3))-P(C(1)∩C(4))-P(C(2)∩C(3))-P(C(2)∩C(4))-P(C(3)∩C(4))
+P(C(1)∩C(2)∩C(3))+P(C(1)∩C(2)∩C(4))+P(C(1)∩C(3)∩C(4))+P(C(2)∩C(3)∩C(4))
-P(C(1)∩C(2)∩C(3)∩C(4))
というのは理解されていますか?

正しくは、
P(∪[i=1..n]C(i))
= Σ[i=1..n]P(C(i))-Σ[i1,i2=1..n, i1<i2]P(C(i1)∩C(i2))+Σ[i1,i2,i3=1..n, i1<i2<i3]P(C(i1)∩C(i2)∩C(i3))
-Σ[i1,i2,i3,i4=1..n, i1<i2<i3<i4]P(C(i1)∩C(i2)∩C(i3)∩C(i4))+…+(-1)^(n-1)P(∩[i=1..n]C(i))
となり、交互に符号が代わり共通部分を取る集合の数も1つずつ増えます。

証明の方針はあっていますよ。

(*)式が間違っているように見えますが・・・。これではn=3のときにしか成立しません。
n=4のとき
P(C(1)∪C(2)∪C(3)∪C(4))
= P(C(1))+P(C(2))+P(C(3))+P(C(4))
-P(C(1)∩C(2))-P(C(1)∩C(3))-P(C(1)∩C(4))-P(C(2)∩C(3))-P(C(2)∩C(4))-P(C(3)∩C(4))
+P(C(1)∩C(2)∩C(3))+P(C(1)∩C(2)∩C(4))+P(C(1)∩C(3)∩C(4))+P(C(2)∩C(3)∩C(4))
-P(C(1)∩C(2)∩C(3)∩C(4))
というのは理解されていますか?

正しくは、
P(∪[i=1..n]C(i))
= Σ[i=1..n]P(C(i))-Σ[i1,i2=1..n, i1<i2]P(C(i1)∩C(i2))+Σ[i1,i2,i3=1..n, i1<i2<i3]P...続きを読む

Q大学入試 数学「解けない漸化式の極限」について

 いつも大変お世話になっております。
 以下の内容についてアドバイスいただけると助かります。
 大学の入試問題で「解けない漸化式の極限」などのテーマで参考書や問題集にある問題についてなのですが、私が確認したいのは、ある漸化式を見たときに、それが「解けないのだ」と判断する基準です。確かに、問題の流れ(誘導形式になっている)から、これは解けない漸化式のパターンだなと判断することもできますし、また、自分の知っている「解ける漸化式の型」になければ、それは解けないのではと考えることもできると思いますが、漸化式そのものの特徴から、これは解けないと疑う基準があれば教えていただけないでしょうか。
 お忙しいところ大変もうしわけございませんがよろしくお願いします。

Aベストアンサー

参考書や問題集にある「解けない漸化式の極限」の解法パターンを使うにあたって、
その漸化式が本当に「解けない」かどうかを突き詰めて考える必要は全くありません。
解がよく知られた簡単な式になる以外の漸化式には、その技法が使えるかも知れない
…と考えてみればよいと思います。たとえ解が解析的に表示できたとしても、それが
相当複雑な式であれば、極限を求めるときに又ひと仕事ですよね? そこを迂回して、
一般項の表示をしないまま極限を求める解法があれば、役に立つ場合はある訳です。
解いてみたほうが簡単かどうかは、慣れからくる現場の勘で判断するしかないでしょう。

Q数列a[n+1]=a[n]/(1+a[n])^2,a[1]=1/2

数列a[n+1]=a[n]/(1+a[n])^2,a[1]=1/2
のとき、
lim[n->∞](a[1]+・・・・+a[n])/n の値を求めよ。
(小問で、1/a[n]>2nは解決済み。)

はさみうちをするのだとは思うのであるが、その前のひと工夫がわからない。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>はさみうちをするのだとは思うのであるが、その前のひと工夫がわからない。

ひと工夫ってこんなこと?小問の利用?

0<(1/n)Σ[k=1,n]a[n]/n<(1/n)Σ(1/2k)=(1/2n)(∫[1,n]dx/x+1)
これで、n→∞ とすればよい。

Q漸化式

漸化式てそもそもどう言う意味なんでしょうか?問題とかは普通に解けるのですが、漸化式の意味そのものが、いまだによく分かりません。

Aベストアンサー

漸というのは辞書によると「物事が徐々に進むこと」とあります。
数列は各項が徐々に変化するが、どのように変化するのかを示すのが漸化式ということだと思います。項比がマイナスの等比数列などは徐々に変化とは言い難いかも知れませんけど。

参考URL:http://dictionary.goo.ne.jp/search.php?MT=%C1%B2&kind=jn&mode=0&type=stick

Qx[1]・x[2]・…・x[n]=1 ならば x[1] + x[2] + … + x[n] ≧ n

x[k]>0 (k=1,2,…,n)とする。

このとき、
x[1]・x[2]・…・x[n]=1 ならば x[1] + x[2] + … + x[n] ≧ n

と予想しましたが、証明できるのでしょうか?

また、
x[1] + x[2] + … + x[n] = 1 とすると、x[1]・x[2]・…・x[n] に関する何らかの不等式はあるのでしょうか?

Aベストアンサー

そのまま相加相乗平均ですね。

( x[1] + x[2] + … + x[n])/n≧(x[1]・x[2]・…・x[n])^(1/n)=1
x[1] + x[2] + … + x[n]≧n

反対も同じです。

1/n≧(x[1]・x[2]・…・x[n])^(1/n)
x[1]・x[2]・…・x[n]≦(1/n)^n

Q受検戦略 慶應薬学部 漸化式

漸化式の問題にどう対応しようか迷っています

第一志望は慶應薬学部
1 全体的な傾向としては 大問4~5 計算量多め 難問少な目 
2 漸化式は頻出 公式そのままで解ける問題以外にも
  確率と絡めた問題など高度な部分まで出題されています


取り得る戦略として
1 漸化式 → 一般項 の受検で問われやすいパターン全て暗記
2 漸化式 → 一般項 の基本的なパターンだけ暗記し、あとは導出できるようにする
3 漸化式 → 一般項 の受検で問われやすいパターンをすべて導出できるようにする

※導出法としてはhttp://www.geisya.or.jp/~mwm48961/koukou/sazen01.htm
にある「定型問題は等比数列に持ち込む」「非定型問題は推定+数学的帰納法」でいこうと
考えています

があると思うのですが、どれを採用するべきですかね?
自分はいままで数学は極力暗記に頼らない方法をとってきましたし
慶應薬学部は応用的な漸化式の問題も出てきますので3でいきたいような気もするのですが
漸化式は暗記に頼る方法を採用する人も多く迷っています

どうするべきでしょうか?
ご意見よろしくお願いします
(ご自身が、受検時に合格された大学も書いていただけると非常に参考になります
 できればあわせてお書きください)

漸化式の問題にどう対応しようか迷っています

第一志望は慶應薬学部
1 全体的な傾向としては 大問4~5 計算量多め 難問少な目 
2 漸化式は頻出 公式そのままで解ける問題以外にも
  確率と絡めた問題など高度な部分まで出題されています


取り得る戦略として
1 漸化式 → 一般項 の受検で問われやすいパターン全て暗記
2 漸化式 → 一般項 の基本的なパターンだけ暗記し、あとは導出できるようにする
3 漸化式 → 一般項 の受検で問われやすいパターンをすべて導出できるようにする

※導出法...続きを読む

Aベストアンサー

・どの本でも準公式としては扱ってない
・導出するにせよ、1分くらいでできる。
漸化式によっては2分くらいかかるかも。
・そもそも正確に覚えていられない
・数列のその「特定の形の漸化式の一般項を求める問題」に
入試で出くわす確率が非常に低い

こんなことあたりが理由で、
覚える人はほとんどいないと思います。

ただ、容易に覚えられて
しかも忘れずに正確に記憶していられる自信があるなら、
覚えてもいいんじゃないでしょうか。

Qa[1]=3,4a[n+1]=12a[n]-2×{3^(n-1)}×n

a[1]=3,4a[n+1]=12a[n]-2×{3^(n-1)}×n+3^(n-1)
で、
Σa[k](k=1~n)を最大にするnの最小を求めよ。

まず、一般項a[n]=-3^(n-2){n^2-2n-3)/4 を求めました。
このあとΣの値を求められません。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

a[n] が正だったら,足せば合計は大きくなります.
a[n] の符号変化を見て,負になる前まで足せば,
そこが合計が最大になる場所の候補です.

Q漸化式は、modで循環していますか?

漸化式は、前後の数から成り立つ数列と定義される。
なので、漸化式からなる数列{a_n}は、mod v(何かしらの数字)で
purely periodic(循環連分数)である。

と本に書かれているのですが本当でしょうか?

Aベストアンサー

>a_n=a_(n-1) - a_(n-2) n≧2
> a_0 = 0, a_1 = 1 と漸化式をおきます。
> mod a_n としますと、
>どのように循環するのでしょうか?
このケースでは,modを取るまでもなく,
a2=1,a3=0,a4=-1,a5=-1,a6=0,a7=1,a8=1,a9=0,a10=-1,a11=-1,a12=0
となり,1,1,0,-1,-1,0,1,1,0,-1-1,0の形で周期6で循環しています。
(一般項は,a_n=2*sin(nπ/3)/√3と書けます。)

一般に,
a_n=C1*a_(n-1)-C2*a_(n-2)で漸化式を作ると,
一般項は
a_n=D1*(λ1)^n+D2*(λ2)^n,
λ1,λ2は二次方程式λ^2=C1*λ-C2の根,
D1,D2はa1,a0から決まる定数,
の形に書けます。
C1,C2を整数係数にして,初期値a1,a0に整数値を与えると
数列a_nは整数値をとりますが,
任意のvに対してmod vをとれば循環します。

有名な例ですが,フィボナッチ数列
a_n=a_(n-1) + a_(n-2)
a_0 = 1, a_1 = 1 と漸化式をおくと,
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,10946,17711,28657,46368,75025,
121393,196418,317811,・・・
となり,発散します。
これを例えばmod 5で分類すると,
1,1,2,3,0,3,3,1,4,0,4,4,3,2,0,2,4,1,0,1,1,2,3,0,・・・となり,
周期19で繰り返すことが分かります。

一般に,整数係数の多項式で漸化式を作れば,任意のvに対してmod vをとれば循環します。

>a_n=a_(n-1) - a_(n-2) n≧2
> a_0 = 0, a_1 = 1 と漸化式をおきます。
> mod a_n としますと、
>どのように循環するのでしょうか?
このケースでは,modを取るまでもなく,
a2=1,a3=0,a4=-1,a5=-1,a6=0,a7=1,a8=1,a9=0,a10=-1,a11=-1,a12=0
となり,1,1,0,-1,-1,0,1,1,0,-1-1,0の形で周期6で循環しています。
(一般項は,a_n=2*sin(nπ/3)/√3と書けます。)

一般に,
a_n=C1*a_(n-1)-C2*a_(n-2)で漸化式を作ると,
一般項は
a_n=D1*(λ1)^n+D2*(λ2)^n,
λ1,λ2は二次方程式λ^2=C1*λ-C2の根,
D1,D2はa1,a0から決ま...続きを読む

Qexp{L[1]x+L[2]x^2/2+L[3]x^3/3+…}=F[1]+F[2]x+F[3]x^2+…

フィボナッチ数列F[n]は、
F[1]=1,F[2]=1,F[n+2]=F[n+1]+F[n]
で定義され、リュカ数列L[n]は、
L[1]=1,L[2]=3,L[n+2]=L[n+1]+L[n]
で定義されます。このとき、

exp{L[1]x+L[2]x^2/2+L[3]x^3/3+…}=F[1]+F[2]x+F[3]x^2+…

が成り立つそうなのですが、どうしてなのですか?

右辺は、フィボナッチ数列の母関数と似ていてなんとか求められるのですが、左辺をどうして求めていいかわかりません。

なお、式は
http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html
の(68)を参照しました。

Aベストアンサー

↓ここに証明がありますね。
http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf
(2.7 A surprising sum を見てください。)

参考URL:http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf


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