複素数のZ[n]が次の条件で定められている。
Z[1]=0, Z[2]=1, Z[n+2] =(2+i)Z[n+1] - (1+i)Z[n]

α=1+i とする。Z[n]をαを用いて表せ。

という問題なのですが、解答では、階差数列を
Z[n+2] - Z[n+1] = (1+i){Z[n+1] - Z[n]}
のようにつくって解いているのですが、これに気がつかなくて、ここで、x^2 = (2+i)x - (1+i) の特性方程式をつくってZ[n]を求めても良いのでしょうか。虚数係数なので、xを求めるときに解と係数の関係は使えないですよね。どうすればよいのでしょうか。よろしくお願いします。

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (5件)

またまた質問を良く読んでなかったので積み残しました



「ルートの中にiがきてはいけないと教わった」
これはiはルートの外に出すことができるので出しなさいということです
そしてルートの中が実数でない場合(すなわちiが存在する場合)そのルートの値が2つ有るために混乱するからそうならないようにした方がいいということです
しかし計算の途中にはルートにiが入っているか入っていないか分からないことが有るので絶対に入っていたらいけないという方式は手足を縛り良くありません
そもそもルートの中にiが入っているのは混乱の元なので計算の途中ではルートの中にiが入っていてもいいことにし最後の結果においてルートの中にiが入っていないようにしたらいいと思います
    • good
    • 0
この回答へのお礼

>しかし計算の途中にはルートにiが入っているか入っていないか分からないことが有るので絶対に入っていたらいけないという方式は手足を縛り良くありません

nuubouさんこんにちは!!そうですね、iが絶対に入ってはいけないと考えたら、手足が縛られて何もできなくなりますよね。今回の質問させていただいた式も、解の法則を使えば最後の最後には消えて問題はなにもないですよね。どうもありがとうございました。

お礼日時:2002/01/28 17:07

Np.7をカットしてください



x^2-(2+i)・x+(1+i)=0
2次方程式の根の公式を使って
x=((2+i)±((2+i)^2-4・(1+i))^0.5)/2=1+i,1
∴一般解はz[n]=a・(1+i)^n+b・1^n
z[1]=0より0=a・(1+i)+b
z[2]=1より1=a・(1+i)^2+b
∴a=-(i+1)/2,b=i
∴z[n]=-0.5・(1+i)^(n+1)+i
    • good
    • 0

gooの方へ同じようなものがあったら古いものから消してください



α,βをそれぞれ複素数としxを複素数の未知数としたとき2次方程式
x^2+α・x+β=0

(x+α/2)^2=α^2/4-β
と同等の式である(展開すれば分かるでしょう)
だからx+α/2=(α^2/4-β)^0.5である
(ルート(^0.5)は勿論広い意味なので前に暗黙の±がついている)
以上の式変形で係数が実数であるか複素数であるかは関係ないでしょう
だから係数が複素数だから根の公式が使えないと言うことはないのですよ

複素関数論をかじれば抵抗なく理解できる話だけどね
cが0以上の実数のときc^0.5が±のうち+だけを取るのは単なる慣例で便利だからです
ただしルートの中にiが入ってくると両者を区別する方法がないので問題になるのです
同じような関数にlog(x)が有ります(logは自然対数)
これはy=log(x)とするとyはexp(y)=xによって定義されます
一方exp(y)=exp(y+i・2・π・n)=xだから(nは任意の整数)
この式を満たすyを一つ選んでy’とすれば
log(x)=y’+i・2・π・n
であり無数にあります
特にxが正の実数のときは慣例に従ってlog(x)として実数であるものが一つ指定されます
そのような実数を主値といいます
(sin^(-1)で聞いたこと有るかな?)
ルートの場合にもルートの中が0以上の実数のときにはルートの値として主値が指定されます

一般にαを複素数としnを自然数としてα^(1/n)はn個あります
αが0以上の実数でないときはそれらを区別するすべがないので一つを指定することができません
偏角が最も小さいものということで指定できるけれどもイマイチでしょう
    • good
    • 0


x^2-(2+i)・x+(1+i)=0
2次方程式の根の公式を使って
x=((2+

i)±((2+i)^2-4・(1+i))・0.5)/2=1+i,1
∴一般解はz[n]=a・(1+i)^n+b・1^n
z[1]=0より0=a・(1+i)+b
z[2]=1より1=a・(1+i)^2+b
∴a=-(i+1)/2,b=i
∴z[n]=-0.5・(1+i)^(n+1)+i
    • good
    • 0

ルートがどこまでかかるか分からないのでルートの代わりに^0.5を使います


i^0.5とはx^2=iをみたす複素数xです
だから2つあります
i^0.5=±i^0.5=±(e^(i・π/2))^0.5
=±e^(i・π/4)=±(1+i)/2^0.5
です
(1+i)/2^0.5と-(1+i)/2^0.5は正負も大小も定義されないので区別しようが有りません
-がついているからそれははずすというのはおかしいでしょう

一般にaを複素数としたときa^0.5というのはx^2=aを満たす複素数xです
その一つの根をx1とするとa^0.5=±x1となります
求め方はaを極形式で表現します
rを0以上の実数としθは0以上2・π未満の実数としa=r・e^(i・θ)としたときa^0.5=±r^0.5・e^(i・θ/2)です
ただしr^0.5は慣例に従って一つです
    • good
    • 0
この回答へのお礼

nuubouさんこんにちは、お返事ありがとうございます。すいません、私は文系人間なので、eというものがどういうものかよく分かりません(^^:申し訳ないです。

お礼日時:2002/01/28 17:01

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Aベストアンサー

(*)式が間違っているように見えますが・・・。これではn=3のときにしか成立しません。
n=4のとき
P(C(1)∪C(2)∪C(3)∪C(4))
= P(C(1))+P(C(2))+P(C(3))+P(C(4))
-P(C(1)∩C(2))-P(C(1)∩C(3))-P(C(1)∩C(4))-P(C(2)∩C(3))-P(C(2)∩C(4))-P(C(3)∩C(4))
+P(C(1)∩C(2)∩C(3))+P(C(1)∩C(2)∩C(4))+P(C(1)∩C(3)∩C(4))+P(C(2)∩C(3)∩C(4))
-P(C(1)∩C(2)∩C(3)∩C(4))
というのは理解されていますか?

正しくは、
P(∪[i=1..n]C(i))
= Σ[i=1..n]P(C(i))-Σ[i1,i2=1..n, i1<i2]P(C(i1)∩C(i2))+Σ[i1,i2,i3=1..n, i1<i2<i3]P(C(i1)∩C(i2)∩C(i3))
-Σ[i1,i2,i3,i4=1..n, i1<i2<i3<i4]P(C(i1)∩C(i2)∩C(i3)∩C(i4))+…+(-1)^(n-1)P(∩[i=1..n]C(i))
となり、交互に符号が代わり共通部分を取る集合の数も1つずつ増えます。

証明の方針はあっていますよ。

(*)式が間違っているように見えますが・・・。これではn=3のときにしか成立しません。
n=4のとき
P(C(1)∪C(2)∪C(3)∪C(4))
= P(C(1))+P(C(2))+P(C(3))+P(C(4))
-P(C(1)∩C(2))-P(C(1)∩C(3))-P(C(1)∩C(4))-P(C(2)∩C(3))-P(C(2)∩C(4))-P(C(3)∩C(4))
+P(C(1)∩C(2)∩C(3))+P(C(1)∩C(2)∩C(4))+P(C(1)∩C(3)∩C(4))+P(C(2)∩C(3)∩C(4))
-P(C(1)∩C(2)∩C(3)∩C(4))
というのは理解されていますか?

正しくは、
P(∪[i=1..n]C(i))
= Σ[i=1..n]P(C(i))-Σ[i1,i2=1..n, i1<i2]P(C(i1)∩C(i2))+Σ[i1,i2,i3=1..n, i1<i2<i3]P...続きを読む

Q数列a[n+1]=a[n]/(1+a[n])^2,a[1]=1/2

数列a[n+1]=a[n]/(1+a[n])^2,a[1]=1/2
のとき、
lim[n->∞](a[1]+・・・・+a[n])/n の値を求めよ。
(小問で、1/a[n]>2nは解決済み。)

はさみうちをするのだとは思うのであるが、その前のひと工夫がわからない。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>はさみうちをするのだとは思うのであるが、その前のひと工夫がわからない。

ひと工夫ってこんなこと?小問の利用?

0<(1/n)Σ[k=1,n]a[n]/n<(1/n)Σ(1/2k)=(1/2n)(∫[1,n]dx/x+1)
これで、n→∞ とすればよい。

Qx[1]・x[2]・…・x[n]=1 ならば x[1] + x[2] + … + x[n] ≧ n

x[k]>0 (k=1,2,…,n)とする。

このとき、
x[1]・x[2]・…・x[n]=1 ならば x[1] + x[2] + … + x[n] ≧ n

と予想しましたが、証明できるのでしょうか?

また、
x[1] + x[2] + … + x[n] = 1 とすると、x[1]・x[2]・…・x[n] に関する何らかの不等式はあるのでしょうか?

Aベストアンサー

そのまま相加相乗平均ですね。

( x[1] + x[2] + … + x[n])/n≧(x[1]・x[2]・…・x[n])^(1/n)=1
x[1] + x[2] + … + x[n]≧n

反対も同じです。

1/n≧(x[1]・x[2]・…・x[n])^(1/n)
x[1]・x[2]・…・x[n]≦(1/n)^n

Qa[1]=3,4a[n+1]=12a[n]-2×{3^(n-1)}×n

a[1]=3,4a[n+1]=12a[n]-2×{3^(n-1)}×n+3^(n-1)
で、
Σa[k](k=1~n)を最大にするnの最小を求めよ。

まず、一般項a[n]=-3^(n-2){n^2-2n-3)/4 を求めました。
このあとΣの値を求められません。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

a[n] が正だったら,足せば合計は大きくなります.
a[n] の符号変化を見て,負になる前まで足せば,
そこが合計が最大になる場所の候補です.

Qexp{L[1]x+L[2]x^2/2+L[3]x^3/3+…}=F[1]+F[2]x+F[3]x^2+…

フィボナッチ数列F[n]は、
F[1]=1,F[2]=1,F[n+2]=F[n+1]+F[n]
で定義され、リュカ数列L[n]は、
L[1]=1,L[2]=3,L[n+2]=L[n+1]+L[n]
で定義されます。このとき、

exp{L[1]x+L[2]x^2/2+L[3]x^3/3+…}=F[1]+F[2]x+F[3]x^2+…

が成り立つそうなのですが、どうしてなのですか?

右辺は、フィボナッチ数列の母関数と似ていてなんとか求められるのですが、左辺をどうして求めていいかわかりません。

なお、式は
http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html
の(68)を参照しました。

Aベストアンサー

↓ここに証明がありますね。
http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf
(2.7 A surprising sum を見てください。)

参考URL:http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf


人気Q&Aランキング

おすすめ情報