虚数係数の３項間漸化式について

複素数のZ[n]が次の条件で定められている。
Z[1]=0, Z[2]=1, Z[n+2] =(2+i)Z[n+1] - (1+i)Z[n]

α=1+i とする。Z[n]をαを用いて表せ。

という問題なのですが、解答では、階差数列を
Z[n+2] - Z[n+1] = (1+i){Z[n+1] - Z[n]}
のようにつくって解いているのですが、これに気がつかなくて、ここで、x^2 = (2+i)x - (1+i) の特性方程式をつくってZ[n]を求めても良いのでしょうか。虚数係数なので、xを求めるときに解と係数の関係は使えないですよね。どうすればよいのでしょうか。よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： nuubou 回答日時：2002/01/23 13:12

またまた質問を良く読んでなかったので積み残しました

「ルートの中にiがきてはいけないと教わった」
これはｉはルートの外に出すことができるので出しなさいということです
そしてルートの中が実数でない場合（すなわちｉが存在する場合）そのルートの値が２つ有るために混乱するからそうならないようにした方がいいということです
しかし計算の途中にはルートにｉが入っているか入っていないか分からないことが有るので絶対に入っていたらいけないという方式は手足を縛り良くありません
そもそもルートの中にｉが入っているのは混乱の元なので計算の途中ではルートの中にｉが入っていてもいいことにし最後の結果においてルートの中にｉが入っていないようにしたらいいと思います

この回答へのお礼

＞しかし計算の途中にはルートにｉが入っているか入っていないか分からないことが有るので絶対に入っていたらいけないという方式は手足を縛り良くありません

nuubouさんこんにちは！！そうですね、iが絶対に入ってはいけないと考えたら、手足が縛られて何もできなくなりますよね。今回の質問させていただいた式も、解の法則を使えば最後の最後には消えて問題はなにもないですよね。どうもありがとうございました。

お礼日時：2002/01/28 17:07

No.5 回答者： nuubou 回答日時：2002/01/26 05:55

Ｎｐ．７をカットしてください

ｘ＾２－（２＋ｉ）・ｘ＋（１＋ｉ）＝０
２次方程式の根の公式を使って
ｘ＝（（２＋ｉ）±（（２＋ｉ）＾２－４・（１＋ｉ））＾０．５）／２＝１＋ｉ，１
∴一般解はｚ［ｎ］＝ａ・（１＋ｉ）＾ｎ＋ｂ・１＾ｎ
ｚ［１］＝０より０＝ａ・（１＋ｉ）＋ｂ
ｚ［２］＝１より１＝ａ・（１＋ｉ）＾２＋ｂ
∴ａ＝－（ｉ＋１）／２，ｂ＝ｉ
∴ｚ［ｎ］＝－０．５・（１＋ｉ）＾（ｎ＋１）＋ｉ

No.4 回答者： nuubou 回答日時：2002/01/24 04:55

gooの方へ同じようなものがあったら古いものから消してください

α，βをそれぞれ複素数としｘを複素数の未知数としたとき２次方程式
ｘ＾２＋α・ｘ＋β＝０
は
（ｘ＋α／２）＾２＝α＾２／４－β
と同等の式である（展開すれば分かるでしょう）
だからｘ＋α／２＝（α＾２／４－β）＾０．５である
（ルート（＾０．５）は勿論広い意味なので前に暗黙の±がついている）
以上の式変形で係数が実数であるか複素数であるかは関係ないでしょう
だから係数が複素数だから根の公式が使えないと言うことはないのですよ

複素関数論をかじれば抵抗なく理解できる話だけどね
ｃが０以上の実数のときｃ＾０．５が±のうち＋だけを取るのは単なる慣例で便利だからです
ただしルートの中にｉが入ってくると両者を区別する方法がないので問題になるのです
同じような関数にｌｏｇ（ｘ）が有ります（ｌｏｇは自然対数）
これはｙ＝ｌｏｇ（ｘ）とするとｙはｅｘｐ（ｙ）＝ｘによって定義されます
一方ｅｘｐ（ｙ）＝ｅｘｐ（ｙ＋ｉ・２・π・ｎ）＝ｘだから（ｎは任意の整数）
この式を満たすｙを一つ選んでｙ’とすれば
ｌｏｇ（ｘ）＝ｙ’＋ｉ・２・π・ｎ
であり無数にあります
特にｘが正の実数のときは慣例に従ってｌｏｇ（ｘ）として実数であるものが一つ指定されます
そのような実数を主値といいます
（ｓｉｎ＾（－１）で聞いたこと有るかな？）
ルートの場合にもルートの中が０以上の実数のときにはルートの値として主値が指定されます

一般にαを複素数としｎを自然数としてα＾（１／ｎ）はｎ個あります
αが０以上の実数でないときはそれらを区別するすべがないので一つを指定することができません
偏角が最も小さいものということで指定できるけれどもイマイチでしょう

No.3 回答者： nuubou 回答日時：2002/01/23 13:25

ｘ＾２－（２＋ｉ）・ｘ＋（１＋ｉ）＝０
２次方程式の根の公式を使って
ｘ＝（（２＋

ｉ）±（（２＋ｉ）＾２－４・（１＋ｉ））・０．５）／２＝１＋ｉ，１
∴一般解はｚ［ｎ］＝ａ・（１＋ｉ）＾ｎ＋ｂ・１＾ｎ
ｚ［１］＝０より０＝ａ・（１＋ｉ）＋ｂ
ｚ［２］＝１より１＝ａ・（１＋ｉ）＾２＋ｂ
∴ａ＝－（ｉ＋１）／２，ｂ＝ｉ
∴ｚ［ｎ］＝－０．５・（１＋ｉ）＾（ｎ＋１）＋ｉ

No.1 回答者： nuubou 回答日時：2002/01/23 12:42

ルートがどこまでかかるか分からないのでルートの代わりに＾０．５を使います

ｉ＾０．５とはｘ＾２＝ｉをみたす複素数ｘです
だから２つあります
ｉ＾０．５＝±ｉ＾０．５＝±（ｅ＾（ｉ・π／２））＾０．５
＝±ｅ＾（ｉ・π／４）＝±（１＋ｉ）／２＾０．５
です
（１＋ｉ）／２＾０．５と－（１＋ｉ）／２＾０．５は正負も大小も定義されないので区別しようが有りません
－がついているからそれははずすというのはおかしいでしょう

一般にａを複素数としたときａ＾０．５というのはｘ＾２＝ａを満たす複素数ｘです
その一つの根をｘ１とするとａ＾０．５＝±ｘ１となります
求め方はａを極形式で表現します
ｒを０以上の実数としθは０以上２・π未満の実数としａ＝ｒ・ｅ＾（ｉ・θ）としたときａ＾０．５＝±ｒ＾０．５・ｅ＾（ｉ・θ／２）です
ただしｒ＾０．５は慣例に従って一つです

この回答へのお礼

nuubouさんこんにちは、お返事ありがとうございます。すいません、私は文系人間なので、ｅというものがどういうものかよく分かりません(^^:申し訳ないです。

お礼日時：2002/01/28 17:01