複素数のZ[n]が次の条件で定められている。
Z[1]=0, Z[2]=1, Z[n+2] =(2+i)Z[n+1] - (1+i)Z[n]

α=1+i とする。Z[n]をαを用いて表せ。

という問題なのですが、解答では、階差数列を
Z[n+2] - Z[n+1] = (1+i){Z[n+1] - Z[n]}
のようにつくって解いているのですが、これに気がつかなくて、ここで、x^2 = (2+i)x - (1+i) の特性方程式をつくってZ[n]を求めても良いのでしょうか。虚数係数なので、xを求めるときに解と係数の関係は使えないですよね。どうすればよいのでしょうか。よろしくお願いします。

A 回答 (5件)

Np.7をカットしてください



x^2-(2+i)・x+(1+i)=0
2次方程式の根の公式を使って
x=((2+i)±((2+i)^2-4・(1+i))^0.5)/2=1+i,1
∴一般解はz[n]=a・(1+i)^n+b・1^n
z[1]=0より0=a・(1+i)+b
z[2]=1より1=a・(1+i)^2+b
∴a=-(i+1)/2,b=i
∴z[n]=-0.5・(1+i)^(n+1)+i
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α,βをそれぞれ複素数としxを複素数の未知数としたとき2次方程式
x^2+α・x+β=0

(x+α/2)^2=α^2/4-β
と同等の式である(展開すれば分かるでしょう)
だからx+α/2=(α^2/4-β)^0.5である
(ルート(^0.5)は勿論広い意味なので前に暗黙の±がついている)
以上の式変形で係数が実数であるか複素数であるかは関係ないでしょう
だから係数が複素数だから根の公式が使えないと言うことはないのですよ

複素関数論をかじれば抵抗なく理解できる話だけどね
cが0以上の実数のときc^0.5が±のうち+だけを取るのは単なる慣例で便利だからです
ただしルートの中にiが入ってくると両者を区別する方法がないので問題になるのです
同じような関数にlog(x)が有ります(logは自然対数)
これはy=log(x)とするとyはexp(y)=xによって定義されます
一方exp(y)=exp(y+i・2・π・n)=xだから(nは任意の整数)
この式を満たすyを一つ選んでy’とすれば
log(x)=y’+i・2・π・n
であり無数にあります
特にxが正の実数のときは慣例に従ってlog(x)として実数であるものが一つ指定されます
そのような実数を主値といいます
(sin^(-1)で聞いたこと有るかな?)
ルートの場合にもルートの中が0以上の実数のときにはルートの値として主値が指定されます

一般にαを複素数としnを自然数としてα^(1/n)はn個あります
αが0以上の実数でないときはそれらを区別するすべがないので一つを指定することができません
偏角が最も小さいものということで指定できるけれどもイマイチでしょう
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x^2-(2+i)・x+(1+i)=0
2次方程式の根の公式を使って
x=((2+

i)±((2+i)^2-4・(1+i))・0.5)/2=1+i,1
∴一般解はz[n]=a・(1+i)^n+b・1^n
z[1]=0より0=a・(1+i)+b
z[2]=1より1=a・(1+i)^2+b
∴a=-(i+1)/2,b=i
∴z[n]=-0.5・(1+i)^(n+1)+i
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またまた質問を良く読んでなかったので積み残しました



「ルートの中にiがきてはいけないと教わった」
これはiはルートの外に出すことができるので出しなさいということです
そしてルートの中が実数でない場合(すなわちiが存在する場合)そのルートの値が2つ有るために混乱するからそうならないようにした方がいいということです
しかし計算の途中にはルートにiが入っているか入っていないか分からないことが有るので絶対に入っていたらいけないという方式は手足を縛り良くありません
そもそもルートの中にiが入っているのは混乱の元なので計算の途中ではルートの中にiが入っていてもいいことにし最後の結果においてルートの中にiが入っていないようにしたらいいと思います
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この回答へのお礼

>しかし計算の途中にはルートにiが入っているか入っていないか分からないことが有るので絶対に入っていたらいけないという方式は手足を縛り良くありません

nuubouさんこんにちは!!そうですね、iが絶対に入ってはいけないと考えたら、手足が縛られて何もできなくなりますよね。今回の質問させていただいた式も、解の法則を使えば最後の最後には消えて問題はなにもないですよね。どうもありがとうございました。

お礼日時:2002/01/28 17:07

ルートがどこまでかかるか分からないのでルートの代わりに^0.5を使います


i^0.5とはx^2=iをみたす複素数xです
だから2つあります
i^0.5=±i^0.5=±(e^(i・π/2))^0.5
=±e^(i・π/4)=±(1+i)/2^0.5
です
(1+i)/2^0.5と-(1+i)/2^0.5は正負も大小も定義されないので区別しようが有りません
-がついているからそれははずすというのはおかしいでしょう

一般にaを複素数としたときa^0.5というのはx^2=aを満たす複素数xです
その一つの根をx1とするとa^0.5=±x1となります
求め方はaを極形式で表現します
rを0以上の実数としθは0以上2・π未満の実数としa=r・e^(i・θ)としたときa^0.5=±r^0.5・e^(i・θ/2)です
ただしr^0.5は慣例に従って一つです
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この回答へのお礼

nuubouさんこんにちは、お返事ありがとうございます。すいません、私は文系人間なので、eというものがどういうものかよく分かりません(^^:申し訳ないです。

お礼日時:2002/01/28 17:01

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