微分の階数を有理数や実数に拡張することはできるでしょうか?
例えば、1.5階微分とかπ階微分とかってできるのかなぁ、ってことです。

sin(x)を微分するとcos(x)=sin(x+π/2)になり、
cos(x)を微分すると-sin(x)=sin(x+π)になり...
と位相がπ/2ずつ回るので、これから類推してsin(x)の1/2階微分は
sin(x+π/4)か?微分の階数って回転と何か関係があるのか?などと
かってに思ってますがどうなんでしょう。

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A 回答 (6件)

以前に物理数学の講義でほんのちょっとだけ触れたことがあります.


そのときのノートを引っ張り出してみました.
所詮,物理屋の数学ですから穴だらけでしょうし,
そんなに深く勉強したわけではありません.

微分階数の非自然数化の萌芽はすでにライプニッツにあるようで,
オイラー,ラグランジュ,リウビル,リーマン,などの仕事があります.

pierrot2002 さんの言われるように,
もともと微分は自然数の回数に対してのみ定義されたものです.
でも,やっぱり拡張したいという願望はありますね.

例えば,階乗はもともと自然数に対してしか意味がありませんでしたが,
オイラーの第2種積分
(1)  Γ(z) = ∫{0~∞} e~(-t) t^(z-1) dt
が Γ(n+1) = n! (n:自然数)になることを手がかりにするなどして,
矛盾なく実数さらには複素数まで拡張できました.

微分の場合も,拡張の手がかりは自然数階微分に対して成り立つ一般式にあります.
いくつか考えられます.

【A】 フーリエ変換
ibm_111 さん,stomachman さん,の手法です.
フーリエ変換してしまえば,微分は単なる掛け算になりますから,
それを手がかりにしようというわけです.

【B】 ラプラス変換
フーリエ変換とよく似た事情です.

【C】 微分のもともとの定義からの拡張
f(x) の1階微分は
(2)  df/dx = lim_{δ→0} δ^(-1) {f(x) - f(x-δ)}
です.
{ } のところは {f(x+δ) - f(x)} と書く方が多いですが,
上の表現の方があとの式が簡単になるので(大したことはありませんが)
こうしました.
f(x) の2階微分は
(3)  d^2 f/dx^2 = lim_{δ→0} δ^(-2) {f(x) - 2f(x-δ) + f(x-2δ)}
f(x) の3階微分は
(4)  d^2 f/dx^2 = lim_{δ→0} δ^(-3) {f(x) - 3f(x-δ) + 3f(x-2δ) - f(x-δ)}
f(x) のn階微分は
(5)  d^n f/dx^n = lim_{δ→0} δ^(-n) Σ{j=0~n} (-1)^j C(n,j) f(x-jδ)
ただし,C(n,j)はn個のなかからj個とる組み合わせの数.
で,C(n,j)を階乗を使って表した表現で,階乗をΓ関数で書き換え,
nを連続変数化.

【D】x^p の高階微分公式
(6)  d^n x^p/dx^n = p(p-1)(p-2)・・・(p-n+1) x^(p-n)
          = {Γ(p+1)/Γ(p-n+1)} x^(p-n)
で,nを連続変数化.
例えば,
(7)  d^(1/2) x /dx^(1/2) = 2√(x/π)
(8)  d^(1/2) 1 /dx^(1/2) = 1/√(πx)
定数 1=x^0 の微分は結果がゼロではないあたりが不思議と言えば不思議です.
テーラー展開できる関数についてはこの方式がわかりやすいですかね.

【E】コーシーの繰り返し積分定理
(9)  ∫{a~x} dx_{n-1}∫{a~x_(n-1)} dx_{n-2} ・・・∫{a~x_0} f(x_0) dx_0
    = {1/(n-1)!} ∫{a~x} (x-y)^(n-1) f(y) dy
から,積分の逆演算が微分だから(7)の右辺でnの代わりに -n とおいて微分にし,
さらに連続変数化.

【F】コーシーの留数積分定理
(10)  f(z) = (1/2πi) ∫_C {f(ζ)/(ζ-z)} dζ
の両辺を z で n 回微分し,右辺の n! をΓ関数で書いて n を連続化.

まだ,他にいくらもあるでしょう.
拡張の時いろいろ注意がいるものもありますし,
いろいろな拡張方式が同じ結果を与えるがどうかも本当は検討が必要です.
(なかなか大変そうで,ちょっと私の手には余ります).

質問の例は,
(11)  d^n sin x/dx^n = sin(x+nπ/2)
のnを連続化して 1/2 とおいて拡張した
(12)  d^(1/2) sin x / dx^(1/2) = sin(x+π/4)
ですね.
これは多分OKですが(実はちょっと微妙なところもあるみたいですが),
cos の方はうまくいきません.
(13)  d^n cos x/dx^n = cos(x+nπ/2)
からすると,
(14)  d^(1/2) cos x / dx^(1/2) = cos(x+π/4)
ですが,本当は
(15)  d^(1/2) cos x / dx^(1/2) = 1/√(πx) + cos(x+π/4)
です.
つまり,cos x をテーラー展開したときの第1項は定数1(イチ)ですが,
整数階微分ならこれが消えてしまうのに対し,
1/2 階微分なら(8)でこの項が残ります.
それがちょうど(15)右辺第1項です.
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この回答へのお礼

お礼が遅れましてすみません。

>微分階数の非自然数化の萌芽はすでにライプニッツにあるようで,
>オイラー,ラグランジュ,リウビル,リーマン,などの仕事があります.
そんなに前から!驚きです。

いろんなアイデアがあるものですね。
でもその分consistentな定義を与えるのは難しそうです。

挙げていただいた例での計算・検討をしたいと思います。
これらを参考に拡張方法を自分でも考えてみたいです。
たいへん参考になりました。ありがとうございました。

お礼日時:2002/01/30 17:39

siegmund です.



No.5 の回答で,ちょっと気になっていた「微妙なところもあるみたい」
のあたりを少しだけ調べました.
一部訂正が必要で

(1)  d^(1/2) x /dx^(1/2) = 2√(x/π)
(2)  d^(1/2) 1 /dx^(1/2) = 1/√(πx)
などはOKですが,三角関数は
(3)  d^(1/2) sin x / dx^(1/2) = sin(x+π/4) + (フレネル積分関連項A)
(4)  d^(1/2) cos x / dx^(1/2) = 1/√(πx) + cos(x+π/4) + (フレネル積分関連項B)
のようです.
(3)と(4)の(フレネル積分関連項)のA,Bは違うものです.
ややこしいので具体的式は省きました.

上は,
K. B. Oldham and J. Spanier: The Fractional Calculus
(Academic Press, New York, 1974)
によります.
この本はなかなかしっかりした本のようですので,
入手できれば参考になるかと思います.

ネットですと
http://mathworld.wolfram.com/FractionalDerivativ …
http://mathworld.wolfram.com/Semiderivative.html
に少しだけ話が載っています.

非整数階微分は,粘弾性関係への応用もあるみたいです.
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この回答へのお礼

貴重な情報をありがとうございます。
すでに物理でも応用されているようですね。
勉強してみたいと思います。

お礼日時:2002/02/06 11:42

> 微分の階数って回転と何か関係があるのか?


大当たり!だと思います。

●Diracのデルタ関数
∫δ(x) F(x) dx = F(0) (積分はx=-∞~∞)
は、畳み込み積(convolution)
(f*g)(x) = ∫f(x-t) g(t) dt  (積分はt=-∞~∞)
における単位元です。すなわち
(f*δ)(x) =(δ*f)(x) = f(x)
です。
δ関数のn階微分をδ~(n)と書くことにします。
 n階微分を畳み込み積を用いて表すことができます。すなわちf(x)のn階導関数をf~(n)(x)と書くと、
f~(n)(x) = (f*δ~(n))(x)= (f*δ~(n))(x)
である。要するにn階微分とは、δ関数のn階微分との畳み込み積を作ることです。これは部分積分の公式を使って示せます。

●では非整数階の微分を考えてみると、「a階微分(a≧0)とは、δ~(a)との畳み込み積を作ること」と言いたくなりますが、δ~(a)ってのは正体不明です。

●このままでは身動きとれないのですが、回答No.1でibm_111さんがFourier変換という方法をご指摘になっています。
 ここでは超関数のFourier変換を
g(y) =Fourier[x,y,f(x)] = ∫f(x) exp(-2πixy) dx (積分はx=-∞~∞)
としましょう。
○すると逆Fourier変換は
f(x) = ∫g(y) exp(2πixy) dy (積分はy=-∞~∞)
で表されます。つまり
f(y) = Fourier[y,x,g(-y)]
或いは
f(-x) = Fourier[y,x,Fourier[x,y,f(x)]]
ということですね。
 以下、Fourier変換して逆変換したら元に戻る、そういう関数・超関数だけを相手にして微分を考えることにしましょう。

○畳み込み積はFourier変換で単なる掛け算に変換されます。すなわち
Fourier[x,y,(f*g)(x)] = Fourier[x,y,f(x)] Fourier[x,y,g(x)]
だから、f(x)のn階微分f~(n)(x)のFourier変換は
Fourier[x,y,f~(n)(x)]=Fourier[x,y,f(x)] Fourier[x,y,δ~(n))(x)]
となる。

○Fourier変換をxの冪乗(いずれも超関数であることにご注意)に適用すると、以下の結果が得られます。
Fourier[x,y,x^n] = ((-2πi)^(-n))δ~(n)(y) (nは非負の整数)
Fourier[x,y,(|x|^a)] = (2cos(π(a+1)/2))Γ(a+1)((2π|y|)^(-a-1)) (aは非整数の実数)
Fourier[x,y,(|x|^a)sgn(x)] = (-2isin(π(a+1)/2))Γ(a+1)((2π|y|)^(-a-1)) sgn(y) (aは非整数の実数)
ここに出てくるΓ(a+1)ってのはガンマ関数
Γ(a+1)=∫(x^(a+1))exp(-x) dx  (積分はx=0~∞)
のことです。また符号関数sgn(x)は
sgn(x) = if x<0 then -1, if x>0 then 1
となる奇関数(つまりsgn(-x) = -sgn(x))です。

●さて、nを非負の整数とするとき、n階微分δ~(n)(x)のFourier変換は
Fourier[x,y,δ~(n)(x)] = (2πiy)^n
です。(これはFourier[x,y,x^n] = ((-2πi)^(-n))δ~(n)(y)の両辺をもう一度Fourier変換して、f(-x) = Fourier[y,x,Fourier[x,y,f(x)]]を用いれば分かります。)

●だったら、a階微分のFourier変換も
Fourier[x,y,δ~(a)(x)] = (2πiy)^a
と言いたいところです。でも右辺の「複素数の非整数冪乗」ってのがどういう意味なのか、はっきりしませんね。とにかくその意味を決めてみましょう。

(2πiy)^a =((2π)^a)(|y|^a)(cos(aπ/2)+isgn(y)sin(aπ/2))

これなら、正の実数の実数冪と、実数を引数とする三角関数および符号関数で表されていますから、曖昧さはありません。
 指数の法則
((2πiy)^a) ((2πiy)^b) = ((2πiy)^(a+b))
が成り立つことも確かめられます。この法則は「aを正の非整数、mを正の整数、a<mとするとき、f(x)のa階導関数の(m-a)階導関数は、f(x)のm階導関数に等しい」ということを保証してくれます。
 勿論、aが整数nの場合には普通の冪乗(2πiy)^nと同じです。
 そして、逆フーリエ変換も既に挙げた(|x|^a)と(|x|^a)sgn(x)のフーリエ変換を使って表せ、
Fourier[y,x,((-2πiy)^a)]=
((2π)^a)(cos(aπ/2)Fourier[(|y|^a)]-i((2π)^a)sin(aπ/2)Fourier[(|y|^a)sgn(y)]
となりますから、超関数として意味が決まります。

●以上まとめると、
「非整数a>0について、f(x)のa階導関数は
Fourier[y,x, ((2π)^a)(|y|^a)(cos(aπ/2)+isgn(y)sin(aπ/2))Fourier[x,y,f(x)]]
である。」
ということで取りあえず定義できそうな感じですね。

●試しに
f(x) = sin x
についてa階導関数f~(a)(x)を計算してみましょう。
Fourier[x,y,sin x] = (δ(y-1/(2π))-δ(y+1/(2π)))/(2i)
を使うと、
f~(a)(x)=Fourier[y,x, ((2π)^a)(|y|^a)(cos(aπ/2)+isgn(y)sin(aπ/2))Fourier[x,y,f(x)]]
= ((2π)^a/(2i)) Fourier[y,x, (|y|^a)(cos(aπ/2)+isgn(y)sin(aπ/2))(δ(y-1/(2π))-δ(y+1/(2π)))]
= ((2π)^a/(2i)) Fourier[y,x, (|y|^a)(cos(aπ/2)+isgn(y)sin(aπ/2))δ(y-1/(2π))]
-((2π)^a/(2i)) Fourier[y,x, (|y|^a)(cos(aπ/2)+isgn(y)sin(aπ/2))δ(y+1/(2π))]
 δ(y+b)はy=-b以外ではゼロであり、従って 関数h(y)との積は、hがy=-bで連続であれば
h(y) δ(y+b) = h(-b) δ(y+b)
です。ゆえに、
f~(a)(x)
= ((2π)^a/(2i)) Fourier[y,x, (|1/(2π)|^a)(cos(aπ/2)+isgn(1/(2π))sin(aπ/2))δ(y-1/(2π))]
-((2π)^a/(2i)) Fourier[y,x, (|1/(2π)|^a)(cos(aπ/2)+isgn(-1/(2π))sin(aπ/2))δ(y+1/(2π))]
= (1/(2i))(cos(aπ/2)+isin(aπ/2)) Fourier[y,x, δ(y-1/(2π))]
-(1/(2i))(cos(aπ/2)-isin(aπ/2)) Fourier[y,x, δ(y+1/(2π))]
= (1/(2i))(exp(aπi/2)Fourier[y,x, δ(y-1/(2π))]-exp(-aπi/2) Fourier[y,x, δ(y+1/(2π))])
 Fourier[y,x,f(y)]=g(x)のとき、Fourier[y,x,f(y+b)] = exp(2πibx)g(x)
ですから、
Fourier[y,x, δ(y-1/(2π))] = exp(-ix)
Fourier[y,x, δ(y+1/(2π))] = exp(ix)
ゆえに、
f~(a)(x)= ((2π)^a/(2i))(|1/(2π)|^a)(exp(i(aπ/2-x))-exp(i(x-aπ/2)))
= ((2π)^a/(2i))(|1/(2π)|^a)(2i)sin(aπ/2-x)
= sin(aπ/2-x)
= sin(x+(1-a/2)π)
となります。

○a=1/2なら
f~(1/2)(x)= sin(x+3π/4)
ですね。a=1だとめでたく
f~(1)(x)= sin(x+π/2) =cos(x)
となります。

●同じ調子でa<0についても、つまり非整数階積分も考えられそうです。
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この回答へのお礼

お礼が遅れてすみません。
たいへん詳しい回答ありがとうございました。

> n階微分とは、δ関数のn階微分との畳み込み積を作ること
これは知りませんでした。これとフーリエ変換を組み合わせて拡張していくんですね。

f~(0)(x)=-sin(x)、f~(2)(x)=sin(x)になってしまうのが?..なので
細かく検討してみたいと思います。ウーム。

お礼日時:2002/01/30 16:50

数学的な厳密さはご容赦いただくとして(私は物理が専門なので)、


大昔に同じことで大分悩んだことがあります。そのとき思ったのは、
関数をベクトル空間の要素だと思えば、微分演算子は行列で
表されるから、対角化すれば、非整数への拡張が出来るのでは
ないかということです。

まず、行列のべきは、対角化してしまえば、非整数に拡張する
のは容易です。対角成分のべきを取ればいいだけですから。

よって、微分したい関数をベクトル空間内の要素だと思って、
適当な基底ベクトル(これも関数)で展開して成分表示します。
そうすると、微分後の関数の成分表示できますから、
両者を結びつける行列が存在します。これを、微分演算子
を表す行列と思うことにします。

すると、この行列を対角化するような基底ベクトルを選んで
やれば、微分の非整数拡張ができるのではないでしょうか。

さらに、フーリエ変換の非整数回の演算だとかも同じ原理
でできますよね。
問題は、微分演算子に対応した行列を確実に対角化できる
かどうかだと思います。

例:べき関数(1,x,x^2...)で展開した場合は、
f(x)=(a,b,c,0,..)とすると、ホントのf(x)は、f=a+bx+cx^2...
ですから、微分すれば、
f'(x)=(b,2c,0,...)
となります。よって、行列は、
|010....|
|0020...|
|00030..|
|:::::::|
となります。これは対称でないので、対角化が保証されません。
べきの計算は簡単ですが、非整数べきへの拡張ができませんね。
他の基底(sinとかexpとか)ではどうでしょうか。
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この回答へのお礼

お礼が遅れましてすみません。

なるほど。演算子の行列表現からの拡張ですか…
基底の選び方が難しそうです。

参考になりました。ありがとうございました。

お礼日時:2002/01/30 17:09

微分がどういう定義なのかを考えると、ありえないと思いますが。



f'(x) = lim n→0 (f(h+n) - f(h)) / (h+n - h)

これが1階微分なので、1/2階微分とは???

この回答への補足

たしかにその通りですね。
でも、この定義からちょっと離れてみて単純にn階微分の表記(d/dx)^n(f(x))を見たとき
演算子のべきは拡張できないかなぁ、と思うわけです。
もとの定義を忘れて、演算子のべきを拡張できるように矛盾なく再定義する方法はあるのか知りたいなぁ、
というのが質問の意図です。

補足日時:2002/01/24 10:17
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たとえば、フーリエ変換は、微分を(ix)^nに変えますね。


だから、それを逆変換するとか・・・
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この回答へのお礼

なるほど、ナイスアイデアです!

お礼日時:2002/01/24 10:05

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>また一階微分の時は右辺にdxを持っていくことができますが、
>二階微分以上ではできないのはなぜでしょうか?

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>dy=5dxとして両辺を積分する時は、左辺をyで積分、右辺をxで
>積分ということになるのでしょうか?
その通りです。

>こういうことは可能なのでしょうか?
可能です。


>また一階微分の時は右辺にdxを持っていくことができますが、
>二階微分以上ではできないのはなぜでしょうか?

一般的にはできません。
例えば
d^2y/dx^2=f(x)の場合
d^(y^2)=f(x)(dx)^2
∫d(y^2)=∫f(x)(dx)^2
と右辺の(dx)^2での積分は、積分の定義には存在しない(ありえない)からです。

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ANo.1様が既に回答を出されているようなので、無意味かも知れませんが・・・、
lim(n→∞)∫[0,π/2]{sin^2(nx)}/(1+x)・・・(1)
(1)においてsin^2(nx)=1/2・(1-cos(2nx))と変形出来る。(・はかけ算の意味)
よって
与式=lim(n→∞)∫[0,π/2](1-cos(2nx))/2(1+x)dx
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よって、lim(n→∞)∫[0,π/2]{sin^2(nx)}/(1+x)=1/2・log(1+π/2)
となる。

ANo.1様が既に回答を出されているようなので、無意味かも知れませんが・・・、
lim(n→∞)∫[0,π/2]{sin^2(nx)}/(1+x)・・・(1)
(1)においてsin^2(nx)=1/2・(1-cos(2nx))と変形出来る。(・はかけ算の意味)
よって
与式=lim(n→∞)∫[0,π/2](1-cos(2nx))/2(1+x)dx
=lim[n→∞]∫[0,π/2]1/2(1+x)dx - lim[n→∞]∫[0,π/2]cos(2nx))/2(1+x)dx
={1/2・log(1+x)}[0,π/2]-lim(n→∞)∫[0,π/2]cos(2nx))/2(1+x)dx

第一項目の積分は=1/2・log(1+π/2)
第二項目の積分において、f(x)=1/(1+x)は(0~π/2)で積分可能である。従っ...続きを読む

Q微分積分の使い道について

微分積分の使い道について

昔から数学が得意でなくて、微分積分もなんとなくでここまでやってきました。しかし、一応は出来るものの、未だにその存在意義がよくわかりません。一体どういう場面、どういった目的、どういった用途で微分積分は用いられ、役に立っているのでしょうか?

Aベストアンサー

応用のひとつに"制御"があります。

例えば、この時期暑いですよね。冷房で部屋の温度を24度に保つことを考えます。
正確には冷房のパワーを調節して部屋の温度を"制御"することを考えるわけです。
全自動エアコンではないですよ。パワーを0~10の範囲で手動で調節しなければならない冷房器具です。
外はよく晴れて太陽が照りつけていると思ってくださいね。

もし部屋の気温が24度より低ければ、冷房をつければさらに寒くなってしまいますから冷房はつけなくていいですね。
で、気温が24度よりも高ければ、冷房をONすると。
……これだけでは不充分なのです。

これだけではパワーをどれくらいに設定すればいいか分かりませんよね。
室温は25度なのにパワー10で冷房を効かせてすごく寒くなるかもしれません。
それに同じ25度でも外が曇りなのか晴れなのか雨なのかによってパワーは変えていくべきですよね。


そこで現在の気温だけでなく、"気温の変化率"をみると良いのです。
同じ25度でも2時間前からほとんど変化していないならパワーは弱くて良いでしょうし、たったの10分で20度から25度になるくらい急激に気温が上がっているならパワーも強く設定するべきでしょう。
逆に1時間前に30度だった気温が現在25度になったなら、ほっといても室温は下がる。冷房はいらないとなります。

これはつまり、冷房のパワーは現在の気温Tだけで決めるより、現在の気温Tと「Tを微分したT'」を合わせて決める方が確実というわけです。


それだけではありません。
冷房をつけたことによって気温の上昇が緩やかになったなら、涼しくなるまでもう少し時間がかかるものの冷房の設定はいい感じと言えます。
冷房をつけても更に激しく気温が上昇するなら、冷房が真夏の太陽に力負けしていると言うことです。もっとパワーを上げなければいつまで経っても涼しくなりません。
これはそう、"気温の変化率の変化率"を見るということですね。数学的な記号で書けば2次微分係数T''です。


このように室温を制御するならば、普通、"室温"と"室温の変化率"と"室温の変化率の変化率"を見ながら冷房のパワーを調節してやります。
そして今回の例のように"ある物の状態を制御してやるための理論"が"古典制御論"です。

古典制御論では今見たように"微分"を使いますし。制御した結果、室温がちゃんと24度で一定に落ち着くのかを判定するために"ラプラス変換"というテクニックを用います。ラプラス変換するためには、ある関数を"積分"する必要があります。
古典制御論を私たちの暮らしに応用したものが、例えば全自動エアコンなのです。

あなたがエアコンをつけて設定温度を24度にするだけで、部屋の温度が24度で一定になるのも、微分積分のおかげ、そして古典制御論のおかげなんですね。
見えないところで意外に役に立っているものだ。

応用のひとつに"制御"があります。

例えば、この時期暑いですよね。冷房で部屋の温度を24度に保つことを考えます。
正確には冷房のパワーを調節して部屋の温度を"制御"することを考えるわけです。
全自動エアコンではないですよ。パワーを0~10の範囲で手動で調節しなければならない冷房器具です。
外はよく晴れて太陽が照りつけていると思ってくださいね。

もし部屋の気温が24度より低ければ、冷房をつければさらに寒くなってしまいますから冷房はつけなくていいですね。
で、気温が24度よりも高ければ、冷房を...続きを読む

Qsin^2(x)sin(2x)の0からπ/2の範囲での積分について sin^2(x)sin(2x)

sin^2(x)sin(2x)の0からπ/2の範囲での積分について

sin^2(x)sin(2x)の0からπ/2の範囲での積分がどうしても解けず、困っています。
わかる方がいらっしゃいましたら、計算過程も含め、教えていただけないでしょうか?

Aベストアンサー

No.1です。
さっきの
<sin^2(x)={1―cos(2x)}/2の公式をつかって、cos(2x)sin(2x)の積分はsin(2x)=tとおいて
置換積分しよう。>
は誤りではないけど、
<sin^2(x)={1―cos(2x)}/2の公式をつかって、cos(2x)sin(2x)はさらに{sin(4x)}/2 と変形しよう>
のほうがよりやりやすい。ごめんなさい(汗)。

Q微分・積分の重要性について

いつもお世話になっています、こんばんは。

高校時代、微分・積分を少しだけやりました(文系のため数III・数Cは学習経験なし)が苦手でした。しかし、大学に入ると数学科目はもちろんのこと他の理系科目やミクロ経済学やマクロ経済学などあらゆる分野で微分・積分が多く活用されているように思いました。

質問1:なぜここまで微分・積分は活用されているのでしょうか?
質問2:微分・積分が活用されている分野を大まかに教えてください。
質問3:微分・積分を習得して役に立った経験を教えてください。
質問4:中学数学の基礎をしっかりと習得すれば、微分・積分を理解できますでしょうか?
質問5:Excel等のビジネスソフトでも微分・積分を活用することが可能でしょうか?

お時間ある時にお答えください、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

質問1: 連続的(なめらかに繋がっている)であって規則性を持つ物事の多くがこのやり方で扱えるからです。ちょっと標語的に言いますと:微分は、物事全体の中の極めて微小な部分に着目することによって、基本法則を描き出す道具。積分は、基本法則に沿って物事が発展して生じる全体を見通す道具。
質問2: ものの形や変化を扱う分野のほとんどが該当するでしょう。ことにそれらを分析したり予測したり設計したりするのに必須です。分析では、たとえば経済で言う「価格弾力性」なんてのは、微分そのものです。設計では、特に、何かを最適化する(コストを最小にする、強度を最大にするなど)際の計算には欠かせません。微積分は、もともとは力学のためにニュートンが開発した手法ですが、確率論の基礎でもあります。
質問3: 仕事で計算をやるときには、かなりの割合で微積分が入っています。しかし近頃の(大破綻した)ファイナンス理論に出てくるとびきり難しい種類の微積分は、実用の意味で使ったことはありません。
質問4: 大丈夫。最低限を理解するだけなら小学生でも可能です。微積分は算数のような数値を算出する計算とは違って、関数(変数を含む式)を算出する計算なんです。なので、ことに関数の考え方を身につけ、関数のグラフが描けるようになるのが肝要でしょう。
質問5: 表計算ソフトでは微積分はできません。でも、表計算ソフトと微積分の関わり方は2通りあるでしょう。(1)微積分の計算の結果得られた式を入力して、具体的な数値を計算したり、図表化したりする。(2)式が複雑で微積分が簡単には計算できない場合に、数値微分・数値積分(区分求積法)を使って無理矢理計算をする(本物の微積分の代わりにはなりませんが、応用目的によってはこれで足りる)。また、微積分の計算の結果が正しいかどうかチェックするために数値を入れて検算するのに、表計算ソフトをよく使います。

質問1: 連続的(なめらかに繋がっている)であって規則性を持つ物事の多くがこのやり方で扱えるからです。ちょっと標語的に言いますと:微分は、物事全体の中の極めて微小な部分に着目することによって、基本法則を描き出す道具。積分は、基本法則に沿って物事が発展して生じる全体を見通す道具。
質問2: ものの形や変化を扱う分野のほとんどが該当するでしょう。ことにそれらを分析したり予測したり設計したりするのに必須です。分析では、たとえば経済で言う「価格弾力性」なんてのは、微分そのものです。設計...続きを読む

Qlim_(x→π/4) (sin x -cosx) / ( x - π/4) の極限値

いつもお世話になっています。
極限値を求める問題2問です。
(1) lim_(x→π/4) (sin x - cos x) / (x - π/4)
 x-π/4 を t と置いて考えてみたのですが、途中から分からなくなり ました。

(2) lim_ (x→1) (x-1)/{^3√(x) -1}
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

(1) lim_(x→π/4) (sin x - cos x) / (x - π/4)

(x - π/4)=tとおく。

lim_(t→0) (sin(t+ π/4) - cos(t+ π/4)) /t

lim_(t→0) (1/t)(sin(t)cos( π/4)+cos(t)sin(π/4)
        - cos(t)sin( π/4)+sin(t)cos(π/4))

lim_(t→0) (1/t)((1/√2)sin(t)+(1/√2)sin(t))

lim_(t→0) (1/t)((√2)sin(t))
=√2