No.1
- 回答日時:
接点をP(acosθ、bsinθ)とおきます。
(ただし、0<θ<π/2)すると、接線の方程式は (acosθ/a^2)x+(bsinθ/b^2)y=1 から
(cosθ/a)x+(sinθ/b)y=1
接線とx軸との交点Qは(a/cosθ , 0)、y軸との交点Rは(0 , b/sinθ)
(QR)^2をf(θ)とすると、f(θ)=a^2/(cosθ)^2+b^2/(sinθ)^2・・☆
f ' (θ)=(a^2sinθ)/(cosθ)^3-(b^2cosθ)/(sinθ)^3
=・・・と通分、分子の因数分解などすると、最後に分子は
(√a*sinθ-√b*cosθ)(√a*sinθ+√b*cosθ)(a(sinθ)^2+b(cosθ)^2)
までなります。0<θ<π/2なので、2番目と3番目のカッコは正になり
先頭のカッコの部分だけが増減表にかかわり、
√a*sinθ-√b*cosθ=0より、sinθ/cosθ=√b/√a、つまり
tanθ=√b/√aを満たすθをαとすれば、f ' (θ)はαより小さい部分では負、
αより大きい部分では正となるので、このとき、f(θ)は最小。
1+(tanθ)^2=1/(cosθ)^2という、三角関数でやった式からtanθに
√b/√aを代入し、(cosθ)^2を求め、おなじみの (sinθ)^2+(cosθ)^2=1
から(sinθ)^2を求めれば、☆に代入後、(QR^2になっているので)
2乗をはずせば、最小値が求められるでしょう。
No.2
- 回答日時:
そこまでは正しいと思います。
そのあとですが、平方根は計算が面倒なので接線の長さLの2乗を考えると、
L^2=(a^2/s)^2+(b^2/t)^2≧2(a^2/s)*(b^2/t)=2(a^2b^2)/st
(相加平均≧相乗平均)
よってstが最大のときLが最小だとわかる。
(s^2/a^2)+(t^2/b^2)=1 より s^2=a^2(1- t^2/b^2)
よって s^2t^2=a^2t^2(1- t^2/b^2) ・・・ア
stの最大とs^2t^2の最大は一致するので ア の最大を考える
t^2に関する2次式だとしてみればt^2=b^2/2 のときにアは最大になることがわかる
このときs^2=a^2/2 よって
s^2t^2=a^2b^2/4 のときすなわち st=ab/2 のときLは最小となる
L^2{min}=2(a^2b^2)/(ab/2)=4ab
L{min}=2√(ab)
この回答への補足
回答ありがとうございます。相加平均相乗平均は考えてみたのですが、等号が成り立つのは(a^2/s)=(b^2/t)のときだからこれを(s^2/a^2)+(t^2/b^2)=1に代入する、というのは間違いですか?L{min}=√2(a^2+b^2)となってしまったんですが…。
補足日時:2006/04/20 03:19No.3
- 回答日時:
#2です
ごめんなさい。おっしゃるとおりですね↓
>等号が成り立つのは(a^2/s)=(b^2/t)のとき
#2は大間違いですね、撤回させてください。おはずかしい。
>(s^2/a^2)+(t^2/b^2)=1に代入する、というのは間違いですか?
↑この方針で私もいいと思います。
それで、私の計算でも
>L{min}=√2(a^2+b^2)
↑こうなりました
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
定理や公式はそのものを憶えるだけでなく,使い方も憶えましょう。
相加平均・相乗平均の定理はどのように使うか。
(1) x+yが一定のとき,xyの最大値を求める。
(2) xyが一定のとき,x+yの最小値を求める。
のどちらかです。
xyが一定でないとき,
x+y≧2√xy かつ xyの最小値=a ゆえに x+yの最小値=2√a
は間違いです。
本題に入ります。
s^2/a^2+t^2/b^2=1 だから a^2b^2-a^2t^2-b^2s^2=0
(a^2-s^2)(b^2-t^2)=s^2t^2
(a^2-s^2)/s^2・(b^2-t^2)/t^2=1(一定) … 相加相乗を使えるようになった
l^2=a^4/s^2+b^4/t^2=a^2+a^2(a^2-s^2)/s^2+b^2+b^2(b^2-t^2)/t^2
≧a^2+b^2+2√{a^2b^2 (a^2-s^2)/s^2・(b^2-t^2)/t^2}
=a^2+b^2+2ab=(a+b)^2
以下(=が成り立つことの確認)省略
No.1さんのように三角関数を使うともっと簡単です。
☆を続けると
a^2/(cosθ)^2+b^2/(sinθ)^2=a^2(1+tan^2θ)+b^2(1+1/tan^2θ)
=a^2+b^2+a^2tan^2θ+b^2/tan^2θ
これに相加相乗を使えばすぐ出ます。
この三角関数の書き換えは積分のときよく使うので慣れてください。
相加相乗平均の解説ありがとうございます。この定理についてはずっともやもやしていたのですがおかげでよくわかりました。他の問題にも使えるようになれそうです。三角関数の書き換えも考えられるよう勉強したいと思います。
No.5
- 回答日時:
No1です。
何か、結果が私の場合と違うようなんですが・・
私は a+b が最小値になりました。
例えば、a=2,b=1の x^2/4+y^2=1 のとき、√2(a^2+b^2)なら√10です
が、接点が(√(8/3),√(1/3))のとき、接線の長さは3までなります。
接点が(√(8/3),√(1/3))のとき
まず、楕円上の点かどうかの確認
(√(8/3))^2/4=2/3、(√(1/3))^2=1/3だから足して1
x^2/4+y^2=1を満たす。
接線とx軸、y軸との交点は(4/√(8/3)、0)(0、1/√(1/3))
したがって、2点間の距離は√[{4/√(8/3)}^2+{1/√(1/3)}^2]
=√(6+3)=√9=3
相加平均もよさそうに見えるけど、なぜでしょう?
No.6
- 回答日時:
#2#3です
たびたびの間違い大変失礼しました。
#4さんの回答は大変参考になりました。
>xyが一定でないとき,
>x+y≧2√xy かつ xyの最小値=a ゆえに x+yの最小値=2√a
>は間違いです。
言われてみればなるほどです。
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