Fourier変換、Taylor展開、ベクトル解析の日常への応用

Question

お世話になります。
当方、薬学部にて薬物動態学を習った者です。
その中で、裏技的な方法としてLaplace変換を勉強しました。
すると、困難な問題も容易に解けてしまいました。

この時より、Fourier変換（実際はLaplace変換）に深い感銘を受け、
いつか生活に応用したい、そう思うようになりました。

また、高校時代、数学の苦手であった私は、大学でTaylor展開を習い、
極限値が容易に解明できることに感動しました。

更に、ベクトル解析は数列にも応用できるとのことです。
この3つを日常生活に是非役立てたいのですが、どのような機会が
有るのでしょうか。数学検定にも挑戦したい気分です。

ご教授何卒宜しくお願い致します。

sanori · Accepted Answer

＞＞＞＞
甘えついでにもう一つ質問をさせてください。
高校数学は「軌跡」「極座標」以外は理解しております。
「数列・行列」「極限値」は理解できた物の「何故そんなことを習う
必要が有るのか」が意味不明でした。（量子力学に応用？）
-------------------

たしかに、量子力学、機械工学など、難しい物理学や工学になるほど、行列の重要性が増していきます。

しかし、もっと簡単な応用例があります。

＜数列＞
ケーキを無限に半分ずつにいったものを合計すると、当たり前ですが、元のケーキの１００％になります。

これは、
[k=1～+∞]の Σ(1/2)^k ＝ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ・・・
になりますが、
それを仮にＳと決めれば、
２Ｓ＝ 1 + 1/2 + 1/4 + ・・・・・＝ １＋Ｓ
ということは、
Ｓ＝１

同様に、
Ｔ＝ 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + ・・・
を考えれば、
３Ｔ＝ 1 + 1/3 + 1/9 + ・・・ ＝ １＋Ｔ
ということは、
Ｔ＝１／２

つまり、（ｍ分の１）のｋ乗　を無限に足せば、
必ず、分母が１個違いの
（ｍ－１）分の１になります。

ちょっと面白いでしょ？

あと、
「１から１万までの整数の合計を求めよ」
合計をＳと置けば、
Ｓ＝１＋２＋３＋・・・・・＋９９９９＋１万
Ｓ＝１万＋９９９９＋９９９８＋・・・・・＋２＋１
ということは、
２Ｓ＝１万１＋１万１＋・・・・・＋１万１
　　＝１万１×１万
　　＝１億１万
だから、Ｓ＝５千万５千

この辺の知識があると、例えば、表計算ソフトでデータ処理するとき、役に立ちます。

前回書いた一次近似と組み合わせれば、貯金・借金するときの利息の、大体の計算もできますよ。

例えば、
年間１万ずつ貯金を積み立てるとして、利率１％のところに２０年積み立てたら、
元本は２０万。
２０万に１％をかけたら２千円だから、
２千円／年×２０年＝４万円が利息・・・
・・・ではないですよね？

元本が毎年１万ずつ増えていくので、各々の１万円には、それぞれ、２０年の利息、１９年の利息、１８年の利息・・・・・がつくわけです。
ですから、
１万×１％×（20 + 19 + 18 + ・・・+ 1）
が大体の利息の合計になります。
なんか、つい最近、どこかで似たようなのを見たこと無いですか？（笑）




＜行列＞

三角関数の加法定理の理解には、「一次変換」の行列の一つである、回転行列の概念が必要です。
三角関数の加法定理は有用性が高いので、なぜ、その定理が成り立つのかは、知っておいたほうが良いでしょう。
私は公式嫌いなので、いつも、行列から考えてます。

また、
行列は、やはり表計算でも使います。
何に使うかというと、最も簡単な例は、連立一次方程式を解くときです。

2x + 3y + 4z = 5
3x + 4y + 5z = 1
4x + 5y + 7z = 9

これを行列Ａで表せば
Ａ＝
　2 3 4
　3 4 5
　4 5 7

そして、列行列（横に書くと、(5 1 9)）に、Ａの逆行列を掛ければ、解(x y z)が求まります。

私は、表計算ソフトに、「グラフへの近似曲線の追加」という機能が無かった時代、上記を応用して、最小二乗法と組み合わせ、多量の散布データを３次～４次関数ぐらいの曲線にフィッティングしていました。
（フィッティングというよりは、解析的に「解く」ことができるのですが）



＜極限＞

私は、大学１年のとき、延々とこれ関連の講義をやられて、一時期、数学嫌いになりました。
しかし、高校で習う極限値の問題は、微積分の基礎なので、避けられません。
ただ、極限のイメージを下記のように理解してしまえば、もっと簡単です。

ｘ２乗のｘ微分は２ｘですが、ｘがちょっとだけ（dxだけ）増加したときの変化量は

(ｘ+dx)^2 - x^2 = 2x・dx + (dx)^2 

ところが、
(dx)^2 というのは、微小の２乗なので、dx とは比べ物にならないぐらい微小です。
ですから結局、
(ｘ+dx)^2 - x^2 = 2x・dx
だから、ｘ^2 の微分は 2x です。
ニュートンやライプニッツも、最初、この辺のイメージから入ったのではないかと、勝手に推測しています。
（ｄは、differential ＝違い の頭文字）

高校の数学の許可書では、
｛ (x+h)^2 - x^2 ｝÷ｈ = (2hx + h^2)/h = 2x + h
　これのｈ→０の極限は、２ｘ
というふうに書いてるでしょうね。

ちなみに、
私はクルマの運転をしているとき、常に頭の中で微積分を考えています。
ブレーキを、どういう状況で踏むと危険か？
　（雪道のカーブでブレーキを踏むなど、言語道断。）
同乗者に不快な思いをさせないようにブレーキを踏むにはどうするか？
　（信号待ちをするときは、停止線で停止する瞬間、ふわっとアクセルを緩める、など）

また、
運転免許の試験には、
「速度が３倍になるとブレーキの制動距離は何倍になるか？」
という問題が出ますが、
微積分と摩擦係数の知識があれば、「９倍」と即答できます。



＞＞＞＞＞
そんな私は何から勉強すれば良いのでしょうか。
尚、私の高校の先生は「漸化式含む数列も全てベクトル解析で
解いた。」との事です。その先生の口癖は「点と直線の距離が解れば
高校数学の幾何学は殆ど覚える必要は無い」との事でした。
とある国立大学理学部数学科出身の先生です。
---------------

それは、良い先生と出会えましたね！

私も、
角度や線分の長さを求めるようなパズルみたいな図形問題を除けば、
高校までの数学で、大学～社会人になって役に立たないものは一つも無いというのが自論です。
経験上、実際そうですから、自論ではなく事実ですが。


ですから、
高校までの数学で、実生活に役に立ちそうな応用問題だけに、まず着手されるのが良いと思います。
あなたのような意欲のある人は、絶対、応用問題から入って、分からないところを公式で補うようにするのが良いと思います。
また、
１０分ぐらい問題をにらんでも、全くどこから手をつけて良いか分からなかったら、答えをすぐ見てしまうというのも、上手な勉強の仕方だと思いますよ。
意外とそのほうが、考える力を身につける近道だったりします。


ちなみに、
どこかで聞いた話なのですが、
それは、世界の文化とは隔離された環境で育った、数学の天才少年が、大発見をしたということについての話です。

その少年が発見したものは、「二次方程式の解の公式」だったそうです。

実に、もったいない。
きっと数学の教科書が彼の手元にあれば、その年齢の時点で、とっくに、もっと偉大な発見をしていたことでしょう。

sanori · Answer

あー
こういう質問の回答は得意ですよ。（笑）

-------------

フーリエ変換は、周期的な（周期的でなくてもいいですけど）電気信号や音の解析に非常に役立ちます。
音楽関係だと、グラフィックイコライザがやってることとか特定周波数だけ抽出するとかは、フーリエ変換と同じようなことですから。

正弦波の音源同士を組み合わせて（足し算して）人工的に音を作るのにも使いますね。
今だとあんまり使ってる人はいないかもしれませんが、アナログシンセサイザーは、まさに、それですね。冨田勲さんも、それでやってました。

単純な例では、方形波を正弦波同士の足し算で発生させることも可能です。

-----------------

次に、テイラー展開ですか。
これは（せこい例ですけど）暗算に役立ってます。
一昨日（？）の「世界一受けたい授業」で、家庭用スポンジの原材となる、どデカいスポンジの塊（直方体）が出てきました。
それが千個単位の数に切り取られて、家庭用スポンジになるらしいんですよ。
塊の形がスポンジ１個の形と大体相似だったので、そこで、うちの子供と
「１辺を何等分すれば、その個数になるかな？」
という話題になりました。
（具体的な数字は忘れましたが）仮に、１６００個に分けるとしましょう。
すると、テイラー展開で第３項（２乗の項）以降が無視できると考えれば、
１６００＾(1/3) ＝ １０ × （１＋０．６）^(1/3)
　≒　１０ × （１＋ 0.6/３）
　＝　ざっくり１２
つまり、１辺を１２等分すれば、１６００個ぐらいできるということが、暗算で求められます。

ウィスキーのシングルとダブルを測る道具（２つの円錐が２個つながった形状の容器）で、見た目、２つの円錐の大きさがほとんど違って見えないのは、
（かなり荒っぽい計算ですけど）
２^1/3 ≒ １ ＋ １／３ ≒　ざっくり１．３
つまり、円錐の高さが１．３倍しか違わないからだと、すぐ理解できます。

つまり、一次近似っていうやつですね。
一次で足りないと思えば、二次か三次ぐらいまで計算に入れればよいでしょう。

誤差論でも使いますね。
ε＜＜１のとき
（１＋ε）の逆数 ≒ １－ε　なので、
２つの測定データ　Ａ±３％、Ｂ±７％
から、「Ａ÷Ｂ」という割り算の答えの誤差を求めるとき、
（１±0.03）Ａ÷（１±0.07）Ｂ ≒ Ａ÷Ｂ×（１±0.10）
つまり、Ａ÷Ｂの誤差は１０％です。
（要は、掛け算割り算したときは、誤差同士を単純に加算すればよい）

--------------

最後に、ベクトル解析ですが、
古典電磁気学の全てがマクスウェルの４つの方程式だけで表されることを頭に入れておけば、中学高校で習った電気の法則が一体なんだったのかを本質的に理解できますね。∇（ナブラ）との内積・外積の考え方を一度知ってしまえば、高校で習った物理の式より、かえって分かりやすいかも。
下記にも、私、回答してます。ご参考に。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=2096774

sanori · Answer

（追伸）

あ、そうそう。

「味噌汁」で思い出しましたが、
何ヶ月か前に、食品の美味しさ（？）の検査を、色の測定で行うという研究をされている学生さんに、私が回答したことがあります。

色彩科学という分類になります。
「色」ということで、当然、光の波長が関係するわけですが、物理学ではなく、むしろ人間工学です。

もしもご質問があれば、「科学」のカテゴリでどうぞ。
お待ちしてます。（笑）

Fourier変換、Taylor展開、ベクトル解析の日常への応用

あー

この回答への補足

＞＞＞＞

（追伸）

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